函数定义及三要素讲义-2026届高三数学一轮复习

函数定义及三要素 一．知识点过关填空 1．函数的定义 设A、B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有________确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：，。 2.函数的三要素：_________________，_________________，__________________。 3.相等函数：如果两个函数的_________和_________完全相同，则这两个函数相等。 4．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值的集合。 （1）求已知函数定义域的主要依据： ①________________________________________； ②________________________________________； ③_______________________________________； ④________________________________________； ⑤________________________________________； （2）抽象函数的定义域： ①_______________________________________________________________； ②____________________________________________________________； 5.求函数解析式的方法： （1）待定系数法：______________________________________________________； （2）配凑法或换元法：________________________________________________ ____________________________________________________； （3）解方程组法：_________________________________________________________； 6.求函数最值或值域的常用方法： （1）图像法：________________________________________________； （2）分离常数法：________________________________________________； （3）换元法：________________________________________________； （4）判别式法：________________________________________________； （5）单调性法（求导法）：______________________________________________； 二．基础题型过关练 1.设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 2.下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 4.已知函数，则的最小值是（       ） A． B．2 C．1 D．0 5.已知函数，则（       ）． A． B．4 C． D． 6.函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（       ） A． B． C． D． 9.函数的定义域是，则实数a的取值范围为（ ） A.　　B． 　 C． 　D． 10.（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（       ） A． B．的值域为 C．的解集为 D．若，则x的值是 11.（多选）已知函数，下列结论正确的是（       ） A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是 C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是 12.（多选）关于函数的性质描述，正确的是（ ） A. f(x)的定义域为 B. f(x)的值域为 C. f(x)的图象关于点(3,2)对称 D. f(x)在定义域上是减函数 13.（多选）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（       ） A． B． C．1 D．2 14．已知是二次函数，且，则________． 15.函数的值域是________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $高 中 数 学 基 础 过 关 专 题 函数定义及三要素 一．知识点过关填空 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 2.函数的三要素：定义域，对应法则，值域。 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等． 4．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值的集合。 （1）求已知函数定义域的主要依据： ①分式的分母不等于零； ②偶次方根的被开方数不小于零； ③对数式的真数必须大于零； ④指数、对数式的底必须大于零且不等于1； ⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。那么，它的定义域是使各部分都有意义的的值组成的集合. ⑥实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （2）抽象函数的定义域： 1）已知函数的定义域为，则的定义域即为求不等式的解集。 2）已知函数的定义域为，则的定义域即为求函数在上的值域。 5.求函数解析式的方法： ①待定系数法：在已知函数解析式的一般形式时，可用待定系数法。 ②换元法或配凑法：已知复合函数的表达式时，用换元法求的解析式，要注意所换元的定义域的变化。 ③解方程组法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方 6.求函数值域常用的方法： ①图像法: 画出函数图像，由图像读出函数的值域 ②分离常数法: 针对于形如：的函数，把函数化为的形式。 ③判别式法： 针对于形如：的函数，转化为二次方程有解问题。 ④换元法:主要针对于比较复杂的函数，通过元的代换，转化为简单的或者我们熟悉的函数，但是一定要注意新元的范围。 ⑤单调性法（求导法）：判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值 二．基础题型过关练 1.设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 由题意，函数的定义域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系； 对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系； 对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确. 故选：C 2.下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【详解】对A：的定义域为，的定义域为，定义域不同； 对B：的定义域为，的定义域为，定义域不同； 对C：的定义域为，的定义域为，定义域不同； 对D：定义域都为，且，故两函数相等； 故选：. 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【详解】 因为函数的定义域是，所以 4.已知函数，则的最小值是（       ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可. 【详解】令，则，且， 所以， 所以， 当时，. 故选：B 5.已知函数，则（       ）． A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可． 【详解】函数， 所以，． 故选：A． 6.函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 【详解】要使函数有意义，则， 即，即， 则且， 即函数的定义域为. 故选：D. 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 8.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在原等式中把与互换后用解方程组的方法求得． 【详解】∵，①， ∴，② ①②联立方程组可解得（）． 故选：B． 9.函数的定义域是，则实数a的取值范围为（ ） (A)　　 (B) 　 (C) 　(D) 【答案】C 【分析】由题知不等式恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为函数的定义域是. 所以不等式恒成立． 所以，当时，不等式等价于，显然恒成立； 当时，则有，即，解得. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为: C 10.（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（       ） A． B．的值域为 C．的解集为 D．若，则x的值是 【答案】BCD 解：因为，函数图象如下所示： 由图可知，故A错误； 的值域为，故B正确； 由图知：解得，故C错误； ，即，解得，故D正确； 故选：BCD 11.（多选）已知函数，下列结论正确的是（       ） A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是 C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是 【详解】要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为． 因为，， 时，，或时，， 所以． 因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，， 所以的单调减区间是． 故选：BC． 12.（多选）关于函数的性质描述，正确的是（ ） A. f(x)的定义域为 B. f(x)的值域为 C. f(x)的图象关于点(3,2)对称 D. f(x)在定义域上是减函数 【详解】由题可知，，分母不能为0，则，A正确；，，即值域为，B正确；关于原点对称，可以由的图像先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则对称中心平移为(3,2)，C正确；在上不符合函数单调性的定义，D错误. 故选：ABC 13.（多选）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（       ） A． B． C．1 D．2 答案及解析： 8.BCD 求出二次函数部分的对称轴，再讨论a与对称轴的大小，求出a的的取值范围即可得到答案 解： 图象的对称轴方程为， ①当，时，有最大值，又，所以，所以此时有最大值1； ②当，时，有最大值， 当时，在单调递减，所以， 所以要有最大值，得，解得，与矛盾，舍去， 综上，当时，有最大值， 故选：BCD． 14．已知是二次函数．且．则________． 【答案】 【分析】设,化简整理对应系数得到，解方程组即可求出结果. 【详解】设， 则， ， 所以，又， 因此，解得，所以， 故答案为：. 15.函数的值域是______． 【答案】 【详解】由题知函数的定义域为， 所以，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $