7.3平行线的证明（第1课时 平行线的判定）（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

该初中数学教学设计聚焦平行线的判定，核心知识点包括平行线定义、同位角相等/内错角相等/同旁内角互补的判定定理及综合法证明步骤。通过小明折纸情境导入，回顾旧知（定义、同位角判定），引出内错角、同旁内角判定的探究，构建前后知识脉络。 特色在于直观操作与逻辑推理融合，如折纸活动帮助理解“同旁内角互补”，培养几何直观（数学眼光）；通过推理证明定理，发展推理能力（数学思维）；练习结合生活实例，提升应用意识（数学语言）。助力学生深化理解，提升推理与动手能力，为教师提供清晰教学流程，突出重难点。

7.3平行线的证明 （第1课时 平行线的判定） 教学设计 1.教学内容 本节课选自北师大版2024八年级上册第七章“证明”中“3 平行线的证明”的第一课时“平行线的判定”。核心知识点包括：平行线的定义、平行线判定的三个定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），以及综合法证明的一般步骤。通过情境引入、小组讨论、动手操作等方式，引导学生理解几何命题的结构、把握判定和性质的互逆关系。 2.内容解析 本节课围绕“平行线如何判定”展开，旨在帮助学生完成几何推理由感性到理性的飞跃。首先，从“同位角相等，两直线平行”这一基本事实出发，类比推出“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”两大平行线判定定理。其次，通过“画图—列条件—写求证—分析路径—组织证明”五步综合法，培养学生严谨的几何推理能力。再次，结合折纸操作、讨论交流等活动，加深学生对平行线判定的形式与本质的理解，培育学生的化归思想与分类讨论思想。最后，通过课堂练习与生活实例拓展，巩固学生对判定定理的应用能力，并初步体会定理的互逆性和几何研究方法的一般规律。本节教学突出证明的必要性与重要性，通过不同角度（同位角、内错角、同旁内角）统一判定结果（平行），进一步深化学生对几何逻辑体系的整体认识，夯实空间想象力和推理表达能力的基础。 1.教学目标 •经历平行线的判定定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式和方法，发展几何推理能力。 •能根据“同位角相等，两直线平行”推理并证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”。 •通过画图、讨论和推理，深入理解平行线的判定，培养化归思想和分类讨论思想，感受互逆思维过程。 2.目标解析 • 侧重于过程体验和方法掌握，让学生熟悉证明流程。 • 要求学生在已有的“同位角相等”基础上，通过对顶角相等、邻补角等几何事实进行转化，完成另外两种判定的推理。 • 强调综合运用动手、讨论、观察与思考，培养学生的思维品质与合作学习能力，并在不同视角、不同变式中深化对判定定理的理解。 3.重点难点 • 教学重点：平行线判定三种方法的推理过程和综合法证明思路。 • 教学难点：在问题情境中灵活使用几何语言转化已知与结论、并选用适当的辅助线或角的等量代换等推理手段完成证明。 八年级学生对几何入门基础、角的相关性质及简单作图有初步掌握，但对“判定与性质”的互逆关系和几何证明思路还不够熟练。本课需要在直观操作（如折纸、画图）与逻辑推理之间建立紧密联系；通过反复观察、比较和讨论，帮助学生逐步内化综合法证明的过程与思想，降低对几何逻辑思维的畏难情绪，增强学习兴趣与信心。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.章节导读 2.情景引入 ①小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ 解：对，因为同位角相等，两直线平行. ②两条直线在什么情况下互相平行呢？ 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.→平行线的定义 同位角相等，两直线平行.→九条基本事实之一 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 【设计意图】通过小明的折线情景，引发学生回顾已有的平行线定义及判定方法，在质疑与思辨中激发学习兴趣，明确本节课的探究方向与目标。 探究点1：内错角相等，两直线平行 ①基本事实 ： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 应用格式： ∵∠1=∠2 (已知)， ∴ a∥b (同位角相等，两直线平行). ②命题 ： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 已知：如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2. 求证：a∥b. 证明：∵∠1＝∠2 (已知)， ∠1＝∠3 (对顶角相等)． ∴∠3＝∠2 (等量代换)． ∴a∥b (同位角相等，两直线平行)． ③定理： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成： 内错角相等，两直线平行. 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴a∥b 【设计意图】引导学生体验由“内错角相等”转化为“同位角相等”的核心思维过程，深化对几何推理中“化归”思想的认识。 探究点2：同旁内角互补，两直线平行 1.议一议 定理 ： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行. 几何语言： ∵∠1+∠2=180° ∴a∥b 2.知识归纳 已给的基本事实、定义和已经证明的定理 以后都可以作为依据，用来证明新的结论. 3.思考交流 （1）证明的一般步骤： 第一步：根据题意，画出图形． 　　先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 　　把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．　 （2）我们可以用如图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗? 解：同位角相等， 内错角相等， 同旁内角互补， 两直线平行。 两直线平行。 两直线平行 （3）在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明，与同伴交流各自的折纸方法与证明过程 解：如图所示，将不规则四边形纸片OMPN折叠，使O落在O′处，折痕分别交MO，NO于点A，C，再进行折叠，分别使AM与直线AO′，CN与直线CO′重合，折痕分别交MP于点B，交PN于点D，即得到AB∥ CD. 证明：由折叠可以得到∠1=∠2，∠3=∠4. ∵ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°. ∴ 2(∠2+∠3)=180°，即∠BAC=∠2+∠3=90°. 同理可得∠ACD=90°. ∵ ∠BAC+∠ACD=90°+90°=180°. ∴ AB∥ CD. 【设计意图】结合折纸实例，将平行线判定的几何原理与操作体验相结合，增强学生对于核心定理“同旁内角互补，两直线平行”的感性和理性认识。 1．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180° 解：D． 2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( ) A.75° B.95° C.105° D.115° 解：C． 3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件： ①∠1=∠2； ②∠3=∠6；③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180°，其中能判定AB∥CD的是( ) A.①③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 解：B. 4.如图，已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点E、F，且有∠1=70°，则∠2=_____. 解：． 5. 如图，已知∠1=70°，如果CD//BE，那么∠B的度数为_____. 解：. 6.如图. （1）从∠1 = ∠4，可以推出_____∥_____，理由是_________________________. (2) 从∠ABC +∠_____= 180°，可以推出 AB∥CD，理由是_________________________. (3) 从∠_____=∠ 2 ，可以推出 AD∥BC，理由是_________________________. (4) 从∠5 =∠_____，可以推出 AB∥CD，理由是_________________________. 解：(1）AB，CD;内错角相等，两直线平行 (2)BCD,同旁内角互补，两直线平行 (3)3,内错角相等，两直线平行 (4)ABC,同位角相等，两直线平行 7.根据图形完成填空： ① ∵∠1 =_____（已知）， ∴ AB∥CE ( ). ② ∵∠1 +_____= 180°（已知）， ∴ CD∥BF ( ). ③ ∵∠1 +∠5 = 180°（已知）， ∴ _____∥_____ ( ). ④ ∵∠4 +_____= 180°（已知）， ∴ AB∥CE ( ). 解: ①∠2,内错角相等,两直线平行 ②∠3,同旁内角互补,两直线平行 ③CE,AB,同旁内角互补,两直线平行 ④∠3,同旁内角互补,两直线平行 8.如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF=DE. 求证：CF∥ AB. 证明：∵ 点E为边AC的中点， ∴ AE=EC. 在△AED和△CEF中， ∵ ED=EF，∠AED=∠CEF，AE=CE. ∴ △AED≌△CEF(SAS)， ∴ ∠DAE=∠FCE 9.如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别是B，D，∠FDC＝∠EBA. (1)判断CD与AB的位置关系；(不需要证明) (2)求证：DF∥BE. 解:(1) （2）证明：∵AB⊥MN，CD⊥MN， ∴∠CDM＝∠ABM＝90°， ∵∠FDC＝∠EBA， ∴∠CDM－∠FDC＝∠ABM－∠EBA， 即∠FDM＝∠EBM，∴DF∥BE(同位角相等，两直线平行)． 10.如图，已知∠MCA= ∠ A， ∠ DEC= ∠ B，那么DE∥MN吗？为什么？ 解:DE∥MN. ∵ ∠MCA= ∠ A（已知）, ∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行）. 又 ∵∠ DEC= ∠ B（已知）, ∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）. ∴ DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行） 【设计意图】通过练习与应用，既注重培养学生对基础知识的灵活掌握，又通过多元化题型提升学生对平行线判定与几何推理的综合运用能力。 主板书 7.3平行线的证明 （第1课时 平行线的判定）探究点1 内错角相等，两直线平行 探究点 2 同旁内角互补，两直线平行 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：教科书习题7.3第2，3题。 2. 探究性作业：找出现实生活中有关平行线判定的实例，并证明。 学科网（北京）股份有限公司 $