浙江省杭州市第五中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州五中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的对称轴是(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2.“a是实数，”这一事件是(    ) A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3.如图，点A，B，C在上，连结AB，AC，OB，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.已知线段m，n，p，q的长度满足等式，将它改写成比例式的形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 5.将抛物线向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是(    ) A. B. C. D. 6.下列说法中正确的说法有个 ①不在同一直线上的三点确定一个圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.如图，，AC，BD相交于点E，，，，则AB的长为(    ) A. B. C. 1 D. 2 8.点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 9.如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有(    ) A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 10.如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则线段CD的长度是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知线段，，线段c是a，b的比例中项，则        . 12.“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有      人有此习惯. 13.已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形面积是______. 14.如图，已知，，，若与相似，则      . 15.已知抛物线经过和两点，则图象的顶点坐标为      . 16.已知圆O的半径为4，A、B为圆上两点且，C是圆周上的一个动点，分别以AO，AC为边作平行四边形AODC，连在点C的运动过程中，BD的最大值为        . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 已知x：：3，求： 的值； 若，求x，y的值. 18.本小题6分 已知二次函数 将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值； 求该函数图象与y轴的交点坐标. 19.本小题8分 一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球． 任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率要求画树状图或列表； 现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． 20.本小题8分 如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，连接AE，过点D作于点 求证：∽； 求DF的长. 21.本小题10分 某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍.试销中发现这种商品每天的销售量件与每件销售价元的关系数据如下： x 30 32 34 36 y 40 36 32 28 已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式： 设该商店每天销售这种商品所获利润为元，求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？ 22.本小题10分 如图，BC是的直径，P是上一点，A是的中点，于点D，BP与AD相交于点 求证： 若，求阴影部分的面积结果保留和根号 23.本小题12分 已知抛物线为常数， 它的图象过点，，求b的值； 设、是抛物线上的两点，其中 ①当时，，求b的取值范围. ②若抛物线与x轴只有一个交点且，时，求m的值； 24.本小题12分 【基础巩固】 如图1，点A，F，B在同一直线上，若，求证：∽； 【尝试应用】 如图2，AB是半圆的直径，弦长，E，F分别是AC，AB上的一点，，若设，，求出y与x的函数关系. 【拓展提高】 已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.如图3，如果AD：：n，求CE：CF的值用含n的代数式表示 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：抛物线的对称轴是y轴， 故选： 由抛物线解析式可得抛物线对称轴为y轴． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 2.【答案】C  【解析】解：“a是实数，”这一事件是不可能事件， 故选： 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3.【答案】C  【解析】解：，， 故选： 直接利用圆周角定理求解即可求得的度数． 此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4.【答案】D  【解析】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得，与原式不相等，错误，不符合题意； B、两边同时乘以最简公分母mq得，与原式不相等，错误，不符合题意； C、两边同时乘以最简公分母qm得，与原式不相等，错误，不符合题意； D、两边同时乘以最简公分母qn得，与原式相等，正确，符合题意； 故选： 根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案． 本题主要考查了比例线段等知识点，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同． 5.【答案】A  【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是 故选： 根据“上加下减”的原则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确； ②能够重合的弧是等弧，原说法不正确； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法不正确； ④平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法不正确． 综上所述，正确的说法有1个． 故选： 根据垂径定理的推论、确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系判断即可． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：， ∽， ， ，，， ， 故选： 根据相似三角形对应边长成比例可求得结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键在于找到对应边长． 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断 【解答】 解：， 对称轴为， ，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ， ， 根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称， 故， 故选 9.【答案】B  【解析】解：抛物线开口向下， ， ， ，， ①错误，④正确， 抛物线与x轴交于，0处两点， ，方程的两个根为，， ②⑤正确， 当时，即， ③错误， 故正确的有②④⑤． 故选： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用 10.【答案】C  【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，作图-复杂作图，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及黄金分割的定义是解题的关键． 【解答】 解：，， ， 由题意得：BD平分， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 顶角是的等腰三角形是黄金三角形， 是黄金三角形， ， ， ， ， ， 故选： 11.【答案】  【解析】解：线段c是线段a、b的比例中项， ， 即， 解得或舍去， 即c的值为 故答案为： 根据比例中项的定义得到，然后利用算术平方根的定义去解． 本题考查了比例线段，正确理解比例中项的定义是解决问题的关键． 12.【答案】90  【解析】解：根据题意知估计有此习惯的人数为人， 故答案为： 用总人数乘以有“手机阅读”习惯的百分比，据此可估计总体中有此习惯的人数． 本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 13.【答案】  【解析】解：由题意得，，， 故可得扇形的面积 故答案为 直接根据扇形的面积公式计算即可． 此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般． 14.【答案】或  【解析】解：当∽时， ， ，， ， ， 当∽时， ， ，， ， ， ， 则BD的长为或 故答案为：或 根据相似三角形的性质当∽时，当∽时，分别求出即可． 此题主要考查了相似三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：抛物线经过和两点， ， 解得， ， 该函数图象的顶点坐标为， 故答案为： 根据二次函数图象具有对称性和二次函数的对称轴，可以求得b的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标． 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值． 16.【答案】8  【解析】解：延长AO交于点F，连接OC，FD，FB，则：， 由条件可知，， ，， 四边形COFD为平行四边形， ， 四边形COFD为菱形， ， 由条件可知，为等边三角形， ， ， 点O，B，D在以点F为圆心，OF的长为半径的圆上， 当BD为的直径时，BD的值最大，为 故答案为： 延长AO交于点F，连接OC，FD，FB，易证四边形COFD为菱形，为等边三角形，进而得到，进而得到点O，B，D在以点F为圆心，OF的长为半径的圆上，进而得到BD的最大值为的直径，即可得出结果． 本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，圆的确定，等边三角形的判定和性质，解题的关键是确定点D的运动轨迹． 17.【答案】解：由x：：3，设，； ； ， ， 解得：， ，  【解析】利用已知表示出x，y的值，进而求出答案； 直接利用已知，进而得出答案． 此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键． 18.【答案】，，，    【解析】解：， ，，； 当时，， 函数图象与y轴的交点坐标为 根据完全平方公式即可化为一般形式，即可得出a，b，c的值； 求出当时，y的值，即可得函数图象与y轴的交点坐标． 本题考查了二次函数的性质、二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、二次函数的三种形式． 19.【答案】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种， 两次摸出的球恰好都是红球的概率为； 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，   【解析】画树状图，共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可； 由概率公式得出方程，解方程即可． 此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】证明：四边形ABCD是矩形， ， 于点F， ， ， ， ， ∽ 解：，，，E是BC的中点， ，， ， ∽， ， ， 的长是  【解析】由矩形的性质得，由于点F，得，所以，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽； 由，，E是BC的中点，得，，则，由相似三角形的性质得，则 此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明∽是解题的关键． 21.【答案】解：设该函数的表达式为，根据题意得： ， 解得， 与x之间的关系式为； 根据题意，得 ， ， 当时，w的值最大，为450元， 当销售单价为35元时，获得利润最大．最大利润为450元．  【解析】待定系数法求解一次函数解析式即可； 根据题意得，计算求出满足要求的解即可． 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到题中的等量关系并列出函数解析式． 22.【答案】证明：是的中点， ， ， 为的直径， ， 即， ， ， ， ，     【解析】证明：是的中点， ， ， 为的直径， ， 即， ， ， ， ， ； 如图，连接OA， ，， ， ，， 阴影部分的面积 利用等弧所对的圆周角相等可得，在和中，利用同角的余角相等可得，则，即可得出结论； 连接OA，根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定和性质得，，，再利用扇形的面积公式和三角形的面积公式计算即可得出结论． 此题考查了扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识点． 23.【答案】  ①；②m的值为4  【解析】过点，， 对称轴为：， 解得：， ； ①设、是抛物线上的两点， ， ， ， 当时，， 此时，即， ， ， ， ， ； ②与x轴只有一个交点， ， 则， ， 当时， ， ， 、是的两个根， ，， ， ， ， 解得：， 的值为 过点，，根据对称轴公式解决； ①、是抛物线上的两点，则，由于，可得，而，所以即可解决； ②与x轴只有一个交点，则，根据、是的两个根，，，因为，利用即可解决． 本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 24.【答案】证明见解答过程    ：  【解析】证明：， ， ， ， ∽； 解：是的直径， ， ， ， ， ， 由可得∽， ， 即， ； 解：连接DE，DF， 与关于EF对称， ，，， ， ， ， ∽， 设，，， ：：n， ， ， ，， ∽， ， ， 由前两项得，①， 由后两项得，， ， ， 解得，， 由①得， ：： 利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可； 利用得出∽，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y和x的数量关系，进而求出y与x的函数关系式； 首先证明∽，表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，勾股定理以及二次函数最值等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $