第4章 相交线和平行线单元复习（考点归纳+知识梳理+真题训练）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材华东师大版

第4章 相交线和平行线单元复习 【考点1 对顶角、邻补角】 【考点2：垂线】 【考点3：平行线公理】 【考点4：同位角，内错角和同旁内角】 【考点5：两直线平行的条件】 【考点6：利用平行线的性质求角】 【考点7：平行线与折叠综合】 【考点8：平行线的生活中的实际应用】 【考点9：平行线的性质与判定综合】 【考点10：两平行线间距离的性质】 知识点1：对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点3：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点4：平行线公理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点5：平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点6：平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【考点1 对顶角、邻补角】 1．（2025七年级下·河南·专题练习）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，直线相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线和相交于点O，平分，，则 ． 4．（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，两条直线相交，若，则 5．（24-25七年级下·北京延庆·期中）如图，直线相交于点，平分． (1)对顶角是___________； (2)若，求的度数． 6．（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，，平分，求的度数． 【考点2：垂线】 1．（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A．B．C．D． 2．（2025·北京大兴·二模）如图，平分，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ． 【考点3：平行线公理】 1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）如果，，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． ，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【考点4：同位角，内错角和同旁内角】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图所示，下列说法错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是邻补角 D．和是同旁内角 3．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，下列结论正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是邻补角 C．与是同位角 D．与是对顶角 4．（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，下列结论错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是同旁内角 C．和是内错角 D．和是对顶角 5．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在“垃圾入桶”标志的部分平面示意图中，与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 6．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，下列选项描述正确的是（  ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是邻补角 D．和是同位角 【考点5：两直线平行的条件】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，直线，分别被直线，所截，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示，下列条件能判定的是(   ) A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤ 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图，下列条件中能判断的是（    ） ①；②；③；④． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【考点6：利用平行线的性质求角】 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西榆林·三模）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·山西朔州·期中）2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，直线a，b被直线c所截，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽滁州·二模）将直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点7：平行线与折叠综合】 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数是 ． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示的长方形纸条，将纸片沿折叠，与交于点K，若，则 ° 【考点8：平行线的生活中的实际应用】 1．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图所示，击打一次台球桌上小球A，经过两次反弹拐弯后滚动的方向与开始滚动的方向相反，小球这两次反弹拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行， ，若 ，则 的度数为（     ）    A． B． C． D． 6．（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 7．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【考点9：平行线的性质与判定综合】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在三角形中，过点作于点，点在上，过点作，若于点，延长至点，连接，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____，理由如下： （已知）， ， 又（已知）， _____（______）， ， ， 又（已知）， ， （_______）． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，点都在三角形的边上，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 6．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知、，，．求证： (1)； (2)若，求． 【考点10：两平行线间距离的性质】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，．若，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．不确定 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3cm，则与之间的距离是（    ） A．2cm B．8cm C．2cm或9cm D．以上都不对 4．（2025·北京·模拟预测）如图所示，，直线与直线之间的距离是线段 的长度 5．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，点C在上．若，的面积为27，的面积为18，则 ．    6．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 相交线和平行线单元复习 【考点1 对顶角、邻补角】 【考点2：垂线】 【考点3：平行线公理】 【考点4：同位角，内错角和同旁内角】 【考点5：两直线平行的条件】 【考点6：利用平行线的性质求角】 【考点7：平行线与折叠综合】 【考点8：平行线的生活中的实际应用】 【考点9：平行线的性质与判定综合】 【考点10：两平行线间距离的性质】 知识点1：对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点3：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点4：平行线公理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点5：平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点6：平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【考点1 对顶角、邻补角】 1．（2025七年级下·河南·专题练习）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角的特点，共用顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可． 【详解】解：A、不是对顶角，不符合题意； B、是对顶角，符合题意； C、不是对顶角，不符合题意； D、不是对顶角，不符合题意； 故选B． 2．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，直线相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查对顶角的性质及角的和差，根据对顶角的性质得到，由计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线和相交于点O，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及对顶角的性质．先根据对顶角相等求出，然后根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，两条直线相交，若，则 【答案】/50度 【分析】根据对顶角相等得出，结合已知，即可求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数． 本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·北京延庆·期中）如图，直线相交于点，平分． (1)对顶角是___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)150° 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的定义和几何图形中角度的计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此求解即可； （2）根据角平分线的定义和对顶角线段得到，设，则，根据平角的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的对顶角为； （2）解：∵平分． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴设，则． ∴． ∵， ∴   ∴．即：． ∴． 6．（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查垂直定义、角平分线的定义，角的运算，先根据垂直定义得到，进而得到，然后根据角平分线的定义求得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【考点2：垂线】 1．（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 2．（2025·北京大兴·二模）如图，平分，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的有关计算，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再根据角平分线得到，由求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值． 【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短． 故答案为：垂线段最短． 【考点3：平行线公理】 1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）如果，，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行公理的应用，根据平行公理即可得出答案 【详解】∵，，， ∴，，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【考点4：同位角，内错角和同旁内角】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是确定三线八角，熟知同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键． 根据三线八角中，同位角，内错角，同旁内角的特征解题即可． 【详解】A．和是两条直线被第三条直线所截形成的，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧 ，符合同位角的定义． B． 和是内错角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在两条被截直线之间． C．和是同旁内角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被截直线之间． D．和既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，它们的位置关系不满足三种角的定义． 故选：A ． 2．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图所示，下列说法错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是邻补角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义结合图形进行判断即可．同位角的概念：两条直线，被第三条直线所截（或说，都与相交），在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角． 【详解】解：A．和不是同位角，原说法错误，故此选项符合题意； B. 和是内错角，故该选项正确，不符合题意； C. 和是邻补角，故该选项正确，不符合题意；     D. 和是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，下列结论正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是邻补角 C．与是同位角 D．与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查同位角，邻补角，内错角，对顶角的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据三线八角，对顶角，邻补角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A.与不是内错角，该选项错误，故不符合题意； B.，与不是邻补角，该选项错误，故不符合题意； C.与是同位角，该选项正确，故符合题意； D.与不是对顶角，该选项错误，故不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·四川凉山·期中）如图，下列结论错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是同旁内角 C．和是内错角 D．和是对顶角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．和不是同位角，原结论错误，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，原结论正确，故此选项不符合题意； C．和是内错角，原结论正确，故此选项不符合题意； D．和是对顶角，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在“垃圾入桶”标志的部分平面示意图中，与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了三线八角，理解三线八角的识别方法是关键． 根据三线八角，数形结合分析是关键． 【详解】解：与的位置关系是同旁内角， 故选：C ． 6．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，下列选项描述正确的是（  ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是邻补角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义进行判定是解决本题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．和是同位角，所以A选项不符合题意； B．和内错角，所以B选项不符合题意； C．和是同旁内角，所以C选项不符合题意； D．和是同位角，所以D选项符合题意． 故选：D． 【考点5：两直线平行的条件】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟悉并准确运用同位角、内错角、同旁内角相关的平行线判定规则． 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），对每个选项进行分析，判断能否得出． 【详解】A、和是同位角，当时，根据“同位角相等，两直线平行”，可以判定； B、和，无法依据平行线判定定理得出； C、和是内错角，当时，根据“内错角相等，两直线平行”，能够判定； D、和是同旁内角，当时，依据“同旁内角互补，两直线平行”，可以判定． 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，直线，分别被直线，所截，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据平行线的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，是对角相等，均不能判定两直线平行， ∴A、B项错误； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），此项正确； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）；此项错误； 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示，下列条件能判定的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； 由，不能判定， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．③⑤ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ， ，故③不符合题意； ， ，故④符合题意； 由，不能判定， 故⑤不符合题意； 综上所述：能判定的有①②④， 故选：A． 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图，下列条件中能判断的是（    ） ①；②；③；④． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可． 【详解】解：①， ； ②， ； ③，， ， ； ④， ， ； 可以判断的有①③④． 故选：C 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定．利用内错角相等，两直线平行判定D选项符合题意． 【详解】解：由或或都不能判定直线； 只有时，利用内错角相等，两直线平行能判定直线． 故选：B． 【考点6：利用平行线的性质求角】 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，根据平行线的性质求出的度数，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解；如图所示，∵，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·陕西榆林·三模）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角线段得到的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3.（24-25七年级下·山西朔州·期中）2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，由平行线的性质得到，则可推出，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，直线a，b被直线c所截，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先根据邻补角的定义得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选D． 5．（2025·安徽滁州·二模）将直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与三角板有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得，再运用，得，结合对顶角相等以及，则把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 过点作， ∴ ∴ 即 ∵， ∴ 故选：C 【考点7：平行线与折叠综合】 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠得到，进而求得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∴， ∵在长方形纸条中，， ∴． 故选：A 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出，再根据平角的定义和折痕是角平分线进行求解即可． 【详解】解：∵长方形纸带的对边平行， ∴， ∵折叠， ∴； 故选A． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数是 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 4．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示的长方形纸条，将纸片沿折叠，与交于点K，若，则 ° 【答案】40 【分析】本题考查的是折叠的性质，根据题意可知，，且，，，，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【考点8：平行线的生活中的实际应用】 1．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图所示，击打一次台球桌上小球A，经过两次反弹拐弯后滚动的方向与开始滚动的方向相反，小球这两次反弹拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据方向与开始滚动的方向相反，结合平行线性质判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：A选项两次后相当于向右转向，故不符合题意， B选项两次后相当于向左转向，故不符合题意， C选项两次后相当于向左转向，故符合题意， D选项两次后相当于向右转向，故不符合题意， 故选：C． 3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 5．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行， ，若 ，则 的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵． ∴ 故选：C． 6．（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 【答案】/49度 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 7．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【答案】/30度 【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【详解】解：过点作． ， ． ． ， ． ， ． ． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键． 【考点9：平行线的性质与判定综合】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在三角形中，过点作于点，点在上，过点作，若于点，延长至点，连接，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）根据，，可得，得，进而得，可得结论； （2）根据，可以设，根据，可得，由得到，根据，求出x的值，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， 设， ， ， ， ， ， ，即 ． 2．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____，理由如下： （已知）， ， 又（已知）， _____（______）， ， ， 又（已知）， ， （_______）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，平行公理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，垂直的定义，平行公理，等量代换思想解答即可． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： （已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证； （2）根据已知得出，证明，进而根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：， ． ． 平分， ． ． ， ，即． ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， ，     ． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，点都在三角形的边上，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求证即可； （2）结合角平分线的定义，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）先由，得到，则，进而得到，由此即可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再证明，结合进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知、，，．求证： (1)； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）先根据题意求得，，推出，即可判定； （2）由，求得，推出，则，然后根据平行线的性质，从而得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点10：两平行线间距离的性质】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，．若，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，求出和是平行线和之间的距离，根据平行线间的距离处处相等求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3cm，则与之间的距离是（    ） A．2cm B．8cm C．2cm或9cm D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故选：D． 4．（2025·北京·模拟预测）如图所示，，直线与直线之间的距离是线段 的长度 【答案】 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．本题考查了平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【详解】解：由题可得，，， ∴直线a与直线b之间的距离是线段的长度， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，点C在上．若，的面积为27，的面积为18，则 ．    【答案】6 【分析】过点A作于点M，过点C作于点N，先根据三角形的面积公式求出，则，最后根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：过点A作于点M，过点C作于点N， ∵，的面积为27， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵的面积为18， ∴， 解得：， 故答案为：6．    【点睛】本题主要考查了平行线的间的距离处处相等，解题的关键是熟练掌握平行线间距离处处相等． 6．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$