第4章 相交线和平行线（单元复习课件）数学华东师大版七年级上册

该初中数学相交线和平行线单元复习课件，系统梳理了相交线、垂直、三线八角、平行线的判定与性质等核心知识，通过知识图谱、对比表格、“F”“Z”“U”型几何直观模型，构建逻辑清晰的知识网络，帮助学生理解概念间的内在联系。 其亮点是采用“考点串讲-题型剖析-分层训练”模式，如用描图法识别三线八角培养几何直观，结合木工画平行线等实例发展应用意识，设计基础题、综合题、拓展题分层练习。这能提升学生推理意识，助力教师精准教学，高效巩固知识。

单元复习 第四章相交线和平行线 华东师大版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化、系统化, 梳理本章的知识结构;通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用几何语言说明几何图形； 3.熟练应用垂直、平行的性质和判定解决实际问题和进行综合应用 2.认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质.理解平移的性质,能利用平移设计图案. 单元学习目标 相交线和平行线 相交线 平行线 平行线的判定 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行线的性质 同位角相等，两直线平行 对顶角相等 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 两直线平行，同位角相等 两直线平行，同旁内角互补 两直线平行，内错角相等 单元知识图谱 1.相交（两线四角） 两条直线相交（两线四角） B A C D O 1 2 3 4 邻补角 对顶角 （1）对顶角定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) . （2）对顶角的性质：对顶角相等. 注意： （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； （2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. 考点串讲 B A C D O 1 2 3 4 1.有公共顶点 归类 ∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1 ∠1和∠3、 ∠2和∠4、 1.有公共顶点 位置关系 邻补角 对顶角 2.有一条公共边 3.另一边互为反向延长线 2.没有公共边 两直线相交 3.两边互为反向延长线 名称 数量关系 对顶角相等 邻补角互补 1.相交（两线四角） 示 例 考点串讲 两条直线相交 2.特殊的相交——垂直 特殊 垂 直 垂线性质 垂线段 一般地，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角( 90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. b a O 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时，四个交角中有一个角是直角. （1）垂直的定义 考点串讲 ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 2.特殊的相交——垂直 （2）垂线性质： 提示： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. ②垂线段最短. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. P A B C m D 简单说成：垂线段最短． 垂线段 斜线段 考点串讲 A B P D 垂线 垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度. 联系：具有垂直于已知直线的共同特征(垂直的性质). 2.特殊的相交——垂直 （3）垂线与垂线段 （4）两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间. 联系：都是线段的长度； 点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离. 考点串讲 (1)同位角 、内错角、同旁内角的结构特征： (2)在图形中判断三线八角的方法(描图法): ①把两个角在图中描画出来; ②找到两个角的公共直线; ③观察所描的角,判断所属“字母”类型，同位角为“F”型，内错角为“Z”型，同旁内角为“U” 型，注意图形的变式(旋转、对称)也是符合的. 三线八角 内错角 同位角 同旁内角 “F”型 “Z”型 “U”型 4. 三线八角 7 8 5 6 A B 4 1 3 2 C D E F 考点串讲 角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征 同位角 同旁内角 内错角 F Z U 截线:同侧 被截线:同旁 截线:同侧 被截线:之间 截线:两侧 被截线:之间 1 2 1 2 1 2 都在截线同侧 都在被截线之间 这三类角都是没有公共顶点的 4. 三线八角 示 例 考点串讲 (3)生活中的数学：三线八角手势记忆法 同位角 内错角 同旁内角 4. 三线八角 (4)如何判别同位角、内错角、同旁内角 关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全. 考点串讲 5. 平 行 线 平行线 平行公理 平行公理推论 平行线定义 平行线画法 （1）平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b. （2）同一平面内两条直线的位置关系只有两种： ①相交； ②平行. 平行 相交 垂直 相交但不垂直 a b a⊥b a ∥b a b b a 考点串讲 ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合 （因为两点确定一条直线）. 5. 平 行 线 （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： （4）平行线的画法：一落；二靠；三移；四画 考点串讲 （5）平行公理——平行线的存在性与唯一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （6）平行公理的推论 ① 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. ②在同一个平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 5. 平 行 线 （1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思： 一是存在性；二是唯一性. （2）平行具有传递性， 即如果a∥b，b∥c，则a∥c. a b P 注 意： a b c a b c ∟ ∟ 考点串讲 6. 平 行 线 的 判 定 （1）同位角相等，两直线平行 （2）内错角相等，两直线平行 （3）同旁内角互补，两直线平行 （1）平行线的判定定理 a b c 1 2 3 4 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 角的数量关系 两条直线位置关系 判 定 考点串讲 文字叙述 符号语言 图形 相等， 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b 相等, 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b 互补, 两直线平行 ∵ (已知) ∴a∥b a b c 1 2 4 3 同位角 内错角 同旁内角 ∠1=∠2 ∠3=∠2 ∠2+∠4=180° 示 例 6. 平 行 线 的 判 定 考点串讲 6. 平 行 线 的 性 质 （1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）； （2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）； （3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）. a b c 1 2 3 4 考点串讲 两直线平行 平行线的判定 平行线的性质 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 角的数量关系 两条直线位置关系 角的数量关系 数形结合 7.平行线的性质与判定的关系 考点串讲 题型1 对顶角、垂直性质与判定的应用 例1．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． B 例2.如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB垂足为O， ∠EOD=30°,则∠BOC=（ ） A.150° B.140° C.130° D.120° D 例3.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，∠2=52°,则∠3的度数等于（ ） A.68° B.64° C.58° D.52° A 题型剖析 例1.（2022·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（    ） A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4 B 解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意； ∠1与∠3是同位角，选项B符合题意； ∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意； ∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意； 题型2 三线八角的识别 题型剖析 例2.说出下图中∠1与∠2是同位角、内错角还是同旁内角. 1 2 (1) 同位角 1 2 (2) 1 2 (3) 1 2 (4) 1 2 (5) 1 2 (6) 1 2 (7) 1 2 (8) 1 2 1 2 (9) (10) 同位角 同位角 同位角 同位角 内错角 同旁内角 × 题型2 三线八角的识别 题型剖析 例1.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数. ∵EF∥AD (已知), ∴∠2=∠3 又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DG∥AB ∴∠BAC+∠AGD=180° ∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°. （两直线平行，同位角相等）. (已知), （等量代换） . （内错角相等，两直线平行）. （两直线平行，同旁内角互补）. D A G C B E F 1 3 2 解: 题型3 平行线性质和判定的综合应用 题型剖析 例2.如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由． 解：∠A=∠F．理由： ∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF， ∴∠DGF=∠EHF， ∴BD∥CE， ∴∠C=∠ABD，又∠C=∠D， ∴∠D=∠ABD， ∴DF∥AC， ∴∠A=∠F． 题型3 平行线性质和判定的综合应用 题型剖析 例3.如图，已知∠AEM=∠DGN， ∠ 1=∠2，试问EF与GH平行吗？试推理说明？ D A M C B E F 1 2 N H G 解：结论：EF∥GH，理由如下 ∵∠AEM=∠DGN，∠DGN=∠EGC， ∴∠AEM=∠EGC， ∵∠1=∠2， ∴∠AEM+∠1=∠EGC+∠2， ∴∠FEM=∠HGM， ∴EF∥GH（同位角相等，两直线平行） 题型3 平行线性质和判定的综合应用 题型剖析 例4.已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED. 分析：如图，作辅助线，过E点引一条直线EF∥AB， 证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1 （两直线平行，内错角相等）. ∵AB∥CD（已知）， EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）. ∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）. 又∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）. 题型3 平行线性质和判定的综合应用 A B C D E 1 2 F 题型剖析 例1 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由. 解： 方法1：测出∠3=90°，理由是同位角相等，两直线平行. 方法2：测出∠2=90°，理由是同旁内角互补，两直线平行. 方法3：测出∠5=90°，理由是内错角相等，两直线平行. 方法4：测出∠2,∠3,∠4,∠5中任意一个角为90°， 理由是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 题型4 平行线判定方法的实际应用 题型剖析 例2.如图所示，木工师傅在一块木板上画两条平行线，方法是用角尺画木板边缘的两条垂线，这样画的理由有下列4种说法： 其中正确的是( ) ①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一直线的 两条直线平行. A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D.①③ 题型4 平行线判定方法的实际应用 C 题型剖析 例3.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130° A 题型4 平行线判定方法的实际应用 题型剖析 1.（2024·重庆·中考真题）如图，AB∥CD，若∠1=125°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．125° C 2.如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3等于( ) A.90° B.180 C.210° D.270° B 3.（2024·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（    ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 A 针对训练 4.如图，OD⊥BC，垂足为D，BD=6cm，OD=8cm，OB=10cm，那么点B到OD的距离是 ，点O到BC的距离是 .O、B两点之间的距离是 . 10cm 8cm 6cm 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数 . 解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 针对训练 6..如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°，求∠2、∠3的度数.   解： ∵DE∥BC（已知）， ∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）. ∵AB∥DF（已知）， ∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°. 题型剖析 7. 如图所示，已知BE，EC分别平分∠ABC，∠BCD，且∠1与∠2互余，试说明AB∥DC. 解：∵∠1与∠2互余，∴∠1＋∠2＝90°. ∵BE，EC分别平分∠ABC，∠BCD， ∴∠ABC＝2∠1，∠BCD＝2∠2. ∴∠ABC＋∠BCD ＝2∠1＋2∠2 ＝2(∠1＋∠2)＝180°. ∴AB∥DC. 针对训练 8.已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DEF的平分线相交于点P，求证∠P=90°. 证明：过点P作PQ∥AB ∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠1=∠2.∵AB∥PQ，∴∠3=∠4.∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°. ∵PE、PF分别平分∠BEF、∠EFD, ∴∠2= ∠DFE，∠4= ∠BEF. ∴∠2+∠4= ∠DFE+ ∠BEF = （∠DFE+∠BEF）= ×180°=90°， ∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∴∠EPF=90 3 1 Q 2 针对训练 8.如图，a、b、c、d均为直线. 如果希望a∥b，那么需要∠1至∠5中哪两个角相等？如果希望c∥d，那么需要∠1至∠5中哪两个角互补？ b a c d 5 4 1 2 3 解：如果希望a∥ b ，则∠3=∠4（内错角相等，两直线平行） 如果希望c∥ d，则∠1与∠4互补(同旁内角互补，两直线平行) 复习题B组 教材P199 课后作业 9.如图，已知平行直线 a、b 被直线 l 所截. 如果∠1 = 75°， 那么∠2=_____°，∠3 =_____°， ∠4 =_____°，∠5 =______°， ∠6=______°，∠7=____°，∠8=____°. 105 75 105 75 105 75 105 l 复习题B组 教材P199 课后作业 10.如图，直线 a // b，∠3 = 85°，求 ∠1、∠2 的度数，阅读下面的解答过程，并填空 (理由或数学式). 解 : ∵a // b （ ）， ∴∠1 = ∠4（ ）. ∴∠4 = ∠3（ ）， ∠3 = 85°（ ） ∴ ∠1=（ ）（等量代换）. 又∵∠2 +∠3 = 180°， ∴∠2 =（ ）（等式的性质）. 已知 两直线平行，同位角相等 对顶角相等 已知 85° 95° 复习题B组 教材P199 课后作业 解 ∵∠1 = 35°（ ），∠2 = 35°（ ） ， ∴ ∠1 = ∠2（ ）， ∴（ ）//（ ）（ ）. 又∵ AC⊥ AE（ ）， ∴∠EAC = 90°， ∴∠EAB = ∠EAC+∠1 =（ ）（等式的性质）. 同理可得 ∠FBG = ∠FBD +∠2 =（ ）. ∴∠EAB =（ ）（等量代换）， ∴（ ）//（ ）（ ）. 已知 等量代换 AC BD 同位角相等，两直线平行 已知 125° 125° ∠FBG AE BF 同位角相等，两直线平行 已知 11.如图，已知 AC⊥AE，BD⊥BF，∠1 = 35°，∠2 = 35°，则 AC 与BD 平行吗？AE 与 BF 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式). 复习题B组 教材P199 课后作业 解: ∵AB // CD（ ） ， ∴∠B = （ ）（ ）. ∵∠B =∠D = 37°（ ）， ∴（ ） = ∠D（ ） ， ∴BC // DE（ ）. 已知 ∠C 两直线平行，内错角相等 已知 ∠C 等量代换 内错角相等，两直线平行 12.如图，如果 AB // CD，∠B = 37°，∠D = 37°，那么 BC 与 DE 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式). 复习题B组 教材P199 课后作业 13.如图，我们知道，2 条直线相交只有 1 个交点，3 条直线两两相交最多能有 3 个交点，4 条直线两两相交最多能有 6 个交点，5 条直线两两相交最多能有 10 个交点，6 条直线两两相交最多能有 15 个交点……n 条直线两两相交呢？ n(n-1)个交点 复习题C组 教材P200 n 条直线两两相交最多能有 交点的个数 2 条直线相交只有 1 个交点 3 条直线两两相交最多能有 3 个交点 3=1+2 4 条直线两两相交最多能有 6 个交点 6=1+2+3 1+2+3+……+（n-1）= 课后作业 14.潜望镜中，两面镜子互相平行放置. 你知道为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行吗？ 1 2 3 4 5 6 所以两条光线平行（内错角相等，两直线平行） 解： ∵∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴∠1=∠2=∠3=∠4 ∵∠5=180°-∠1-∠2 ∠6=180°-∠3-∠4 ∴∠5=∠6 复习题C组 教材P200 课后作业 15.如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢?此时，小红首先想到如图所示的图形．她发现这两个角应该相等.你知道其中的原因吗?你是否还能发现其他图形呢?画出所有可能的情况，探究归纳你所得到的结论. 复习题C组 教材P100 A B C D E F G (1) ∴ ∠B=∠E 解（1） ∵ AB∥ DE ∴ ∠B = ∠DGC ∵ BC∥ EF ∴ ∠DGC = ∠E 相等 课后作业 15.如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢?此时，小红首先想到如图所示的图形．她发现这两个角应该相等.你知道其中的原因吗?你是否还能发现其他图形呢?画出所有可能的情况，探究归纳你所得到的结论. 复习题C组 教材P100 A B C P M N O (2) ∴ ∠B + ∠PMN=180° （2） ∵ AB∥ PM ∴ ∠B + ∠BOP=180° ∵ BC∥ MN ∴∠PMN = ∠BOP 互补 课后作业 （3）相等 结论: 如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行, 那么这两个角相等或互补. （4）互补 （3） （4） 15.如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢?此时，小红首先想到如图所示的图形．她发现这两个角应该相等.你知道其中的原因吗?你是否还能发现其他图形呢?画出所有可能的情况，探究归纳你所得到的结论. 复习题C组 教材P100 课后作业 1. 小学里我们已经学过相交线和平行线.当时我们只是通过观察，体会相交线和平行线的一些基本属性，本章在小学学习的基础上，深入学习相交线和平行线，并通过数学说理的方法，从我们所公认的一些基本事实出发，推导出平行线的判定方法、平行线的性质以及其他一些有用的结论，这些判定方法及性质等都是今后进一步学习几何推理的依据。 2. “推理”是数学的一种基本思想，通过推理，我们可以深入理解所研究的对象之间的逻辑关系，而且可以用符号和术语清晰地表达这种关系。本章的推理是演绎推理，通过这样的推理，我们可以完全确信最后结论的正确，体现了数学的严谨性。 课堂总结 感谢聆听! $