陕西省西安市西安国际港务区铁一中陆港初级中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025-2026学年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.上马石是古人上下马的工具，形状如图①.它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为(    ) A. B. C. D. 3.如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点A为支撑点，笔尖B可绕点A旋转画出圆弧.已知厘米，若，则圆规所画圆的半径AB的长度为(    ) A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 4.如图，与是位似图形，位似中心是点O，若OA：：2，且的周长为6，则的周长为(    ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 5.在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映.上映第一周票房收入达亿元，第三周票房收入达亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 6.如图在同一个坐标系中函数和的图象可能的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，D，E分别为AB，AC边的中点，连接并延长DE至点F，使得，再连接BF，交EC于点M，若，则MC的长为(    ) A. 3 B. 4 C. D. 8.如图，在三角形纸片ABC中，，，OD垂直平分AB，OA平分，将沿在BC上，F在AC上折叠，点C与点O恰好重合，若，则CE的长为(    ) A. B. C. D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.已知，则      . 10.关于x的一元二次方程有实根，则实数m的取值范围是           . 11.我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长        厘米. 12.如图，圆桌正上方的灯泡看成一个点发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影.若桌面的半径，桌面与底面的距离，灯泡与桌面的距离，则地面上阴影部分的面积为        结果保留 13.如图，在矩形AOBC中，点O是坐标原点的图象上，点B在反比例函数，，则      . 14.如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为        . 三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题5分 计算： 16.本小题8分 解方程： 解不等式组： 17.本小题5分 先化简，再求值：，其中 18.本小题5分 如图，，在线段CD上求作一点P，使∽不写作法，保留作图痕迹 19.本小题6分 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，这些小球除标有的数字外都相同. 从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为______； 先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率. 20.本小题7分 如图，在▱ABCD中，交DA的延长线于点E， 求证：四边形AEBC是矩形； 为CD的中点，连接AF，已知，，求BF的长. 21.本小题8分 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点 求证：∽； 若，，求AE的长. 22.本小题8分 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头如图，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上.洗手盆及水龙头示意图如图2，其相关数据，，，，，请求出EC的长结果精确到1cm，参考数据：，，， 23.本小题8分 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示： 求y与x之间的函数关系式； 商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 24.本小题8分 已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为，连接OD， 求反比例函数的表达式和点E的坐标； 直接写出不等式的解集； 轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 25.本小题10分 问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，Q分别在边BC，AB上，于点O，点G，F分别在边CD、AB上，推断：的值为______. 类比探究：如图2，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，，，，，点M，N分别在边BC、AB上，求的值. 拓展应用2：如图2，在的条件下，连接CP，若，则______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； B、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选： 一般地，形如其中a、b、c是常数，且的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：从上方观察，看到的图形是两个左右排列的矩形，与选项D的图形一致， 故选： 根据简单几何体的三视图进行判断即可． 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 3.【答案】C  【解析】解：作于点C，则， 厘米，， ，， 厘米， 厘米， 故选： 作于点C，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，进而根据的正弦值可得BC的值，进而可得AB的长度． 本题考查解直角三角形的应用．构造直角三角形解决相关问题是解决本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：与是位似图形， ∽，， ∽， ， 与的周长比为1：2， 的周长为6， 的周长为3， 故选： 根据位似图形的概念得到∽，，得到∽，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：上映第一周票房收入达亿元，第三周票房收入达亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长， 增长率为x，则第二周的票房为，第三周的票房为， 所以可列方程为 故选： 根据题意可得出第二周的票房为，第三周的票房为，将第三周的票房收入代入即可得出答案． 本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 6.【答案】C  【解析】解：由题知， 由函数的图象可知， ， 由函数的图象可知， ， 故A选项不符合题意； 由函数的图象可知， ， 由函数的图象可知， ， 故B选项不符合题意； 由函数的图象可知， ， 由函数的图象可知， ，且函数经过点，位于y轴的负半轴上， 故C选项符合题意； 由函数的图象可知， ， 由函数的图象可知， ， 但函数与y轴的交点为，位于y轴的负半轴上， 故D选项不符合题意． 故选： 根据一次函数和二次函数的图象特征逐项判断即可得． 本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，熟知二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：，E分别为AB，AC边的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ∽， ：：：4， 故选： 由三角形中位线定理推出，，得到，由线段中点定义求出，判定∽，推出EM：：：4，即可求出MC的长． 本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出，，判定∽，推出EM：： 8.【答案】A  【解析】解：连接OC，连接OB， 平分，，， ，， 垂直平分AB， ， ， ， 平分，， 所在的直线垂直平分BC， ， ， 根据折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， 或舍去， 故选： 连接OB，OC，根据等腰三角形的性质推出AO所在的直线垂直平分BC，结合折叠的性质、三角形外角性质求出，，则，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出∽，根据相似三角形的性质求解即可． 此题考查的是相似三角形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 9.【答案】  【解析】解：， ， ， 故答案为： 由a、b的关系变形，用一个字母表示另一个，代入即可得解． 本题考查了比例的基本性质，变形求解是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 故答案为： 根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解即可． 本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能熟记根的判别式得出关于m的不等式是解此题的关键， 注意：一元二次方程、b、c为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 11.【答案】  【解析】解：依题意，设相邻一条较短边的边长等于x厘米，根据黄金分割的概念和性质列式得： ， 解得， 故答案为： 根据黄金分割的概念和性质列式计算即可作答． 本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 12.【答案】  【解析】解：，， ∽， ，即，解得， 故答案为： 先根据，可得出∽，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，再由圆的面积公式即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的应用，即相似三角形的对应边成比例． 13.【答案】  【解析】解：四边形AOBC为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ，且， ∽， ， ， ， 反比例函数在第二象限， ， ， 故答案为： 过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证∽，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：作于点H， 在▱ABCD中，，， ， 四边形ECGF是平行四边形， ， ∽， ， ， ， ， ， 当EO取得最小值时，EG即可取得最小值， 当时，EO取得最小值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为： 根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决． 本题考查平行四边形的性质，三角形的相似，垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15.【答案】解：   【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16.【答案】，  不等式组的解集为  【解析】解：， ， 或， ，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为 用因式分解法求解即可； 分别解两个不等式，再取他们解集的公共部分． 本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 17.【答案】；  【解析】解： 当时，原式 先把分式的分子和分母分解因式，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可． 本题主要考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 18.【答案】解：如图所示，点P即为所求．   【解析】过点A作即可得． 本题主要考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及过直线外一点做已知直线的垂线的尺规作图． 19.【答案】； 树状图如下： 由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种， 摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率  【解析】解：由题意可得， 从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为， 故答案为：； 树状图如下： 由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种， 摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率 根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率； 根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， 且， 已知， ， 又，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形AEBC是平行四边形， 又， ， 有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形AEBC是矩形； 解：由得四边形AEBC是矩形， ， 为CD的中点，， ， ， 由勾股定理得   【解析】先由四边形ABCD是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形AEBC是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答； 因为四边形AEBC是矩形，则，因为F为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21.【答案】证明：四边形ABCD是正方形， ，，， ， 又， ， ， ∽； 解：四边形ABCD是正方形，，， ，， ， 是AM的中点， ， ∽， ， 即，   【解析】由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； 由勾股定理求出AM，可求出AF，由∽得出比例式，即可求出AE的长． 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． 22.【答案】解：过点A作于G，过点M作于N，如图所示， 则四边形MEGN为矩形， ，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， 答：EC的长约为  【解析】过点A作于G，过点M作于N，根据正弦的定义求出AN，根据余弦的定义求出MN，再根据正切的定义求出CG，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23.【答案】解：设一次函数解析式为：， 当，；当，； ， 解得：， 与x之间的函数关系式为； 由题意得：  ， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到更大的实惠， ， 答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．  【解析】设一次函数解析式为：，由题意得出：当，；当，；得出方程组，解方程组即可； 由题意得出方程 ，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键． 24.【答案】，  或  或  【解析】解：， ，， 为AB中点， ， ， 反比例函数的表达式为， 点E在直线BC上， ， ； 根据图象可知的解集为或， 不等式的解集为或； 将点，代入得， ，解得， 直线DE的表达式为， 记直线DE与x轴交于点K， 令，得， ，即， ， ， ， 或 先求出点D坐标，再求出k值，进而可得点E坐标； 根据图像直接可得解； 先求出的面积，再利用面积公式求出OM的长即可得解． 本题主要考查了反比例函数的解析式、点的坐标特征、一次函数的解析式、坐标与图形面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25.【答案】1  ，理由如下： 作， 由折叠性质知， ，， ， ∽， ， ，      【解析】解：由题意可得：，， ， ，， ≌， ； ， ， ， ， ； 故答案为：1； ，理由如下： 作， 由折叠性质知， ，， ， ∽， ， ， ； 作，，连接AC， 由勾股定理可得：， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 由勾股定理可得：，即， ，不符合题意，舍去， ， ，， ， ， ∽， ； 如图2中，过点P作交BC的延长线于 ， 设，则，， ，， ， ， 或舍， ，， ：：3， ， ，， ， ，， ， ∽， ， ， ，， ， ， 故答案为： 证≌，可得，证四边形DQFG是平行四边形，进而即可求解； 作，由折叠性质知，证∽，进而即可求解； 作，，连接AC，证∽得，由，可得，证∽，进而即可求解； 过点P作交BC的延长线于利用相似三角形的性质求出PN，CN即可解决问题． 本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $