重庆市荣昌区宝城初级中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年重庆市荣昌区宝城中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是(    ) A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，2，4 D. 2，3，6 2.下列图形中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.过的顶点A作边BC上的高，下列作法中，正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知，添加以下条件，不能判定的是     A.   B. C.   D. 6.下列命题中，假命题的(    ) A. 直角三角形三条高相交于直角顶点 B. 全等三角形对应边上的高相等 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 7.如图，在中，CD平分交AB于点D，过点D作交AC于点若，，则的大小为    A. B. C. D. 8.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为如果，，，那么下列式子中正确的是(    ) A. B. C. D. 9.用火柴棍搭三角形，如图，1个三角形用3根火柴棍，2个三角形用5根火柴棍，3个三角形用7根火柴棍…那么，n个三角形用火柴棍． A. 2n B. C. D. 10.在多项式其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”.例如：，，….下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果. 其中正确的个数是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算：        . 12.等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为______. 13.小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为______. 14.如图，在中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则        15.如图，中，，，，于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使最小，则这个最小值为          . 16.如图，已知，在射线OA、OB上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，…，按此规律，记，，⋯，，则______. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： ； 18.本小题8分 先化简再求值：，其中， 19.本小题10分 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A，B，C三点在格点上． 请在图中作，使和关于x轴对称，点A，B，C的对应点分别为，，； 请写出，，的坐标； 的面积为______. 20.本小题10分 在等边中，点M是BC边上任意一点，连接AM，过点B的射线BN交AC于点N，交AM于点Q，当时，则必有为验证此规律的正确性，先利用如图，作，再通过证明全等得出结论.请根据以上思路完成以下作图与填空. 用直尺和圆规在如图的基础上作，BN交AC于点N，交AM于点不写作法，保留作图痕迹 证明：为等边三角形， ，①______=②______， 在和中， ， ≌， ④______， 又， ⑤______， 21.本小题10分 如图：四边形ABCD中，，，，动点P从B向C以的速度运动，动点Q由C向D运动. 若P、Q运动速度相等，运动1秒后，试判断PA、PQ的数量关系，并说明理由； 在P、Q运动过程中，若与全等，求Q点运动速度. 22.本小题10分 如图所示，已知，，，，求的度数. 23.本小题10分 阅读材料：[母题呈现]观察图，用等式表示图中图形的面积的运算为①______. [类比探究]观察图，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为②______. [知识应用]根据图所得的公式，若，，则③______. [拓展应用]如图，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为多少？ 24.本小题10分 如图，在梯形ABCD中，，点E为AB的中点，DE平分 求证：CE平分； 求证： 25.本小题10分 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图 已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、则线段DE与BD、CE的数量关系为______； 组员小刘想，如果三个角不是直角，那中的结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角.如果中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、因为，所以1，2，3不能组成三角形，故A不符合题意； B、因为，所以2，3，4能组成三角形，故B符合题意； C、因为，所以2，2，4不能组成三角形，故C不符合题意； D、因为，所以2，3，6不能组成三角形，故D不符合题意． 故选： 判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边． 2.【答案】A  【解析】解：B，C，D不是轴对称图形，A是轴对称图形， 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选： 直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 4.【答案】A  【解析】解：三角形ABC的高于点选项A符合题意． 故选： 根据三角形的高的定义判断即可． 本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，中线和高，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 5.【答案】C  【解析】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，根据定理逐个判断即可． 解：A、，，，符合AAS，即能推出≌，故本选项不合题意； B、，，，符合ASA，即能推出≌，故本选项不合题意； C、，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出≌，故本选项符合题意； D、，，，符合SAS，即能推出≌，故本选项不合题意. 故选： 6.【答案】C  【解析】解：A、直角三角形的三条高相交于直角顶点，故A选项正确，不符合题意； B、全等三角形对应边上的高相等，故B选项正确，不符合题意； C、两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故C选项错误，不符合题意； D、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故D选项正确，不符合题意． 故选： 根据有关的性质、定义及定理判断后即可得到答案． 本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键． 7.【答案】C  【解析】【分析】 此题考查三角形内角和定理，平行线的性质，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答． 根据三角形内角和得出，利用角平分线得出，再利用平行线的性质解答即可． 【解答】 解：，， ， 平分交AB于点D， ， ， ， 故选： 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了三角形外角性质，根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论。 【解答】 解：由折叠得： ， ，， 故选A。 9.【答案】B  【解析】解：一个三角形需要3根火柴， 2个三角形需要根火柴， 3个三角形需要根火柴， … n个三角形需要根火柴． 故选： 根据第1个图形中火柴的根数为3，2个三角形用5根火柴棍，3个三角形用7根火柴棍，得到其余图形中火柴的根数在3的基础上增加几个2，利用这一规律得到通项公式，代入即可求解． 此题考查图形的变换规律；得到每个图形中火柴的根数与图形的个数的关系是解决本题的关键． 10.【答案】C  【解析】【分析】 说法①利用时，通过在x与y间加绝对值，验证存在操作使结果与原多项式相等，说法②假设和为0需出现，但因x在首且等，添加绝对值无法改变x符号，故不存在这样的操作，  说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 本题考查新定义题型，根据所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论； 需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 【解答】 解：根据绝对值性质：若，则 ， 对x与y间添加绝对值，即 ，   因为，所以，则，与原多项式相等，   因此，说法①正确； 原多项式为，若运算结果与原多项式之和为0，设“绝对操作”后的结果为A，则需满足：  ， 观察原多项式结构，x是第一个数，且 ，无论对相邻字母间如何添加绝对值去绝对值后，x始终因“”等条件保持正号，无法使x的符号变为负号即无法得到，   因此，不存在这样的“绝对操作”，说法②正确； 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③错误． 综上，说法正确的有①②共2个. 故选： 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12.【答案】11或13  【解析】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5， 能组成三角形，周长， ②3是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5， 能组成三角形，周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是11或 故答案为：11或 分3是腰长与底边两种情况讨论求解． 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 13.【答案】15：51  【解析】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与15：51成轴对称，所以此时实际时刻为15： 故答案为：15： 利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 14.【答案】4  【解析】解：点F为CE的中点， ， 为AD的中点， ，， ， 故答案为： 直接根据三角形中线的性质进行求解即可：三角形中线平分三角形面积，依题意得出 本题考查三角形中线的性质和三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键． 15.【答案】6  【解析】解：，，，于点D， ， ， 垂直平分AB， 点A，B关于直线EF对称， 与AD的交点即为P点， 如图，连接PB，此时， ，的最小值， 即的最小值为6， 故答案为： 根据三角形的面积公式即可得到，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，于是得到AD的长度的最小值，即可得到结论． 本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 16.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， ，， ， ， 整理得：， ， 同理可求：， ， 以此类推， 故答案为： 根据等腰三角形的两个底角相等用表示出，再利用平角的定义列式用表示出，再用表示，并求出以此类推求出，，，即可得出结论． 本题考查等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键． 17.【答案】    【解析】解： ； 先算乘除，后算加减，即可解答； 利用单项式乘多项式，平方差公式进行计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】解： ， 当，时， 原式   【解析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 19.【答案】如图所示，即为所求； 由图知，，，   【解析】解：如图所示，即为所求； 由图知，，， 的面积为， 故答案为： 分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； 由图可得三个顶点的坐标； 用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． 本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 20.【答案】如图，射线BN即为所作；    【解析】根据作一个叫等于已知角解答即可，如图，射线BN即为所作； 证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ≌， ， 又， ， 故答案为：①，②，③，④，⑤ 根据作一个叫等于已知角解答即可； 根据等边三角形的性质，利用ASA得到≌，即可证明结论． 本题考查作一个角等于已知角，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21.【答案】，、Q运动速度相等， 当运动1秒后，， ， ， 又， ≌，   或  【解析】解：；理由如下： 、Q运动速度相等， 当运动1秒后，， ， ， 又， ≌， ； 与全等， 设运动时间为t，Q的运动速度为， ①当时， 则有：， ； ②当时，， ， ， 则， 解得：， 则， 根据题意证明≌即可得出结论； 分两种情况当①时，②当时，，分别求出Q点的速度即可． 本题考查了全等三角形中的动点问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22.【答案】解：设AP与BC交于K， 在与中，对顶角相等， ，即，① 设AD与BP交于F， 同理有，② ，， ①+②得，，   【解析】利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”列式子求解即可． 本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解答此题的关键． 23.【答案】    5  [拓展应用  【解析】解：[母题呈现]依题意得：， 故答案为：； [类比探究图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b， 两个长方形的宽进和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为ab， 又阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积， ， 故答案为：； [知识应用]由[类比探究]的结论得：， ，， ， ， 故答案为：5； [拓展应用]设，， 于点E，， ，，，，， 与的面积和为， ， ， 由[类比探究]的结论得：， ， ， 答：与的面积和为 [母题呈现]依题意得，由此即可得出答案； [类比探究]根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，由此即可得出答案； [知识应用]由[类比探究]的结论得，将，代入计算即可得出答案； [拓展应用]设，，则，，，，，进而得，则，由[类比探究]的结论得，据此得，由此得 此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． 24.【答案】证明：如图，作垂足为M， 平分，，， ， ， ， ，， 平分 由可知：， 在和中， ， ， ， 同理可证：， ，   【解析】作垂足为M，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明； 只要证明得，同理可证即可得结论． 本题考查角平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键． 25.【答案】  成立，证明见解析过程  证明见解析过程  【解析】解：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 故答案为：； 解：成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ； 证明：如图3，过点E作于M，的延长线于 ， 正方形ABDE和正方形ACFG中，，，， 是BC边上的高， ， 由和的结论可知， ， 在和中， ， ≌， ， 是EG的中点． 先证明出≌，得出，，即可得出数量关系的结果； 证明出≌，得出，，即可得出结论； 过点E作于M，的延长线于N，则，同得≌，≌，推出，证得≌，即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $