第4章　相交线和平行线 专题训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学七年级上册

第4章　相交线和平行线 专练13　过拐点作平行线——“铅笔”型图形研究 类型一　基本型 1.如图，AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA、PC，试探究∠APC与∠PAB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 类型二　“铅笔”型变式 2.如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝∠BAF.若∠AEC＝84°，∠DCE＝144°，求∠AFC的度数. 　　 类型三　“铅笔”内套型 3.如图，AB∥CD，点F在∠AEC内部，∠FAB＝3∠FAE，∠FCD＝3∠FCE.若∠AFC＝126°，求∠AEC的度数. 　　 　　 类型四　“铅笔”与“M”组合型 4.如图，AB∥CD，∠AEC＝114°，点F在射线AG上，∠EAF＝2∠BAF，∠DCF＝∠DCE，求∠CFG的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 参考答案 1.∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360° 2.∠AFC＝117° 3.∠AEC＝48° 4.∠CFG＝98° 。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章　相交线和平行线 专练12　过拐点作平行线——“钩”型图形研究 类型一　“外钩”型 1.如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD右下方任意一点.探究∠CDE与∠B、∠BED之间的数量关系，并说明理由. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 类型二　“内钩”型 2.如图，AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝28°，求∠C的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 类型三　“双内钩”型 3.如图，AB∥CD，AF平分∠BAE交CE于点F.若∠E＝23°，∠C＝57°，求∠AFC的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 类型四　“双外钩”型 4.如图，AB∥CD，∠AEC＝35°，∠EAF∶∠FAB＝2∶5，∠ECF＝∠ECD，求∠AFC的度数. 　　 　　 　　 　　 参考答案 1.∠CDE＝∠B＋∠BED.理由略. 2.∠C＝26° 3.∠AFC＝40° 4.∠AFC＝25° 。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章　相交线和平行线 专练10　相交所成的角的计算——化归思想 1.如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝25°. （1）求∠AOC与∠EOD的度数； （2）若∠BOF＝α，求∠BOD的度数.（用含α的式子表示） 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 2.如图，已知直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，且∠COE＝2∠AOC. （1）求∠DOE的度数； （2）过点O在AB上方作射线OF，若∠DOF＝4∠AOF，求∠COF的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 参考答案 1.（1）∠AOC＝115°，∠EOD＝25° （2）∠BOD＝α＋90° 2.（1）∠DOE＝120° （2）∠COF＝60° 。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章　相交线和平行线 专练11　过拐点作平行线——“M”型图形研究 类型一　基本型 1.如图，AB∥CD，试探究∠APC，∠A与∠C之间的关系，并说明理由. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 类型二　“M”型变式 2.如图，AB∥DE，∠ABC＝120°，∠CDE＝35°，求∠BCD的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 3.如图，直线l1∥l2，∠A＝140°，∠B＝80°，求∠1＋∠2的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 4.已知AB∥CD，点M、N分别在AB、CD上，点E在直线AB与直线CD之间. （1）如图1，请说明∠E＝∠1＋∠2； 图1 （2）如图2，点F在AB、CD之间，∠EMF＝5∠BMF，NF平分∠END，若∠1＝∠2，求∠E与∠F的数量关系. 图2 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 类型三　“M”叠加型 5.（1）如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？ 图1 （2）如图2，若AB∥CD，又能得到什么结论？请直接写出结论. 图2 　　 　　 　　 　　 　　 6.【数学思考】（1）如图1，已知AB∥CD，探究∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明理由. 图1 　　 　　 　　 　　 　　 【推广延伸】（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠A2、∠B2、∠A3的关系，并证明你的猜想； ②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠A2、∠B2、…、∠Bn－1、∠An的关系. 　　 　　 【拓展应用】（3）①如图4，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为　　； 图4 A.180°＋α＋β－γ B.180°－α－γ＋β C.β＋γ－α D.α＋β＋γ ②如图5，AB∥CD，且∠AFE＝40°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，请你根据上述结论得出∠GHM的度数是　　. 图5 类型四　“M”内套型 7.如图，AB∥CD，∠ABP与∠CDP的平分线相交于点P1.若∠P1＝28°，求∠P的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 8.如图，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧. （1）若∠M＝90°，则∠AEM＋∠CFM＝　　°； （2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的平分线交于点N，求∠N的度数.（用含n的式子表示） 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 类型五　“M”内套型变式（或燕尾型） 9.如图，点D为∠ABC内部一点，连结AD、CD，试说明：∠ADC＝∠DAB＋∠B＋∠BCD. 　　 　　 参考答案 1.∠APC＝∠A＋∠C.理由略. 2.∠BCD＝95° 3.∠1＋∠2＝40° 4.（1）略　（2）3∠F＋∠E＝360° 5.（1）∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D （2）∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D＝∠E1＋∠E2＋…＋∠En. 6.（1）∠APC＝∠PAB＋∠PCD （2）①∠B1＋∠B2＝∠A1＋∠A2＋∠A3.理由略. ②∠A1＋∠A2＋…＋∠An＝∠B1＋∠B2＋…＋∠Bn－1 （3）①B　②30° 7.∠P＝56° 8.（1）270　（2）∠N＝n° 9.略 。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章　相交线和平行线 易错易混四　相交线和平行线 易错点一　对顶角的概念理解不透 1.如图，图中有　　对对顶角. 易错点二　对垂线和点到直线的距离的概念理解不透 2.过点A画线段BC所在直线的垂线段，下列各图中画法正确的是（　　　　） 3.下列判断错误的是（　　　　） A.一条线段有无数条垂线 B.在同一平面内，过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直 C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直 D.若两条直线相交，则它们互相垂直 4.下列说法正确的是（　　　　） A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离 B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离 C.画出已知直线外一点到已知直线的距离 D.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短 易错点三　对“三线八角”理解有误 5.如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（　　　　） A.∠1与∠5是同位角 B.∠2与∠4是对顶角 C.∠3与∠6是同旁内角 D.∠5与∠2是内错角 易错点四　对平行线的概念、关于平行线的基本事实理解有误 6.下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.正确的有（　　　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 易错点五　混淆平行线的判定，不能识别截线与被截直线，误判直线平行 7.如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　　　） A.∠5＝∠B B.∠B＋∠BDC＝180° C.∠1＝∠2 D.∠3＝∠4 8.如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1＋∠2＝90°，下列结论：①AB∥CD；②∠ABE＋∠CDF＝180°；③AC∥BD；④若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F.其中，正确结论的序号是　　. 易错点六　混淆平行线的判定与性质 9.如图，点G在CD上，已知∠BAG＋∠AGD＝180°，AE平分∠BAG，GF平分∠AGC.试说明：AE∥GF. 阅读下面解题过程，并填空（理由或数学式）. 解：∵∠BAG＋∠AGD＝180°（已知）， ∠AGC＋∠AGD＝180°（邻补角的性质）， ∴∠BAG＝∠AGC（　　　　）. ∵AE平分∠BAG， ∴∠1＝∠BAG（　　　　）. ∵GF平分∠AGC， ∴∠2＝　　， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴　　（　　　　）. 10.[2024春·鼓楼区期末]如图，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠ABC＝40°，求∠EDC的度数. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 11.[2024秋·泉港区期末]如图，AC与BD相交于点E，∠1＝55°，∠D＝55°. （1）若∠A＝35°，求∠ACD的度数. （2）取线段AB的中点F，连结EF.若∠AFE＋∠BCD＝180°，∠A＝∠AEF.试说明：CA平分∠BCD. 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 参考答案 1.12　2.D　3.D　4.D　5.D　6.A　7.C 8.①②④　9.等量代换　角平分线的性质　∠AGC　AE∥GF　内错角相等，两直线平行 10.∠EDC＝130° 11.（1）∠ACD＝35°　（2）略 。 学科网（北京）股份有限公司 $$