精品解析： 浙江省杭州滨和中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷

2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键， 根据二次函数的定义：形如（为常数且），逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是一次函数，故A错误； B、是二次函数，故B正确； C、不是二次函数，故C错误； D、是反比例函数，故D错误； 故选：B． 2. 已知的半径，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵的半径， ∴ ∴点P与的位置关系是：点P在外． 故选：B． 3. “明天下雨的可能性为”这句话指的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 的地区下雨，的地区不下雨 C. 明天不一定下雨 D. 明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，理解随机事件发生的可能性是可能发生，也可能不发生．根据相关概念判断，即可解题． 【详解】解：“明天下雨的可能性为”这句话指的是明天有很大可能下雨，但也不一定下雨，与地区和下雨时间长短无关，故明天不一定下雨， 故选：C． 4. 如图，是的直径，，点C是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据平角求角度数是解题的关键．利用圆心角、弧、弦的关系，结合直径所对圆心角为平角的性质来求解的度数． 【详解】解：， 是的直径， ， ， 点C是的中点， ， ，且， ， ． 故选：B． 5. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； 故选：D． 6. 关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可． 【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4． A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确； B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确； C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确； D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键． 8. 如图，是的直径，，，，则的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．根据，可得，从而得到，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， ， 的直径为， 故选：C 9. 如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，，根据可得，推出，由可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 已知二次函数（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值．利用抛物线解析式求得对称轴，即可求得函数的最小值，然后根据 、 的取值范围判断的范围． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线， 函数的最小值， 若，，则 ∴ 则， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ，故A、B错误； 若，， ∴ ∴ 则， ∴， ∴， ，故C错误、D正确， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 正十边形的每个内角的度数是：________． 【答案】##114度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和计算．熟知多边形的内角和计算公式是正确解题的关键． 先利用多边形的内角和计算公式求出正十边形的内角和，再除以边数即可． 【详解】正十边形的内角和为：， 正十边形的每个内角的度数为： ， 故答案为：． 12. 盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】-此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 13. 如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，又四边形是圆内接四边形，所以，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若，两点在二次函数的图象上，则______（请填写，，中的一个） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数开口向上，对称轴为直线，比较点和点与对称轴的距离，距离越大函数值越大，进一步可求解． 【详解】解：二次函数（其中 ) 的图象开口向上，对称轴为直线， 点 和点 在图象上， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 抛物线开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大， ， 故答案为：． 15. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，则方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式和解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法是解题的关键，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再将二次函数与一次函数联立，即可得到答案． 【详解】解：∵在上， ∴ 解：， ∴ ∵， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，中，，，点为内一点，，若，则长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 三、简答题（6分，8分，8分，8分，8分，10分，12分，12分，共72分） 17. 已知二次函数． （1）试求该二次函数的顶点坐标； （2）判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：点不在该抛物线上，理由如下， 当时，， ∴点不在该抛物线上． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质． （1）配方成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）根据自变量的值，计算函数值的方法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：已知二次函数， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． （2）求边扫过的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转图形，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得； （2）由题意可得边扫过的面积为扇形，且，，则边扫过的面积为以长为半径的圆面积的． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 如图，边扫过的面积为扇形，且，， 边扫过的面积为． 19. 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． （1）从中任取一个球，求摸到红球的概率． （2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回搅匀，第二次再摸出1个球．用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用概率公式和画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解： 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． 从中任取一个球，摸到红球的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中刚好摸到一个红球和一个白球的情况数有8种， 则刚好摸到一个红球和一个白球的概率是． 20. 如图，为的直径，C、D为圆上的两点，，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，垂径定理，关键是掌握垂径定理． （1）根据直径所对圆周角为直角，得到，再由平行线的性质可推出，然后根据垂径定理，即可得证； （2）由（1）知，，由垂径定理得到，由勾股定理求出，于是． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元． 【答案】（1）； （2）销售单价定为元时，最大利润是元． 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数的应用及二次函数最大值求法，解题的关键是根据题意列出函数关系． （1）将点、代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得，根据x的范围以及二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设香蕉每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得：， ， 抛物线开口向下，， 当时，有最大值，此时， 答：销售单价定为元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是元． 22. 如图，为的直径，点在上，延长至点，使，延长与的另一个交点为，连接，． 求证：； 若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC． 又∵DC=CB， ∴AD=AB， ∴∠B=∠D． ∵∠E=∠B， ∴∠E=∠D． （2）． 【解析】 【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D，根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可得出结论； （2）首先设BC=x，则AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长．在△DCE中，根据等角对等边得到CD=CE，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）设BC=x，则AC=x﹣2． 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴（x﹣2）2+x2=42， 解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去）， ∴BC=1+． ∵∠D=∠E， ∴CD=CE． ∵CD=CB， ∴CE=CB=1+． 【点睛】本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 23. 已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）将点A的坐标和对称轴代入二次函数中，即可求解； （2）表示出平移后的点B的坐标，再代入关系式，求出m的值； （3）先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴解得， ∴二次函数的关系式为. 【小问2详解】 解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴的值为4． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，关于直线对称， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 当时，， 分三种情况： ①当时， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时取得最大值，即最大值为， 当时取得最小值，即最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得 与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时时取得最大值，即最大值为， 时取得最小值，即最小值为， 此时最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时， 此时时取得最小值，即最小值为， 时取得最大值，最大值为， 由题意可得：， 解得，， 与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去； 综上，n的取值范围为. 24. 如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． （1）若，求的度数； （2）若，求证； （3）若弧长是周长的，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用三角形的内角和定理即可得证； （3）过点作于点，作于点，先求出，从而可得，都是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，作于点， ∵弧长是周长的， ∴， ∴，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴在中，， 在中，， 在中，，解得， 在中，，解得， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法确定 3. “明天下雨的可能性为”这句话指的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 的地区下雨，的地区不下雨 C. 明天不一定下雨 D. 明天的时间下雨，的时间不下雨 4. 如图，是的直径，，点C是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 6. 关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 8. 如图，是的直径，，，，则的直径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 正十边形的每个内角的度数是：________． 12. 盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是________． 13. 如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 14. 若，两点在二次函数的图象上，则______（请填写，，中的一个） 15. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，则方程的解是______． 16. 如图，中，，，点为内一点，，若，则长度的最小值为________． 三、简答题（6分，8分，8分，8分，8分，10分，12分，12分，共72分） 17. 已知二次函数． （1）试求该二次函数的顶点坐标； （2）判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． （2）求边扫过的面积． 19. 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． （1）从中任取一个球，求摸到红球的概率． （2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回搅匀，第二次再摸出1个球．用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 20. 如图，为的直径，C、D为圆上的两点，，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求． 21. 推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元． 22. 如图，为的直径，点在上，延长至点，使，延长与的另一个交点为，连接，． 求证：； 若，，求的长． 23. 已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 如图，是圆的内接三角形，连接并延长交于点，，． （1）若，求的度数； （2）若，求证； （3）若弧长是周长的，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $