精品解析：湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2025年下期浯溪二中期中学情检测初三数学问卷 考试时间：120分钟 考试分值：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（30分） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数且）． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A：不符合反比例定义； B：符合反比例函数定义； C：不符合反比例定义； D：不符合反比例定义； 故选：B． 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，求出最小数与最大数的乘积及中间两个数的乘积，若乘积相等则四条线段成比例，反之不成比例，据此判断即可求解，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段成比例，该选项符合题意； 故选：． 4. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 这个函数的图象分布在第一、三象限 B. 点在这个函数图象上 C. 若图象上有两点，且，则 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小、当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：A、反比例函数中，， 图象在第一、第三象限，本选项说法正确，不符合题意； B、当时，，故点在这个函数图象上，不符合题意； C、在反比例函数中，若，则，故该说法错误，符合题意； D、当时，随的增大而减小，本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 利用根的判别式计算选择即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：B． 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上，过点A的另一条直线分别与点B、C所在横线的交点为点D，E，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 设点A到的距离分别为d，h，根据，得，得． 【详解】解：设点A到的距离分别为d，h， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为， 则六块蔬菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 9. 小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．测量时，使直角边保持水平状态，其延长线交于点；使斜边与点在同一条直线上．测得边离地面的高度为，点到的距离为（如图所示）．已知，，那么树的高度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意从实际问题中抽象出相似三角形后，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是从实际问题中抽象出纯数学问题，然后利用相似三角形求解． 【详解】解：根据题意得：，，，， ∴，， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴（米）． 故选：B． 10. 如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点． 根据一次函数和反比例函数的性质得到，即可判断①；把、代入中得到，即可判断②；把、代入得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到，即可判断③；根据图象得到不等式的解集是或，即可判断④． 【详解】解：①由图象知，，， ∴，故①正确； ②把，代入中，得， ∴，故②正确； ③把，代入，得， 解得：， ∵， ∴． ∵直线与轴、轴相交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（24分） 11. 已知点在反比例函数的图象上，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握点的坐标满足反比例函数解析式． 将点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出纵坐标的值． 【详解】解：根据题意：把代入， 得：． 故答案为：6． 12. 如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．利用根与系数关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则，解得， 故答案为：3． 14. 某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则依据题意可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，结合题意分析：第一次降价后的价格原价（降低的百分率），第二次降价后的价格第一次降价后的价格（降低的百分率），把相关数值代入即可．解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 【详解】解：依据题意可列方程为． 故答案为：． 15. 已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义求出m的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由是关于x的一元二次方程，得到， 则原式． 故答案为：． 16. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，直接利用其建立等式求解即可． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， 解得， 故答案为：． 17. 如图，矩形的顶点在轴正半轴上，A为的中点，反比例函数（为常数，）的图象经过点，交于点．若与的面积之和为4，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数系数的几何意义，设，则点，求出，，得出E为中点，得，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设点， ∵A为的中点， 则点， ∴， ∵点，点在反比例函数（为常数，）的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 18. 如图，在中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有__________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据，，，可判断①；分别表示，，再根据与不一定相等，故与不一定相等， 得与不一定相等，进行判断②；运用两组对应角相等的三角形是相似三角形，证明，可判断③；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴，， 平分， ， ．故①正确； ②，， ∴， ∴ ∵平分交于点， ∴ 则， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， 故与不一定相等， 故②不正确； ③由①知， ∴， ， 又， ， 故③正确； ④如图，连接， 在，为斜边的中线， 则． ， ， 由得； 由得， 有， ．故④正确． 综上所述，①③④符合题意， 故答案为： ①③④． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键． 三、解答题（19题，20题6分，21题，22题，23题8分，24题，25题，26题10分．） 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得，， 或， ； 【小问2详解】 解：， 等式两边同时除以2得，， 整理得，， 因式分解得，， 即， 或， ． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是第三象限内一点，且的面积为，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）利用三角形的面积构建方程求出即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图象经过A，B， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵点是第三象限内一点，，，的面积为， ， ∴， ∴． 21. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，求及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，再把化为，再代入计算即可； （2）由方程的解的含义可得，再根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； 【小问1详解】 解：∵是一元二次方程的两个实数根，， ∴ ∴， ； 【小问2详解】 解：把代入； ∴， 解得：； ∴方程为：， ∵， ∴； 22. 如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 （1）求证： （2）当时，求的长 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 23. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年7月份的销售量是500件，9月份的销售量是720件． （1）若该网店7月份到9月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出1件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元? 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据7月份的销售量9月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 24. 如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒．当为何值时，与相似？ 【答案】当为 或 时，与相似． 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，由题意得，，，则，分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：在△中，，，， ， 由题意得，，， ， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， ， 当为 或 时，经检验，它们都符合题意，此时与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，函数关系式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 25. 定义：当，，，同时满足，，时，称点与点为一对“关联点”． 如果某函数图像上至少存在一对“关联点”，那么我们就称该函数为“关联函数”． 请在认真阅读上述内容的基础上解答下列问题： （1）请在函数图像上找到并写出两对“关联点”的坐标； （2）试判断函数是不是“关联函数”？请简要说明理由； （3）如果关于x的一次函数是“关联函数”，试求符合题意的k值． 【答案】（1）与，与（答案不唯一） （2） 解：函数不是“关联函数”，理由如下： 设函数存在一对“关联点”为与，且， 则， 解得， 则，不符合题意，舍去； ∴函数不是“关联函数”； （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义、反比例函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，理解“关联点”和“关联函数”的定义是解题的关键． （1）根据“关联点”的定义以及反比例函数的性质即可解答； （2）设函数存在一对“关联点”为与，且，利用一次函数的性质列出方程组，解出的值，再检验是否符合题意即可得出结论； （3）设一次函数存在一对“关联点”为与，且，利用一次函数的性质列出方程组，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵与为一对“关联点”，且两个点都在函数图像上， ∴函数图像上一对“关联点”的坐标为与， 同理可得，另一对“关联点”的坐标可以为与， ∴函数图像上两对“关联点”的坐标分别为与，与（答案不唯一）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设一次函数存在一对“关联点”为与，且， 则， 得，， ∵， ∴． 26. 如图，已知正方形，点为边上一点，，交于点． （1）的值为 ； （2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，当时，其他条件不变，将绕点顺时针旋转，连接，设旋转角为，当 时，． 【答案】（1） （2） 解：与的数量关系为． 证明：将绕点顺时针旋转到如图示的位置，连接、， ∴ 由（1）知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或° 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质推出°，°，，继而推出，，可得结论； （2）先判断出，进而得出，即可得出结论； （3）先证明得，再推出是等边三角形，求出，再分两种情况计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵在正方形中，是正方形的对角线， ∴°，°，， ∴， ∵， ∴°， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在正方形内部，如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即：， 当点在正方形外部，如图，连接， 同理，是等边三角形， ∴， ∴， 即：， 综上所述，当或时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出是等边三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期浯溪二中期中学情检测初三数学问卷 考试时间：120分钟 考试分值：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（30分） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 这个函数的图象分布在第一、三象限 B. 点在这个函数图象上 C. 若图象上有两点，且，则 D. 当时，随的增大而减小 5. 如图，，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上，过点A的另一条直线分别与点B、C所在横线的交点为点D，E，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 9. 小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．测量时，使直角边保持水平状态，其延长线交于点；使斜边与点在同一条直线上．测得边离地面的高度为，点到的距离为（如图所示）．已知，，那么树的高度等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知直线与轴、轴相交于，两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（24分） 11. 已知点在反比例函数的图象上，则______． 12. 如果，那么___________． 13. 若是方程的一个根，则的值为______． 14. 某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则依据题意可列方程________． 15. 已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 16. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______．（结果保留根号） 17. 如图，矩形的顶点在轴正半轴上，A为的中点，反比例函数（为常数，）的图象经过点，交于点．若与的面积之和为4，则的值为________． 18. 如图，在中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有__________（填序号）． 三、解答题（19题，20题6分，21题，22题，23题8分，24题，25题，26题10分．） 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是第三象限内一点，且的面积为，求点C的坐标． 21. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，求及的值． 22. 如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 （1）求证： （2）当时，求的长 23. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年7月份的销售量是500件，9月份的销售量是720件． （1）若该网店7月份到9月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出1件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元? 24. 如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒．当为何值时，与相似？ 25. 定义：当，，，同时满足，，时，称点与点为一对“关联点”． 如果某函数图像上至少存在一对“关联点”，那么我们就称该函数为“关联函数”． 请在认真阅读上述内容的基础上解答下列问题： （1）请在函数图像上找到并写出两对“关联点”的坐标； （2）试判断函数是不是“关联函数”？请简要说明理由； （3）如果关于x的一次函数是“关联函数”，试求符合题意的k值． 26. 如图，已知正方形，点为边上一点，，交于点． （1）的值为 ； （2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，当时，其他条件不变，将绕点顺时针旋转，连接，设旋转角为，当 时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $