第四章 指数函数与对数函数 单元练习题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数练习题 一、单选题 1．若，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【详解】因为，则， 所以. 故选：B. 2．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 3．设函数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【详解】因为 所以， 则. 故选：A. 4．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【详解】， ， 又，（由的单调性判断） 所以， 因为， 所以 所以， 所以， 所以 综上， 故选：C 5．已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】，所以 故选：D 6．函数的大致图象是（     ） A．   B．   C．   D．   【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 7．2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（    ）（参考数据：） A．年 B．年 C．年 D．年 【详解】由题意得，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得， 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要43年. 故选：A. 8．已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. 二、多选题 9．以下运算中不正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BD 10．已知满足不等式，对于函数的最大值和最小值描述正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为2 C．当时取得最小值 D．当时取得最大值 【详解】设，则等价于，解得， 而， 设，是开口向上，对称轴为的二次函数， 其中， 而， 所以，故选项A，B均正确； 由，知，所以当时，取得最小值，故选项C错误； 由，知，所以当时，取得最大值，故选项D正确. 故选：ABD. 11．关于函数，有下列结论，其中正确的是（   ） A．其图象关于轴对称 B．的最小值是 C．当时，是增函数 D．的增区间是， 【详解】由已知，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，A选项正确； 当时，， 设，， 则，当且仅当，即时等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 又函数，上单调递增， 综上所述在上单调递减，在上单调递增； 结合偶函数可知函数在上单调递减，在上单调递增； 故C选项错误，D选项正确； 当和时，取最小值为，B选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．定义在上的奇函数满足 ，且当时，，则 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且 所以， 又， 所以，， 根据这两个式子可得，所以是以4为周期的周期函数， 又，所以， 又，所以， 故 故答案为：. 13．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 【详解】不等式在上恒成立， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 因此函数在R上单调递增，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 14．已知分别是函数，的零点，则的值为 . 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 四、解答题 15．计算: (1); (2). (3)已知，试用表示和. 【详解】（1） ； （2） （3）由，得①， 由，得②， 由①②得，， 所以， . 16．已知函数（，）． (1)判断函数的奇偶性； (2)若方程有两个不等实根，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由题意可知， 又， 即，所以是奇函数； （2）方程可化为， 即有两个不等实根， 等价于有两个不等实根， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 所以， 所以. 17．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值. (2)试判断的单调性（不需要证明），并求的值域． (3)解关于的不等式． 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数， 可得，即有， 即， 所以； （2）由于， 因为函数在上为增函数，所以在上为减函数， 所以函数在上为增函数， 由于，所以，于是可得， 故的值域为； （3）由（2）得，函数为奇函数且在上为增函数， 故原不等式等价为， 即，令，则不等式化为，解得 又，所以，故，解得， 所以不等式的解集为：. 18．设函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数的单调性；（不必说明理由，给出结论即可） (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题即，解得，所以函数的定义域为. 函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为关于原点对称， 且 所以函数为奇函数； （2）函数在定义域上为单调递增函数，理由如下： 因为函数， 又因为、在上均单调递减，为增函数， 所以与在上均单调递增， 所以函数在定义域上为单调递增函数； （3）因为，且函数在定义域上为单调递增函数， 所以若，则，解得或， 满足题意的实数的取值范围为. 19．已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义法加以证明； (2)若存在使不等式成立，求实数a的取值范围； (3)设，若对，使得成立，求实数a的取值范围 【详解】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得，解得， 此时，，即为奇函数， 因此，，函数在R上单调递增， 任取，函数在R上单调递增，则，， ，因此，即， 所以函数在R上单调递增. （2）由（1）知，奇函数在R上单调递增， 不等式，则， 依题意，存在使成立， 而，，当且仅当时取等号，因此， 所以实数a的取值范围是. （3）由（1）知，，，函数在R上单调递增，值域为， 函数的值域为，因此函数的值域为， 函数在上单调递增，值域为， 由对，使得成立，得函数在R上的值域是在上值域的子集， 即，因此，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数练习题 一、单选题 1．若，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 2．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 3．设函数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．函数的大致图象是（     ） A．   B．   C．   D．   7．2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（    ）（参考数据：） A．年 B．年 C．年 D．年 8．已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 二、多选题 9．以下运算中不正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 10．已知满足不等式，对于函数的最大值和最小值描述正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为2 C．当时取得最小值 D．当时取得最大值 11．关于函数，有下列结论，其中正确的是（   ） A．其图象关于轴对称 B．的最小值是 C．当时，是增函数 D．的增区间是， 三、填空题 12．定义在上的奇函数满足 ，且当时，，则 13．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 14．已知分别是函数，的零点，则的值为 . 四、解答题 15．计算: (1); (2). (3)已知，试用表示和. 16．已知函数（，）． (1)判断函数的奇偶性； (2)若方程有两个不等实根，求实数a的取值范围． 17．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值. (2)试判断的单调性（不需要证明），并求的值域． (3)解关于的不等式． 18．设函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数的单调性；（不必说明理由，给出结论即可） (3)若，求实数的取值范围. 19．已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义法加以证明； (2)若存在使不等式成立，求实数a的取值范围； (3)设，若对，使得成立，求实数a的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $