强基训练四 二次函数 2026年中考数学复习

强基训练四 二次函数 一、单选题 1．已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 2．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（　　） x … -1 0 1 2 3 … y … … A．二次函数图像与x轴交点有两个 B．x≥2时y随x的增大而增大 C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间 D．对称轴为直线x=1.5 3．某超市一种干果现在的售价是每袋元，每星期可卖出袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价元，每星期就少卖出袋．已知这种干果的进价为每袋元，设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）．则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数，二次函数 B．一次函数，反比例函数 C．反比例函数，二次函数 D．反比例函数，一次函数 4．已知二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是(     ) A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 6．已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线y=2x2+n，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-4，0)，对称轴为直线x=-1，下列结论： ①abc>0； ②2a-b=0； ③一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-4，x2=1； ④当y>0时，-4<x<2． 其中正确的结论有（ ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 9．二次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 10．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是 ． 11．把一根长的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是 . 12．方程的两根为和，那么抛物线的对称轴是直线 ． 13．已知函数y1=(a2+1)x2+bx+c，y2=－x+2，若方程(a2+1)x2+(b+1)x+c－2=0的两根分别为x1=-2，x2=8，则使y1> y2，成立的x的取值范围是 . 14．在△ABC中，已知BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的关系为 ． 三、解答题 15．已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 16．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 17．如图，已知函数 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点且当 时，y有最大值；当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小． (1)求点A，B，C的坐标； (2)求与直线BC平行并与函数只有一个交点的直线l的表达式； (3)直接写出不等式的解集． 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，4），已知点A的坐标为（-2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△ACQ是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A C A D D B 1．A 【分析】根据方程的两根求出b、c的值，代入抛物线解析式，求出点A坐标，A、B两点纵坐标相同，从而求出B点坐标，AB的长即可求出． 【详解】将-1，3分别代入， ， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴与y轴交点为：A（0，6）， ∵AB⊥y轴，∴B的纵坐标为6， 代入抛物线解得，， ∴B（2，6） ∴AB=2-0=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键． 2．D 【分析】根据x=1时的函数值最小判断出抛物线的开口方向; 根据函数的对称性可知当x=2时的函数值与x=0时的函数值相同, 并求出对称轴直线方程可得答案. 【详解】A、由图表数据可知x=1时, y的值最小, 所以抛物线开口向上. 所以该抛物线与x轴有两个交点.故本选项正确; B、根据图表知, 当x≥2时y随x的增大而增大.故本选项正确; C、抛物线的开口方向向上, 抛物线与y轴的交点坐标是(0,),对称轴是x=1,所以二次函数图象与x轴交点横坐标一个在-1~0之间, 另一个在2~3之间. 故本选项正确; D、因为x=0和x=2 时的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线x=1. 故本选项错误; 故选:D. 【点睛】本题主要考查二次函数性质与二次函数的最值. 3．A 【分析】设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意列出与，与的函数关系式，即可求解． 【详解】解：设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意得， 是一次函数， 是二次函数， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 4．C 【分析】把原点的坐标代入函数解析式可得：解方程可得值，再由二次函数的定义可得，从而可得答案． 【详解】解： 的图象经过原点， 把代入函数解析式可得： 或 或 又由二次函数可得： 故选： 【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 5．A 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【详解】①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故①正确； ②∵对称轴x＜﹣1， ∴＜﹣1，-2a＞0， ∴b＜2a， ∴b﹣2a＜0，故②正确； ③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误； ④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 6．D 【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=-2，进而可得h的值，从而可得函数解析式，再把x=0代入函数解析式可得y的值． 【详解】由题意得：二次函数y=-（x+h）2的对称轴为x=-2， ∴h=2 ∴函数解析式， ∴当时， 故选D. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，对称轴为x=h. 7．D 【详解】试题分析：∵当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下； ①此题a=2＞0，所以开口向上，正确； ②对称轴为y轴，所以正确； ③因为a相同，所以开口方向、形状都相同，正确； ④因为a=2＞0，所以开口向上，有最低点．正确； 所以判断正确的个数是4个． 故选D． 考点：二次函数的性质． 8．B 【分析】根据抛物线的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）逐个判断即可． 【详解】∵抛物线开口向下 ∵对称轴 同号，即 ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方 ，则①正确 ∵对称轴 ，即，则②正确 ∵抛物线的对称轴，抛物线与x轴的一个交点是 ∴由抛物线的对称性得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而一元二次方程的解是，则③错误 由图象和③的分析可知：当时，，则④正确 综上，正确的结论有①②④这3个 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象与性质是解题关键． 9． 【分析】令，求出的值即可得到答案． 【详解】解：令，则， 二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与y轴的交点，横坐标为0． 10． 【分析】根据长方形的面积公式即可获得与的关系式． 【详解】解：根据题意，长方形的周长为，其中一边为， 则该长方形的面积为， 所以，与的关系是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式，解题关键是利用长方形的面积公式求得答案． 11． 【分析】本题考查二次函数的基本应用，能够通过题意求出二次函数解析式是解题关键； 设第一个正方形的边长为，则第二个正方形的边长为，根据正方形的面积公式可得它们的面积和为，再配方为顶点式，根据二次函数的性质即得结果. 【详解】解：设第一个正方形的边长为，则第二个正方形的边长为， 则它们的面积和为：， 根据二次函数性质，当时，面积和取到最小值为：， 故答案为： 12． 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程，由条件可求得抛物线与轴的两个交点的横坐标，再利用对称性可求得抛物线线的对称轴，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】方程的两根为和， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为和， ∴抛物线对称轴， 故答案为：． 13．x＜－2或x＞8 【分析】根据二次函数的图像来判断. 【详解】∵a2＋1＞0 ∴函数开口向上 图像大致为 ∵x1＝－2，x2＝8，要使y1＞ y2 ∴x＜－2或x＞8. 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 14．y=x2+x 【分析】根据已知得出三角形的高，进而利用三角形面积公式求出即可． 【详解】∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：y=x（2x+1）=x2+x． 故答案为y=x2+x． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据三角形面积公式得出是解题关键． 15．(1)开口向上，顶点坐标 (2) (3)抛物线不过点，理由见详解 【分析】（1）二次函数中，，，，根据的判断抛物线的开口，将一般式化成顶点式即可求出顶点； （2）由（1）可知，对称轴左边是随的增大而减小，对称轴右边是随的增大而增大，由此即可求解； （3）抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得到新的函数解析式，把代入计算，若，则点在函数上，否则不在． 【详解】（1）解：二次函数中，，，， ∵， ∴抛物线开口向上， 将一般式化成顶点式得：， ∴顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴直线， ∴当时，函数值随着自变量的增大而减小． （3）解：抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得，，化简得， ∴当时，， ∴抛物线不过点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，平移是解题的关键． 16．(1)m=1 (2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析． 【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值； （2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ， ∴4=4+2m+m2−3， 即m2+2m−3=0， 解得：m1=1，m2=−3， 又∵m>0， ∴m=1； （2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2， ∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0， ∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键． 17．(1)，，； (2)； (3)或． 【分析】（1）分别令与即可求得A，B，C三点的坐标； （2）用待定系数法求得与直线BC的解析式，设出与BC平行的直线解析式，再由仅有一个交点通过计算时参数的值即可； （3）移项将原不等式整理为，然后画出函数的图象，用图象法直接写出解集即可． 【详解】（1）在中，令，可得， 解得或， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 在中，令，可得， ∴C点的坐标为； （2）设直线BC的解析式为,将，两点分别代入， 可得， 解得, ∴直线BC的解析式为, 设与直线BC平行且与函数只有一个交点的直线的表达式为, 由题意得,得, ∵直线与函数只有一个交点, ∴, 解得a, ∴直线的表达式为; （3）或者． 由，整理可得 解方程 得，； 的解集是或者． 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，熟悉并掌握二次函数与方程、不等式的联系是本题的解题关键． 18．（1）；（2）；（3）存在，点Q的坐标分别为Q1，Q2，Q3， 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求解系数即可； （2）令求得点坐标，再根据三角形三边关系，确定点的位置，求解即可； （3）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式得， ，解得 ∴抛物线的解析式为， （2）令y=0，即， 解得，，即B（8，0），且抛物线的对称轴为直线x=3， 由对称性可知，， △PAC的周长为 所以，当最小时，△PAC的周长最小， 由三角形三边关系可得：，当三点共线时，，此时△PAC的周长最小 设直线BC的解析式为，代入得 ，解得 直线BC的解析式为， 当时，，即点P的坐标（3，）； （3）依题意，抛物线的对称轴为直线x=3， 可设点 则， 分三种情况讨论： ①若AQ＝CQ，则有AQ2＝Q2，即25+ t2=9+ (t-4)2解得t＝0，∴Q（3，0） ②若AC＝AQ，则有AC2＝AD2，即25+ t2=20解得t2＝-5，∴此方程没有实数根，∴此时不能构成等腰三角形； ③若AC＝CQ，则有AC2＝CQ2，即9+ (t-4)2=20解得， ∴Q，Q 综上所述，当△ACQ为等腰三角形时，点Q的坐标分别为Q1（3，0），Q2，Q3 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $