湖南省衡阳市第八中学2025-2026学年高三上学期高考适应性练习数学试卷（五）

衡阳市八中2025年高考适应性练习卷（五） 数学 时量120分钟 满分150分 命题人：谢德斌 审题人：肖中秋 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率为2，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 3. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数的值域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 6. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量服从正态分布.已知部分小概率值和相应的临界值如下表： 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有2个零点 10. 已知平面内的一组直线的斜率与纵截距始终满足，则这组直线可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 11. 数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（） A. 十进制数2025用二进制表示为 B. 满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275 C. 将对应的二进制数中1的个数记为，则 D. 将对应的二进制数中0的个数记为，令，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则_____． 13. 设为坐标原点，若曲线和曲线上分别存在两点，使得，则的取值范围为__________. 14. 已知函数对任意恒成立，则实数的取值范围是_______ 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）若，求数列的通项公式； （2）若．求b． 16. 已知是椭圆的右焦点，，过点的直线与线段相交于，与椭圆交于两点. （1）证明：； （2）若，求点的坐标. 17. 如图，在三棱锥的平面展开图中，. （1）求的余弦值； （2）在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 某兴趣学习小组为研究物理成绩与知识竞赛成绩之间的相关关系，通过对随机抽样出来的20组数据的物理成绩和知识竞赛成绩数据如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 物理成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 一些统计量的值： 75 90 6464 149450 21650 （1）求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； （2）设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记.证明：； （ii）用（i）的公式求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”，并简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 【附参考公式及参考数据：对于一组成对数据，其相关系数】 19. 已知曲线， （1）若，与在公共点处的切线重合，求 （2）若与相交于A，在B的左侧两点，记直线AB的斜率为 （i）求证： （ii）若，设，证明： 衡阳市八中2025年高考适应性练习卷（五） 数学 时量120分钟 满分150分 命题人：谢德斌 审题人：肖中秋 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】{1} 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1） 因为点满足椭圆方程，故点在椭圆上.因为，故， 因此三点共线，均在直线上，易知轴，因此，证明， 即证明直线与直线关于对称，即证. 当直线的斜率为0时，点与点重合，不存在，不符题意，故可设直线，， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得：. ， ， 而， ，得证. （2）或 【17题答案】 【答案】（1） （2）当时，平面和平面所成角的正弦值为 【18题答案】 【答案】（1） （2） (2)（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列， 所以，， 从而和的平均数都是． 因此，， 同理可得， 由于 ， 所以 （ii），答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明： 由为增函数，知，所以 设，，其中 （i）由为增函数，知，所以 法1：则 依题意，有，且， 两式相减，得 令，则，且，解得，， 所以 记，则， 令，求导得， 故单调递减，故，所以在上单调递增， 故，所以式成立，从而式成立，所以 （ii）证明： 若，，则 因为，故只需证明 由（i）知，只需证，即要证 记，则 因为，所以，所以 所以，故在上单调递增， 所以，所以式成立，所以 法2：（i）由题意，，， 两式作差得，， 即 又，且， 则， 所以 下证：，即证：，即证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $