精品解析：湖南省衡阳市第八中学2025-2026学年高三上学期高考适应性练习数学试卷（五）

衡阳市八中2025年高考适应性练习卷（五） 数学 时量120分钟 满分150分 命题人：谢德斌 审题人：肖中秋 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】， 又因为，所以， 所以，即， 所以，所以. 故选：D. 2. 已知双曲线的离心率为2，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定，由离心率列方程可得的值. 【详解】双曲线的， 所以， 则离心率，解得. 故选：D. 3. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为角终边过点，由三角函数的定义可得， 由二倍角的余弦公式可得. 故选：A. 4. “”是“函数的值域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】验证充分性，当时，，所以函数的值域为R，即具有充分性；再验证必要性，若函数的值域为R，则对于二次函数，其判别式非负，由此可解得，可得答案. 【详解】若，因为，所以函数的定义域为， 故，所以函数的值域为R， 即“”是“函数的值域为R”的充分条件； 若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含， 即，解得或， 即“”不是“函数的值域为R”的必要条件， 综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，接着由求得，再结合向量数量积运算律和模长公式即可计算得解. 【详解】由题得向量在向量上的投影向量为， 所以，又，故， 因为，所以， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B. 6. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用正弦定理与二倍角公式将“角的倍数关系”转化为“边与角的余弦的关系”，再用余弦定理把“角的余弦”转化为“边的关系”，即可求得边的比例. 【详解】由题可知，. 由，结合正弦定理，得. 再由余弦定理：， 代入，得：， 得，得，即， 则， 故选：B. 7. 如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，内切球半径为，高为，根据圆台的侧面展开图，求得，，从而进行求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，内切球半径为，高为， 则， 而， 得， 又因为， 得， 得， 则， 得该圆台的内切球表面积为， 该圆台的表面积为， 则 故选：B 8. 设随机变量服从正态分布.已知部分小概率值和相应的临界值如下表： 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知随机变量服从正态分布.需要找到实数满足，并判断的范围. 【详解】由于，则(自由度为1的卡方分布)，即， 表示落在区间的概率，由于是连续型随机变量，该概率表示为， 若m为负数，则， 所以，m为非负实数， 所以， 根据卡方分布表，，， 由于9介于和之间，故 (略小于)，则， 表格中，，因此对应的介于3.841和5.024之间. 故答案为：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数和余弦函数的特殊值、周期性、单调性、值域，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，所以且，所以， 故的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数和的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为函数在区间，上单调递减， 函数在区间上均单调递减，且值域为； 函数在区间上均单调递减，且值域为. 所以函数与在区间上均单调递增， 则在区间上单调递增，故C项错误； 对于D，令，则，解得， 在区间上有2个解，故D项正确． 故选：ABD． 10. 已知平面内的一组直线的斜率与纵截距始终满足，则这组直线可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入斜率与截距的关系得到，则直线过某点，代入点后有解，代入选项逐一验证判断. 【详解】由题可得，过某点，则代入后 有解， A选项：，令，， ，，， 故在上递增，在上递减， 使得，A选项正确； B选项：， 设，，， ，函数在上递增，在上递减， ，，此时无解，B选项错误； C选项：， 令，， ，故存在使得，C选项正确； D选项：， 由选项B知，函数在上递减，， 因此方程有解，D选项正确. 故选：ACD 11. 数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（） A. 十进制数2025用二进制表示为 B. 满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275 C. 将对应的二进制数中1的个数记为，则 D. 将对应的二进制数中0的个数记为，令，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据十进制与二进制的转化方法即可判断A，利用组合分析出所有情况即可判断B；分别计算等式左右两侧即可判断；利用二项展开式公式即可判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，其中中有且只有2个1，有种可能； 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，均出现次， 所以对应的十进制数的和为，故B正确； 对于C：， 则，， 故,， 故，故，故C正确； 对于D：共个数中所有的数转换为二进制后， 总位数都为2026，且最高位都为1；而除最高位之外的剩余2025位中，每一位都是0或者1； 设其中的数，转换为二进制后有个； 在这个数中，转换为二进制后有个0的数共有个， 故，故D正确， 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则_____． 【答案】{1} 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性求在上范围，结合及集合交运算求集合. 【详解】由，且在上单调递增，在上单调递减， 而在上，有，所以． 故答案为： 13. 设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在两点，使得，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设两点坐标，分别表示直线的斜率，利用导数求出两个斜率的最值.要使需满足在第一象限，最大，最小且，结合斜率的定义和两角差的正切公式计算即可求解. 【详解】设，则直线的斜率为， 设，则， 令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即； 设，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率为， 设，则， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，即. 作出函数的图象，如图， 由图可知，要使， 需满足在第一象限，最大，最小，且， 此时， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数对任意恒成立，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，再根据函数的定义域得到，再就分类讨论后可求参数的取值范围． 【详解】∵，定义域为， ∴函数为奇函数， 又和在上是增函数，∴函数在上是增函数， 故函数在上是增函数. 因为对任意的恒成立，故对任意的总成立， 故， 若，则，这与函数的定义域矛盾； 若，则等价于， 整理得到对任意的恒成立， 因为，，故对任意的恒成立， 所以在上恒成立， 因为对称轴，故，这对任意都成立，故符合. 若，则 因为 ∴在恒成立， ∴在恒成立， ∵在上单调递增， ∴在上， ∴， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：函数不等式的处理方法，关键是利用函数的单调性和奇偶性，但要注意所考虑的代数式在同一个单调区间中. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）若，求数列的通项公式； （2）若．求b． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）通过，得到方程，联立求解即可； （2）法一：通过或结合通项公式化简求解即可，法二：原式化为化简求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， 由题意知：当时： ① 当时： ② 联立①②，解得，． 因为，所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由（1）知． 方法一：故当，时，原式可化为 ． 因为，所以； 所以． 同理当，即时，原式可化为， 所以． 所以，解得． 方法二：原式可化为． 即． 即，． 所以，解得． 16. 已知是椭圆的右焦点，，过点的直线与线段相交于，与椭圆交于两点. （1）证明：； （2）若，求点的坐标. 【答案】（1） 因为点满足椭圆方程，故点在椭圆上.因为，故， 因此三点共线，均在直线上，易知轴，因此，证明， 即证明直线与直线关于对称，即证. 当直线的斜率为0时，点与点重合，不存在，不符题意，故可设直线，， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得：. ， ， 而， ，得证. （2）或 【解析】 【分析】（1）设出与直线，联立直线与椭圆方程，并写出韦达定理，再证明，即可得证； （2）由三角形面积相等有，进而得到，再确定为线段的中垂线与椭圆的交点，即可求点的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，（对顶角相等）， 可得：，即， 又（对顶角相等），，，即， 又由题（1）可知，， 所以，即，故， 所以点为线段的中垂线与椭圆的交点， 将代入椭圆，得，解得， 故点的坐标为或. 17. 如图，在三棱锥的平面展开图中，. （1）求的余弦值； （2）在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）当时，平面和平面所成角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）根据已知求出相关线段的长度，再应用余弦定理求得的余弦值； （2）构建合适的空间直角坐标系，根据已知面面角的余弦值及向量法求夹角，列方程求出，即可得结论. 【小问1详解】 在中，因为，所以，所以， 在中，因为， 所以，所以． 又因为， 在中，由余弦定理得， 所以的余弦值为. 【小问2详解】 因为，即， 又平面，所以平面，在平面内作， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，故， 设平面的法向量， 则，令，得， 所以平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为， 因为平面和平面所成角的正弦值为，所以， 所以，解得（舍去）或， 即当时，平面和平面所成角的正弦值为. 18. 某兴趣学习小组为研究物理成绩与知识竞赛成绩之间的相关关系，通过对随机抽样出来的20组数据的物理成绩和知识竞赛成绩数据如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 物理成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 一些统计量的值： 75 90 6464 149450 21650 （1）求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； （2）设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记.证明：； （ii）用（i）的公式求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”，并简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 【附参考公式及参考数据：对于一组成对数据，其相关系数】 【答案】（1） （2） (2)（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列， 所以，， 从而和的平均数都是． 因此，， 同理可得， 由于 ， 所以 （ii），答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 【解析】 【分析】（1）利用相关系数的公式进行计算即可； （2）（i）根据题意即相关系数的公式进行计算即可证明；（ii）利用表格写出对应的与 得值，然后用“斯皮尔曼相关系数”的公式进行计算即可；只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可 【小问1详解】 由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题目数据，可写出与的值如下： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识竞赛成绩排名 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 同学编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩排名 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 知识竞赛成绩排名 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20 所以，并且． 因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是 答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 19. 已知曲线， （1）若，与在公共点处的切线重合，求 （2）若与相交于A，在B的左侧两点，记直线AB的斜率为 （i）求证： （ii）若，设，证明： 【答案】（1） （2）（i）证明： 由为增函数，知，所以 设，，其中 （i）由为增函数，知，所以 法1：则 依题意，有，且， 两式相减，得 令，则，且，解得，， 所以 记，则， 令，求导得， 故单调递减，故，所以在上单调递增， 故，所以式成立，从而式成立，所以 （ii）证明： 若，，则 因为，故只需证明 由（i）知，只需证，即要证 记，则 因为，所以，所以 所以，故在上单调递增， 所以，所以式成立，所以 法2：（i）由题意，，， 两式作差得，， 即 又，且， 则， 所以 下证：，即证：，即证： 【解析】 【分析】（1）设为公共点的横坐标，可得，且，计算求解即可； （2）法一：（i）分析可知只需证，由已知可得，令，则，进而可得构造函数,记，求导，可证结论.（ii）分析可知只需证明 由（i）分析可得，构造函数证明即可.法二：（i）由题意，，，两式作差可得，证明即可；（ii）证明即可. 【小问1详解】 若，则， 因为与在公共点处的切线重合，不妨设为公共点的横坐标，则，且， 所以，于是，解得，所以 【小问2详解】 设，，其中 （i）略； （ii）略. 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2025年高考适应性练习卷（五） 数学 时量120分钟 满分150分 命题人：谢德斌 审题人：肖中秋 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率为2，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 3. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数的值域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 6. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量服从正态分布.已知部分小概率值和相应的临界值如下表： 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有2个零点 10. 已知平面内的一组直线的斜率与纵截距始终满足，则这组直线可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 11. 数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（） A. 十进制数2025用二进制表示为 B. 满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275 C. 将对应的二进制数中1的个数记为，则 D. 将对应的二进制数中0的个数记为，令，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则_____． 13. 设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在两点，使得，则的取值范围为__________. 14. 已知函数对任意恒成立，则实数的取值范围是_______ 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）若，求数列的通项公式； （2）若．求b． 16. 已知是椭圆的右焦点，，过点的直线与线段相交于，与椭圆交于两点. （1）证明：； （2）若，求点的坐标. 17. 如图，在三棱锥的平面展开图中，. （1）求的余弦值； （2）在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 某兴趣学习小组为研究物理成绩与知识竞赛成绩之间的相关关系，通过对随机抽样出来的20组数据的物理成绩和知识竞赛成绩数据如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 物理成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 一些统计量的值： 75 90 6464 149450 21650 （1）求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； （2）设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记.证明：； （ii）用（i）的公式求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”，并简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 【附参考公式及参考数据：对于一组成对数据，其相关系数】 19. 已知曲线， （1）若，与在公共点处的切线重合，求 （2）若与相交于A，在B的左侧两点，记直线AB的斜率为 （i）求证： （ii）若，设，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $