第3章勾股定理（单元分层练习） 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 第3章勾股定理 （单元分层练习） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.在下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6 2.已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．a2＝（b+c）（b﹣c） C．∠A＝2∠B＝3∠C D．a：b：c＝3：4：5 3.在中，，，，则的长是（    ） A． B．11 C．13 D．17 4.如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（　　） A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm 5.如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 6.如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．3 B．4 C．5 D．6 7.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 8.某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，在中，，，，则 ． 11.直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ． 11.如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点D在数轴上表示．以点D为圆心，长为半径画弧，交数轴右侧于点E，则点E所表示的数是 ． 12.如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为 　　． 13.如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．则阴影部分的面积＝　　． 14.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　　米． 15.明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图中，、表示秋千的绳索，，，，则该秋千的索长 ． 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士好奇，算出索长有几？ 16.包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 18.如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 19.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 20.如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点． (1)线段的长度等于__________； (2)以点A、B、P为顶点的面积为__________； (3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足． 21.如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 22.如图，我方侦察员在距离东西公路处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距的D处． (1)求敌方汽车的速度；(2)侦察站A到东西公路只有一条长为的小路，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路进行拦截，若我方队员车速为，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 23.如图，． (1)求出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到F，使，连接．补全图形，并证明． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点H，延长交于点M，延长交于点G．补全图形并证明． 24.对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】（1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】（3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.在下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6 【答案】C 2.已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．a2＝（b+c）（b﹣c） C．∠A＝2∠B＝3∠C D．a：b：c＝3：4：5 【答案】C 3.在中，，，，则的长是（    ） A． B．11 C．13 D．17 【答案】C 4.如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（　　） A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm 【答案】B 5.如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． B． B． C． D． 【答案】D 6.如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 7.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 8.某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（   ） B． B． C． D． 【答案】D 3、 填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，在中，，，，则 ． 【答案】4 11.直角三角形的两边长为3、4，则第三边为 ． 【答案】5或 11.如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点D在数轴上表示．以点D为圆心，长为半径画弧，交数轴右侧于点E，则点E所表示的数是 ． 【答案】 12.如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为 　　． 【答案】64 13.如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．则阴影部分的面积＝　　． 【答案】24 14.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　　米． 【答案】9 15.明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图中，、表示秋千的绳索，，，，则该秋千的索长 ． 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士好奇，算出索长有几？ 【答案】 16.包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 【答案】50 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 【答案】（1）证明：连接BE，如图： ∵AB边上的垂直平分线为DE， ∴AE＝BE， ∵CB2＝AE2﹣CE2， ∴CB2＝BE2﹣CE2， ∴CB2+CE2＝BE2， ∴C＝90°； （2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x， ∴在Rt△BCE中， EC2+BC2＝BE2， 即x2+62＝（8﹣x）2 解得：， 则． 18.如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】（1）解：．理由如下： 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 19.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准，证明如下： 在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 20.如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点． (1)线段的长度等于__________； (2)以点A、B、P为顶点的面积为__________； (3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足． 【答案】(1)（1）解：由网格的特点和勾股定理可得； （2）解：； （3）解：如图所示，取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，则， 可证明，则可证明． 21.如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 【答案】（1）解：与的位置关系是垂直且平分， 证明∶连接， ，，M为中点， ，， ， 为中点， ，， 即与的位置关系是垂直且平分； （2）解：， ， ，， ， 即． 22.如图，我方侦察员在距离东西公路处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距的D处． (1)求敌方汽车的速度；(2)侦察站A到东西公路只有一条长为的小路，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路进行拦截，若我方队员车速为，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 【答案】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意可知，，，由勾股定理得：， ， ，，答：敌方汽车的速度为； （2）解：能成功在点拦截敌方汽车，理由如下：由题意可知，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，，， 敌方汽车的到达点的时间为：， 我方队员车速为，我方队员到达点的时间为：， ，能成功在点拦截敌方汽车． 23.如图，． (1)求出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到F，使，连接．补全图形，并证明． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点H，延长交于点M，延长交于点G．补全图形并证明． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，     ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24.对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】（1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】（3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 【答案】（1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即． 故答案为：． （2），验证如下：由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即，整理得． （3）由图形可知图形的面积为或，所以．故答案为：． （4）由图形可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形的面积为，∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $