7.6 用锐角三角函数解决问题（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 7.6 用锐角三角函数 解决问题 第七章 锐角三角函数 章节导读 学 习 目 标 1 2 能用相关知识解决一些简单的坡度坡角问题 能用相关知识解决一些简单的圆中三角形问题 3 能用相关知识解决一些简单的仰角俯角问题、方向角问题 新知探究 锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在许多实际问题中， 我们可以根据其中的数量关系或位置关系找出(或构造出)一个直角三角形，利用锐角三角函数的相关知识解决问题。 新知探究 坡度、坡角： ( 1 ) 坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，通常用i表示，即i = h：l 。坡度越大，坡越陡。 注意：i通常写成1：m的形式。 eg：若h = 2，l = 2，则i = 2：( 2 )，即i = 1：。 ( 2 ) 坡角：坡面与水平面的夹角叫作坡角，一般用字母α、β或γ表示。 知识要点 新知探究 坡度与坡角的关系： 坡度是坡角的正切值，即tan α = i = 。 知识要点 典例分析 问题1 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i (即tan β为1：1.2，坝顶DC = 2.5m，坝高4.5m。求： ( 1 ) 背水坡AD的坡角β ( 精确到0.1° )； ( 2 ) 坝底AB的长( 精确到0.1m )。 方法技巧 分析：作梯形ABCD的高CE、DF。 根据题意，在Rt△AFD和Rt△BEC中，可以分别求出AF与BE的长，从而可求得坝底AB的长。 D C A B α β F E 解：作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F。 ( 1 ) 背水坡AD的坡度i = tan β = 1：1.2 = 。 用计算器计算，得β ≈ 39.8°。 典例分析 ( 2 ) 在Rt△BEC中，α = 30°，∠BCE = 90° - 30° = 60°， EB = CE·tan∠BCE = 4.5 × tan 60°。 在Rt△AFD中，∵ = 1：1.2，∴AF = 1.2DF = 1.2 × 4.5 = 5.4。 又FE = DC = 2.5，∴AB = AF + FE + EB = 5.4 + 2.5 + 4.5 × tan 60° ≈ 15.7。 答：背水坡AD的坡角β约为39.8°，坝底AB的长约为15.7m。 D C A B α β F E 问题1 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i (即tan β为1：1.2，坝顶DC = 2.5m，坝高4.5m。求： ( 1 ) 背水坡AD的坡角β ( 精确到0.1° )； ( 2 ) 坝底AB的长( 精确到0.1m )。 解：如图，作D'H⊥AB，垂足分别为H， 则D'H = DF = 4.5。 由题意可得：DD' = 0.5， = 1：1.4。 在Rt△A'HD'中，A'H = 1.4D'H = 1.4 × 4.5 = 6.3。 又HF = D'D = 0.5，且由问题1可知：AF = 5.4， ∴AA' = A'H + HF - AF = 6.3 + 0.5 - 5.4 = 1.4。 新知探究 拓 展 在问题1中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶DC加宽0.5m，背水坡AD的坡度改为1：1.4。已知堤坝的总长度为5km，求该项工程所需的土方。 D C A B α β F E H A' D' ∴S梯形AA'D'D = ( D'D + AA' )·D'H = × ( 0.5 + 1.4 ) × 4.5 = 4.275， ∴V = 4.275 × 5000 = 21375。 答：该项工程所需的土方为21375m3。 新知探究 拓 展 在问题1中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶DC加宽0.5m，背水坡AD的坡度改为1：1.4。已知堤坝的总长度为5km，求该项工程所需的土方。 D C A B α β F E H A' D' 典例分析 问题2 游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。小明从摩天轮的底部( 与地面相距0.3m )出发开始观光，2min后小明离地面多高？ 方法技巧 分析：如图，用⊙O表示摩天轮，小明从底部点A出发，经过2min后到达点B，由题意可求∠BOA的大小。如果作BC⊥OA，垂足为C，在Rt△OCB中，可以根据OB及∠BOA的大小求得OC，那么就可知道此时小明离地面的高度。 典例分析 解：如图，用⊙O表示摩天轮，A、B分别表示小明的出发点 和2min后的到达点。作BC⊥OA，垂足为C。 由题意知，OB = 20，∠BOA = 360° ÷ 6 = 60°。 在Rt△OCB中，OC = OB·cos∠BOC = 20 × cos 60° = 20 × = 10， AC = AO - CO = 20 - 10 = 10。 ∵摩天轮底部与地面相距0.3m，∴小明离地面的高度应为10.3m。 答：2min后小明离地面10.3m。 问题2 游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。小明从摩天轮的底部( 与地面相距0.3m )出发开始观光，2min后小明离地面多高？ 新知探究 仰角、俯角： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角。 知识要点 水平线 视线 仰角 视线 俯角 典例分析 问题3 小明在某处利用测角仪观测气球的仰角(从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角)为27°，然后他沿正对气球方向前进了50m，此时观测气球的仰角为40°。如果测角仪高度为1m，那么气球的高度是多少？( 精确到0.1m ) 方法技巧 分析：如图，小明分别从点A、B处观测气球C，CD表示气球与小明观测气球时的水平视线的距离，由题意可知∠CAD、∠CBD分别为27°和40°，AB = 50m。要计算CD，可分别在Rt△ACD及Rt△BCD中，寻求CD与已知量的关系式，再计算CD。 典例分析 解：如图，点A、B、C分别表示小明两次观测点及气球位置。 由题意知，∠CAD = 27°，∠CBD = 40°， CD⊥AD，AB = 50m，设CD = x m。 在Rt△BDC中，由tan 40° = ，得BD = 。 在Rt△ADC中，由tan 27° = ，得AD = 。 问题3 小明在某处利用测角仪观测气球的仰角(从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角)为27°，然后他沿正对气球方向前进了50m，此时观测气球的仰角为40°。如果测角仪高度为1m，那么气球的高度是多少？( 精确到0.1m ) 典例分析 ∵AD - BD = 50，∴ - = 50。 ∴x = 。 用计算器计算，得x ≈ 64.9。 由于测角仪的高度为1m，因此气球的高度约为65.9m。 答：气球的高度约为65.9m。 问题3 小明在某处利用测角仪观测气球的仰角(从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角)为27°，然后他沿正对气球方向前进了50m，此时观测气球的仰角为40°。如果测角仪高度为1m，那么气球的高度是多少？( 精确到0.1m ) 新知探究 方向角： 指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角叫作方向角。 如图中的目标方向线OA，OB的方向角分别表示北偏东60°，南偏西30°。 知识要点 北 东北 南 东 西 西北 东南 西南 新知探究 思 考 大海中某小岛周围的10km范围内有暗礁。一海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？ 解：如图，点A、B、C分别表示海轮两次测量方向角的位置及小岛位置。 作CD⊥AD，由题意知，∠ACD = 55°，∠BCD = 25°， AB = 20km，设CD = x km。 在Rt△BDC中，由tan 25° = ，得BD = tan 25°x。 在Rt△ADC中，由tan 55° = ，得AD = tan 55°x。 2 2 D A B C 新知探究 思 考 大海中某小岛周围的10km范围内有暗礁。一海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？ ∵AD - BD = 20，∴tan 55°x - tan 25°x = 20。 ∴x = 。 用计算器计算，得x ≈ 20.8。 ∴CD = 20.8 > 10，即C岛到海轮的航线的最短距离大于10km， ∴不会有触礁的危险。 2 2 D A B C 题型探究 【例1】如图，滑雪场有一坡度i = 1：4的滑雪道，滑雪道AC的长为20 米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB为 （　　） A．20 米 B．10 米 C．5 米 D．80 米 坡度坡角问题 题型一 解：由题意可得：i = tan C = = ，则4AB = BC， 在Rt△ABC中，AB2 + BC2 = 17AB2 = AC2 = ( 20 )2 = 6800， ∴AB2 = 400，解得：AB = 20(舍去负值)。 A 题型探究 【例2】某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ① 堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ② 将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形， 坡度坡角问题 题型一 图 2 题型探究 【例2】相关数据如下：坡角∠ABC = 26.5°，∠DCB = 30°，∠DEC = 45°， 坝顶AD = 5米，坝底黏土宽度BE = 17.5米，且AD // BC，点B、E、C在同一水平线上，请根据上述数据，计算背水坡CD的长。 ( 参考数据：sin 26.5 ° ≈ 0.45，cos 26.5 ° ≈ 0.89，tan 26.5 ° ≈ 0.50 ) 坡度坡角问题 题型一 解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DH⊥BC于H， 则四边形AFHD为矩形， ∴FH = AD = 5，DH = AF， 在Rt△DHE中，∠DEH = 45°， ∴DH = EH = EF + 5， 图 2 F H 题型探究 【例2】相关数据如下：坡角∠ABC = 26.5°，∠DCB = 30°，∠DEC = 45°， 坝顶AD = 5米，坝底黏土宽度BE = 17.5米，且AD // BC，点B、E、C在同一水平线上，请根据上述数据，计算背水坡CD的长。 ( 参考数据：sin 26.5 ° ≈ 0.45，cos 26.5 ° ≈ 0.89，tan 26.5 ° ≈ 0.50 ) 坡度坡角问题 题型一 在Rt△ABF中，∠ABF = 26.5°，∴tan∠ABF = ， ∴ ≈ 0.50，解得：EF = 7.5， ∴DH = 7.5 + 5 = 12.5， 在Rt△DHC中，∠DCH = 30°，∴CD = 2DH = 25， 答：背水坡CD的长约为25米。 图 2 F H 题型探究 【例3】秋千吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为120°， 则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为________m。 圆中三角形问题 题型二 解：如图，设秋千摆动的最高点分别A、B，最低点为C， 连接AB交OC于点D， ∵OA = OB = 4，OC⊥AB，∠AOB = 120°， ∴∠AOD = ∠AOB = 60°， ∴OD = OA·cos∠AOD = 4 × = 2， ∴CD = OC - OD = 4 - 2 = 2， 答：秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为2m。 B O C A D 2 题型探究 【例4】如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（　　）米 ( 精确到1米 )。 ( 参考数据：sin 37° ≈ 0.6，cos 37° ≈ 0.8，tan 37° ≈ 0.75， ≈ 1.7 ) A．74 B．91 C．57 D．40 仰角俯角问题 题型三 A D 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC = ∠ADB = 90°， 由题意可知：∠CAD = 37°，∠BAD = 60°，AD = 30， 在Rt△ADC中，tan∠CAD = ，∴CD = AD·tan 37° ≈ 30 × 0.75 = 22.5， 在Rt△ADB中，tan∠BAD = ，∴BD = AD·tan 60° = 30 × = 30， ∴BC = BD + CD = 22.5 + 30 ≈ 74，即这栋楼的高度BC是74米。 题型探究 【例5】数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC。如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45°，测得楼顶C处的俯角为30° ( 点A、B、C、D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量 )；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB = 70米。请根据提供的数据，求出楼房高度。 ( 结果精确到1米，参考数据： ≈ 1.73 ) 仰角俯角问题 题型三 楼房 45° 30° 解：如图，过点A作AE⊥l，垂足为E， 延长BC交直线l于点F，则BF⊥l， F E 题型探究 【例5】第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45°，测得楼顶C处的俯角为30°；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB = 70米。请求出楼房高度。 ( 结果精确到1米，参考数据： ≈ 1.73 ) 由题意得：AE = BF = 40，AB = EF = 70， 在Rt△ADE中，∠ADE = 45°，∴DE = AE = 40， ∴DF = EF - DE = 70 - 40 = 30， 在Rt△CDF中，∠CDF = 30°，∴CF = DF·tan 30° = 30 × = 10， ∴BC = BF - CF = 40 - 10 ≈ 23，答：楼房高度约为23米。 楼房 45° 30° F E 仰角俯角问题 题型三 题型探究 【例6】如图，在A 处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB = 2米，则点P到直线AB距离PC为（　　） A．3 米 B． 米 C．2 米 D．1 米 方向角问题 题型四 60° 30° 北 东 B 解：设点P到直线AB距离PC为x米， 在Rt△APC中，AC = = x， 在Rt△BPC中，BC = = x， ∴x - x = 2，解得：x = ，答：点P到直线AB距离PC为米。 题型探究 【例7】近期，我市各学校积极开展“行走的思政课”活动，让思政课从“书本本”走向“心窝窝”。某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路A – C – D；②号线路A – B – D。经勘测，C在A的正北方向，B在A正东方向且在D南偏西15°方向，同时B在C南偏东30°方向，D在C北偏东75°方向，B、C两地相距8千米。 ( 1 ) 求∠ABD的度数； ( 2 ) 请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？ ( 参考数据： ≈ 1.4， ≈ 1.7， ≈ 2.5 ) 方向角问题 题型四 75° 30° 北 东 15° 75° 30° 北 东 15° 题型探究 【例7】( 1 ) 求∠ABD的度数； 方向角问题 题型四 解：( 1 ) 如图，由题意可知： ∠ACB = 30°，∠ECD = 75°， ∴∠BCD = 180° – ∠ACB – ∠ECD = 75°， 在△BAC中，∠ABC = 180° – ∠A – ∠ACB = 60°， ∵CE // DF，∴∠FDC = ∠ECD = 75°， ∴∠BDC = ∠FDC – ∠FDB = 60°， 在△BCD中，∠CBD = 180° – ∠BDC – ∠BCD = 45°， ∴∠ABD = 60° + 45° = 105°。 E F 题型探究 【例7】某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路A – C – D；②号线路A – B – D。B、C两地相距8千米。 ( 2 ) 请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？ ( 参考数据： ≈ 1.4， ≈ 1.7， ≈ 2.5 ) 方向角问题 题型四 ( 2 ) 如图，过C点作CH⊥BD于点H， 在Rt△ABC中，AB = BC = 4，AC = BC·cos∠ACB = 8 × = 4， 在Rt△BCH 中，BH = CH = BC·sin∠CBH = 8 × = 4 ， 75° 30° 北 东 15° H 题型探究 方向角问题 题型四 在Rt△CDH 中，CD = = = ， DH = = = ， ∴①号线路的路程为：AC + CD = 4 + ≈ 13.5 ( 千米 )， ②号线路的路程为：AB + BD = 4 + 4 + ≈ 12.9 ( 千米 )， ∵ 13.5 > 12.9， ∴ ②号线路的路程更短。 75° 30° 北 东 15° H 课堂小结 坡度、坡角： ( 1 ) 坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度 (或坡比)， 通常用i表示，即i = h：l 。坡度越大，坡越陡。注意：i通常写成1：m的形式。 eg：若h = 2，l = 2，则i = 2：( 2 )，即i = 1：。 ( 2 ) 坡角：坡面与水平面的夹角叫作坡角，一般用字母α、β或γ表示。 坡度与坡角的关系：坡度是坡角的正切值，即tan α = i = 。 仰角、俯角： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角。 课堂小结 方向角： 指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角叫作方向角。 如图中的目标方向线OA，OB的方向角分别表示北偏东60°，南偏西30°。 感谢聆听! $