第1节 等式性质与不等式性质 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦不等式性质与比大小核心知识点，从单式运算比大小（含取值范围、命题判断）到双式运算比大小（含多选、取值范围求解），再到作差法、作商法比较大小，构建层层递进的学习支架。 资料通过“例题-举一反三-专题作业”分层设计，如单式运算例题到双式运算举一反三，培养学生推理意识与运算能力。课中辅助教师实施分层教学，课后学生可通过专题作业查漏补缺，提升用数学思维解决问题的能力。

第1节 等式性质与不等式性质 【考点归纳】 【考点1 】不等式的性质比大小 （1）单式运算比大小（或求取值范围） 【例题】 1、（2025高一·江西九江·阶段练习）若，求、、的取值范围. 【答案】，， 2、（25-26高一·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【解析】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 【举一反三】 1、（25-26高一·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误。 2、（2025高一·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 【专题作业】 1、（2025高一·北京·期中）已知a，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【解析】当时，由，则；由，则.所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 2、（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC. 【解答过程】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. （2）双式运算比大小（或求取值范围） 【例题】 1、【多选】（25-26高一·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，得，则A符合题意； 当时，满足， 此时，则，B不符合题意；由，得，C符合题意； 当时，满足，此时，则，D不符合题意. 2、（25-26高一·全国·单元测试）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由不等式可乘性得，由同向可加性得，由正数的可乘方性得， 所以的取值范围是. 3、【多选】（2025高一·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【解析】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴，即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，，又， ∴，所以，D正确. 【举一反三】 1、（23-24高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是 【答案】 【解析】由题设，则，又，所以. 2、【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 3、（25-26高一·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】设 因为，所以， 又因为，将与的取值范围相加，所以， 即. 【专题作业】 1、（25-26高一·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 2、（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是 【答案】. 【解析】因为，所以.因为，所以，则. 3、（25-26高一·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 【考点2 】作差法、作商法比大小 【例题】 1、（2025高一·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【解析】令，则，，，所以. 2、（2025高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【解析】（方法1）因为，所以.所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又，所以 , 所以. 【举一反三】 1、（25-26高一·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）方法一：作差法．． 因为，所以，所以，所以． 方法二：作商法．因为，所以， 两式作商可得，所以． （2）方法一：作差法．．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法．因为，所以，两式作商可得， 因为，由倒数法则可知，又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知，则，即． 【专题作业】 1、（24-25高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，所以. 2、（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【解析】， ， . 两数作商， . 2、（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则a b（填入“＞”或“＜”）． 【答案】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【解析】∵，即. 又， . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1节 等式性质与不等式性质 【考点归纳】 【考点1 】不等式的性质比大小 （1）单式运算比大小（或求取值范围） 【例题】 1、（2025高一·江西九江·阶段练习）若，求、、的取值范围. 2、（25-26高一·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【举一反三】 1、（25-26高一·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2、（2025高一·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【专题作业】 1、（2025高一·北京·期中）已知a，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2、（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． （2）双式运算比大小（或求取值范围） 【例题】 1、【多选】（25-26高一·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 2、（25-26高一·全国·单元测试）已知，则的取值范围是 . 3、【多选】（2025高一·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【举一反三】 1、（23-24高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是 2、【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3、（25-26高一·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【专题作业】 1、（25-26高一·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是 . 2、（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是 3、（25-26高一·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点2 】作差法、作商法比大小 【例题】 1、（2025高一·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 2、（2025高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【举一反三】 1、（25-26高一·全国·课后作业） （1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【专题作业】 1、（24-25高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 2、（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 2、（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则a b（填入“＞”或“＜”）． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $