第3章勾股定理（单元提升练习） 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 第3章勾股定理 （单元提升练习） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6 3.如图，在中，，底边上的高，，这个三角形的边长为（  ） A． B．， B． D．， 4.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A． ①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5.如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 6.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（　　） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 7.某房屋示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则点A到地面的距离为（　　） A．5.5m B．6m C．6.5m D．7m 8.我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在的网格中，四边形是“等邻边四边形”，顶点在网格格点上，如果点也在网格格点上，那么点的位置有（　　） A． 个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是 ． 10.若等腰三角形三条边的长分别为，，，则这个三角形一腰上的高为 ． 11.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 ． 12.我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 13.如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向．A，B之间的距离为海里，则C岛到航线的最短距离是 海里． 14.小明把一个边长为的正方形按如图1的方式裁成个形状、大小完全相同的直角三角形，然后拼成如图的图形，得到正方形、正方形，小明把正方形的边放在数轴上，其中点与数轴上表示1的点重合，且点在原点右侧，则点表示的数是 ． 15.如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为 　　． 16.如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 18.如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 19.如图，在中，，，点是边上的一点，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求线段的长． 20.如图，在中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长． 21.现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 22.中国天文传统之一，就是“立表测影”，当用来观察季节或时间时：首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，第三是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，在中，，平分，． (1) 若“表”，，求的长； (2)连接，若，判断的形状，并说明理由． 23.“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 24.问题提出（1）如图1，在中，，，，求点B到边的距离； 问题探究（2）如图2，在中，，，以为斜边作等腰，连接，求的最大值； 问题解决（3）如图3是某试验田的示意图，其中，，且，A、C之间的距离为．现要求从点A处修建一条笔直的水渠（点P在四边形的任意一条边上），且平分该试验田的面积，请问小王能否找到满足条件的点P？如果能，求出点P到的距离；如果不能，请说明理由． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 【答案】D 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6 【答案】D 3.如图，在中，，底边上的高，，这个三角形的边长为（  ） C． B．， D． D．， 【答案】A 4.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） B． ①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 5.如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    B． B． C． D． 【答案】C 6.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（　　） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【答案】B 7.某房屋示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则点A到地面的距离为（　　） A．5.5m B．6m C．6.5m D．7m 【答案】B 8.我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在的网格中，四边形是“等邻边四边形”，顶点在网格格点上，如果点也在网格格点上，那么点的位置有（　　） B． 个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是 ． 【答案】100或28 10.若等腰三角形三条边的长分别为，，，则这个三角形一腰上的高为 ． 【答案】 11.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 ． 【答案】12 12.我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 【答案】9 13.如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向．A，B之间的距离为海里，则C岛到航线的最短距离是 海里． 【答案】 14.小明把一个边长为的正方形按如图1的方式裁成个形状、大小完全相同的直角三角形，然后拼成如图的图形，得到正方形、正方形，小明把正方形的边放在数轴上，其中点与数轴上表示1的点重合，且点在原点右侧，则点表示的数是 ． 【答案】 15.如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为 　　． 【答案】 16.如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】如图，连接， 由折叠得，， 是的中点， ， ∴ 在长方形中，， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的长为． 18.如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 【答案】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8，15； （2）设，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 19.如图，在中，，，点是边上的一点，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】（1）解：，，， ， 是直角三角形． （2）解：是直角三角形， ， 在中，， ， ， ， 解得， 故的长为． 20.如图，在中，点为边上一点，． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若点在的平分线上，求的长． 【答案】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则， 在Rt中，， ， ； （2）解：过点作于点， ， 平分， ， 在与中， ， （）， ， ， 设，则， 在中，， ， . 21.现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【答案】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是， 故答案为：； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为：， 当时，原式． 22.中国天文传统之一，就是“立表测影”，当用来观察季节或时间时：首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，第三是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，在中，，平分，． (2) 若“表”，，求的长； (2)连接，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：在中，，，，， 平分，，（即），， 设，则，， ，，， ，解得，，即． （2）是等边三角形．理由如下：，， 又平分，，， 在中，， ，，，，， ，，又，是等边三角形． 23.“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 【答案】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，所以代数式的最小值为5． （2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上）， 则，，∴可将问题转化为求线段的最小值， ∴的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，所以代数式的最小值为10． （3）解：由题意，构造如下图形：其中，，，，于点， ∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，所以的值为． 24.问题提出（1）如图1，在中，，，，求点B到边的距离； 问题探究（2）如图2，在中，，，以为斜边作等腰，连接，求的最大值； 问题解决（3）如图3是某试验田的示意图，其中，，且，A、C之间的距离为．现要求从点A处修建一条笔直的水渠（点P在四边形的任意一条边上），且平分该试验田的面积，请问小王能否找到满足条件的点P？如果能，求出点P到的距离；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）解：如解图1，过点作于点， ∵在中，，∴． ∴．∴．∴点到边的距离为； （2）如解图2，将绕点顺时针旋转得到，使点与点重合．∴． ∵，∴当点三点重合时，有最大值，∴的最大值为8． ∵，∴．∴的最大值为； （3）能． 如解图3，将绕点顺时针旋转得到，使得与重合， ∴． ∵，∴，∴．∴三点共线． ∵，∴，∴． 过点作交的延长线于点，连接． ∵与均是以为底边的三角形，且高相等，∴．∴． ∵由旋转性质可得，．∴． 取的中点，连接，过点作于点，则即为所求． ∴．∴．解得．∴点到的距离为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $