精品解析：甘肃省庆阳市第五中学2025--2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

庆阳五中2025-2026学年度第一学期期中考试题 九年级 数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 国内某地图软件自2005年上线以来，秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以科技为手段不断探索创新，如今已经发展成为国内领先的互联网地图服务商．下面是该地图软件中的四个图标，其文字左边的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形”判断即可， 熟练掌握中心对称图形的概念是解决此题的关键． 【详解】A、图案不是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，不符合题意； C、图案是中心对称图形，符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 若的一个解是，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，将已知解代入方程，求出的值，问题得解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 故选：A 3. 将抛物线y=﹣3x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标(0,1)，根据题目信息得出平移后抛物线的顶点坐标为（1，3），根据顶点式即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标为（0，1），将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后抛物线的顶点为（1，3），则y=-3+3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，一般有两种方法得出平移后抛物线的解析式：①针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减”；②需要注意的是如果知道了顶点，则顶点坐标在移动时是“左减右加”． 4. 如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义解答即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后与重合，C与N是对应点， ∴下列角一定等于的是． 故选A． 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有两个不相等的实数根需满足判别式大于零。结合两者求解k的取值范围。 【详解】解：∵方程 是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴且， 即， ∴，即 ， ∴ 且 。 故选：B． 7. 二次函数的与的部分对应值如下表： -1 0 1 2 5 则当时，的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，由表格可知：当或时，；推出二次函数的对称轴为直线：，那么与时对应的值相同，从而得出答案． 【详解】解：由表格可知：当或时，， ∴二次函数的对称轴为直线：， ∵时，， ∴当时，的值是5， 故选：C． 8. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，s有最大值，此时． ∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值， ∴， 故选：A． 9. 已知，是方程的两个实数根，则的值（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的特征，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据题意，可知，则，那么，再结合根与系数的关系求，整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴， 又∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴原式， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若，，是抛物线上三点，则；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即，故②错误； 由抛物线与x轴有两个交点，可知：，故③错误； 当时，则有，故①正确； ∵点，，是抛物线上三点，且， ∴根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小可知：，故④正确； 由关于x的一元二次方程的解可看作是直线与二次函数的交点横坐标，则由二次函数的图象可知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故⑤正确； 综上所述：正确的有①④⑤，共3个； 故选D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一元二次方程的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程．用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 或， ， 故答案为：，． 12. 抛物线的顶点坐标__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标．转化成顶点式是解题的关键． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 13. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求关于x的不等式的解集，实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于 的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围． 【详解】解：依题意得求关于x的不等式的解集， 实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于的值时x的取值范围， 由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接， 根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到． 本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即点与点B之间的距离为． 故答案为：． 15. 校运会上，小明参加铅球比赛．如图，若某次投掷，铅球出手时的高度为，当球出手后水平距离时距离地面最高为，则这次小明的成绩是_____m．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用．先用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程，即可求出小明这次抛掷的成绩 【小问1详解】 解：∵铅球出手时的高度为，铅球飞行的水平距离时距离地面最高为， ∴设与之间的函数关系式为， 把代入得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 把代入得：， 解得，（舍去）； 答：小明这次投掷的成绩为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，，则点的横坐标为____________． 【答案】10126 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 的周长为： ， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为： 当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：， ∵2025是奇数， ∴点的横坐标为：. 故答案为：10126. 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用因式分解法解题即可； （2）先将原方程整理为，然后再利用因式分解法解题即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴． 18. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，不妨设，然后代入，解出答案即可． 【详解】解： ∵抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴不妨设， 代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 19. 若点与点关于原点对称，求的值． 【答案】5 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，然后求出a，b的值代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴①，②， ①②得，解得， 把代入①得，解得， ∴． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 20. 如图，中，，，． （1）画出将绕点O逆时针旋转所得的并写出的坐标． （2）画出关于原点中心对称的并写出的坐标． 【答案】（1） 解：所作如图所示： ； （2） 解：所作如图所示；由坐标系可知． 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及点的坐标关于原点对称，熟练掌握旋转的性质及点的坐标关于原点对称是解题的关键； （1）根据旋转的性质可进行作图； （2）先得到点A、B、C关于原点对称的点，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验：求1人每次能教会几名同学？ 【答案】1人每次能教会5名同学 【解析】 【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有36人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设1人每次都能教会x名同学，根据题意得： ． 变形得： ∴（负值不合题意，舍去） 故1人每次能教会5名学生． 22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ； （2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）略 （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． （1）若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． （2）当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）这个茶园的长为，宽为 （2）当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 【小问2详解】 解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 24. 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是____________； （2）①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； （3）请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． （4）若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 【答案】（1）全体实数 （2）①，； ②所描点，如图所示； ③所作函数图象如图所示： （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）由图象易得点A、B在之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由可知：自变量为全体实数； 故答案为全体实数； 【小问2详解】 解：①当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； ②略 ③略 【小问3详解】 解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 故答案为或； 【小问4详解】 解：∵点，均在该函数图象上，且， ∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上， 由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大， ∴当时，p与q的大小关系是； 故答案为． 25. 2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．设该款吉祥物每件降价m元（m为正整数），当m为多少时，月销售利润能达到8400元？ （3）在（2）的条件下，设该款吉祥物每月销售利润为w元，当m为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为 （2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元 （3）当或时，月销售利润最大，最大利润是9240元 【解析】 【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可； （3）根据利润单件利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键；一元二次方程的应用在于找到等量关系列出方程. 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当时，w随m增大而增大，当时，w随m增大而减小， 又∵m为正整数， ∴当或时，w最大，最大为， ∴当或时，月销售利润最大，最大利润是9240元． 26. 【建立模型】如图1，正方形的边长为6，点E，F分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到． （1）求证：； 【模型应用】 （2）当时，①____________； ②求的长． 【模型拓展】 （3）如图，等腰直角三角形中，，，点M，N在边上，且，若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形，且边长为6， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴，即点C、D、G三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①8；②；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，由旋转的性质可知：，则点C、D、G三点共线，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证； （2）①由（1）可知：，点C、D、G三点共线，然后问题可求解； ②由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解； （3）把绕点A逆时针旋转得到，连接，同理（1）可得，由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1） 略 （2）①由（1）可知：，点C、D、G三点共线， 由旋转的性质可知：， ∴； ②∵， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， 即； （3）解：把绕点A逆时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（1）可得， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得 ， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；． 设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E． 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；． 连接PP′，则PE⊥CO于E， ． ∵C（0，-3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=． ∴y=−； ∴x2-2x-3=−， 解得（不合题意，舍去）． ∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）． （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得： ． ∴直线BC的解析式为y=x-3， 则Q点的坐标为（x，x-3）； 当0=x2-2x-3， 解得：x1=-1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ． =AB•OC+QP•BF+QP•OF． =×4×3+ (−x2+3x)×3． =− (x−)2+． 当x＝时，四边形ABPC的面积最大． 此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庆阳五中2025-2026学年度第一学期期中考试题 九年级 数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 国内某地图软件自2005年上线以来，秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以科技为手段不断探索创新，如今已经发展成为国内领先的互联网地图服务商．下面是该地图软件中的四个图标，其文字左边的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的一个解是，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 将抛物线y=﹣3x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 二次函数的与的部分对应值如下表： -1 0 1 2 5 则当时，的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 8. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 9. 已知，是方程的两个实数根，则的值（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若，，是抛物线上三点，则；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一元二次方程的解是____________． 12. 抛物线的顶点坐标__________． 13. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____． 14. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 15. 校运会上，小明参加铅球比赛．如图，若某次投掷，铅球出手时的高度为，当球出手后水平距离时距离地面最高为，则这次小明的成绩是_____m．（结果保留根号） 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，，则点的横坐标为____________． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 19. 若点与点关于原点对称，求的值． 20. 如图，中，，，． （1）画出将绕点O逆时针旋转所得的并写出的坐标． （2）画出关于原点中心对称的并写出的坐标． 21. 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验：求1人每次能教会几名同学？ 22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． （1）若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． （2）当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 24. 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是____________； （2）①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； （3）请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． （4）若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 25. 2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．设该款吉祥物每件降价m元（m为正整数），当m为多少时，月销售利润能达到8400元？ （3）在（2）的条件下，设该款吉祥物每月销售利润为w元，当m为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 26. 【建立模型】如图1，正方形的边长为6，点E，F分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到． （1）求证：； 【模型应用】 （2）当时，①____________； ②求的长． 【模型拓展】 （3）如图，等腰直角三角形中，，，点M，N在边上，且，若，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $