第3章勾股定理（单元练习） 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 第3章勾股定理 （单元同步练习） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．4，5，6 C．0.6，0.8，1 D．9，12，15 2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．3、4、6 B．4、5、6 C．5、7、9 D．5、12、13 3.中，，则斜边的长为（  ） A．10 B． C． D． 4.△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 5.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 6.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　） A．4 B．3 C．5 D．4.5 8.如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．2或 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，x＝　　． 10. 直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 11.如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 12.如图，在△ABC中AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为　　． 13.如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 　　m． 14.如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 15.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2＝S1+S3，已知AB的长度为7，则CD的长度为 　14　． 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 　　． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，∠EDC＝90°，DC＝3，CE＝5，BD＝7，AB＝8，AE＝1，求四边形ABDE的面积． 18.如图，小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上： (1) ； ； ； (2)求出的长 19.如图，在中，，于点D，，． (1)求的面积； (2)求线段的长． 20.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 21.如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 22.如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． (1) 当时，求的面积． (2)t为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索：当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 23.我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 24.【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．4，5，6 C．0.6，0.8，1 D．9，12，15 【答案】D 2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．3、4、6 B．4、5、6 C．5、7、9 D．5、12、13 【答案】D 3.中，，则斜边的长为（  ） A．10 B． C． D． 【答案】A 4.△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 【答案】C 5.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 6.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　） A．4 B．3 C．5 D．4.5 【答案】B 8.如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，x＝　　． 【答案】15 11. 直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 【答案】289或161 11.如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 【答案】 12.如图，在△ABC中AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为　21　． 【答案】21 13.如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 　　m． 【答案】2 14.如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 【答案】 15.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2＝S1+S3，已知AB的长度为7，则CD的长度为 　14　． 【答案】14 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 　　． 【答案】5或t＝8或t 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，∠EDC＝90°，DC＝3，CE＝5，BD＝7，AB＝8，AE＝1，求四边形ABDE的面积． 【答案】由题意得：AC＝AE+CE＝1+5＝6，BC＝BD+DC＝7+3＝10， 在Rt△EDC中，由勾股定理得：， ∵62+82＝102， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴S四边形ABDE＝S△ABC﹣S△EDCAB•ACDE•DC8×64×3＝18． 答：四边形ABDE的面积为18． 18.如图，小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上： (1) ； ； ； (2)求出的长 【答案】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 由网格的特点可得点D为的中点， ∴，， 如图所示，过点D作于H，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 19.如图，在中，，于点D，，． (1)求的面积； (2)求线段的长． 【答案】（1）解：在中，， ，， ∴， ∴， ∴的面积为24． （2）解：∵在中，，于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为． 20.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC_____________（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）． 【答案】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，∴，故答案为“＝”． （2）连接，则点、、三点共线， 在中，（米），（米）， 在中，（米）， ∵，（米）， 男孩需向右移动的距离为米． 21.如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 【答案】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由题意知，，，， 在中，． 答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为． 22.如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． (2) 当时，求的面积． (2)t为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索：当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 【答案】（1）解：当时，则，所以的面积； （2）解：过作，如图1： ∵，， ∵，∴，∵为的平分线，∴， ∵，∴，∴，， 在中，，，解得：； （3）解：如图：因为是以为腰的等腰三角形， 当点P在上时，时，； 当点P在上时，时，过作于， ，即，解得：， ，，， ，； 当时，， 故答案为：或或． 23.我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 24.【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $