专题8 利用三角函数测高 2026年中考数学复习

专题8 利用三角函数测高 一、单选题 1．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．21米 D．42米 2．在中，，则（     ） A．30 B．40 C． D．20 3．一个地图上标准比例尺是1∶300000，图上有一条形区域，其面积约为24 cm2  ， 则这块区域的实际面积约为（ ）平方千米. A．2160 B．216 C．72 D．10.72 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　） A． B． C． D． 5．在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,b=8,则c=(　　) A．10 B．25 C．6 D．50 6．如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将（  ） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 7．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ） A．9m B．6m C． D． 二、填空题 8．如图，在△ABC中、∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．若AB＝10，AC＝6，BC＝8，则CD的长为 ． 9．如图，平面直角坐标系xOy中，∠AOB=60°，AO=BO，点B在x轴的正半轴上，点P是x轴正半轴上一动点，连接AP，以AP为边长，在AP的右侧作等边△APQ．设点P的横坐标为x，点Q的纵坐标为y，则y与x的函数关系式是 ． 10．如图，梯形的上底是6.5厘米，下底是16厘米．三角形甲的面积与三角形乙面积的最简比是( )． 11．如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30 m至D处时测得楼顶A的仰角为30°, 则大厦AB的高度是 . 12．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．（结果保留根号） 13．如图：的顶点、的坐标分别是，，，，函数的图像经过点，则的值为 ． 三、解答题 14．如图，两建筑物的水平距离为,从点测得点的俯角为，测得点的俯角为,求这两个建筑物的高度．(结果保留整数) 15．图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 5米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 16．如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D B B A C B 1．A 【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决． 【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）. 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 2．D 【分析】先解直角三角形，求出各边长，再求面积即可． 【详解】∵， ∴设， ∵， ∴， 即：， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是根据角的正切值求出边长． 3．B 【详解】试题分析：设实际面积约为x平方千米，再根据比例尺及相似图形的性质即可列方程求解. 设实际面积约为x平方千米，由题意得 解得 故选B. 考点：比例尺，相似图形的性质 点评：比例尺的问题是中考常见题，一般难度不大，学生只需正确理解比例尺的定义即可. 4．B 【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果． 【详解】解：根据题意作图如下： 由题意知：AB=m，∠A=， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键． 5．A 【分析】根据正弦值找到a、c之间的关系，然后利用勾股定理求出用含有x的式子表示的b值，根据已知b值求出x后，即可解答． 【详解】sinA==a：c， 设a=3x，则c=5x， 由勾股定理知，b==4x=8， ∴x=2，c=10． 故选A． 【点睛】本题利用了设适当的参数后，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解的． 6．C 【详解】试题分析：如果人用力的方向总是竖直向上，先确定动力臂和阻力臂的关系，再根据杠杆的平衡条件得出动力的大小变化情况． 若动力总是竖直向上，则△OAA’∽△OBB’， 所以为定值，即动力臂和阻力臂的比值为定值， 因为阻力（钢管重）不变，根据F×OB=G×OA可得：动力F保持不变． 故选C． 考点：杠杆平衡条件的应用 点评：本题把物理知识与数学知识结合应用，体现了学科渗透的特点，很有新意，难度不大. 7．B 【详解】试题分析：由题意，可得，解得m，所以m，故本题选B． 考点：锐角三角形函数的应用；坡比 8．4.8． 【分析】利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴ ∴6×8=10CD， ∴CD=4.8. 故答案为4.8． 【点睛】本题考查直角三角形的面积公式（其面积=×两直角边的积=×斜边×斜边上的高）． 9．yx(x＞0)． 【分析】先求证△AOB是等边三角形，并作出辅助线证得△OAP≌△BAQ，得出OP=BQ=x，∠AOP=∠ABQ=60°，进一步求得∠QBH=60°，根据QH=y，HQ=QB•sin60°，得出yx(x＞0). 【详解】连接BQ，过点Q作QH⊥x轴于H． ∵AO=BO，∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO=AB，∠OAB=60°． ∵△PAQ是等边三角形， ∴AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴∠OAB=∠PAQ， ∴∠OAP=∠BAQ， ∴△OAP≌△BAQ(SAS)， ∴OP=BQ=x，∠AOP=∠ABQ=60°． ∵∠ABO=60°， ∴∠QBH=180°﹣60°﹣60°=60°． ∵QH=y，HQ=QB•sin60°， ∴yx(x＞0)． 故答案为：yx(x＞0)． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建求得是解题的关键. 10．32:13 【详解】根据图形可知，三角形甲与三角形乙的高相同，根据高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质可得，它们的面积之比就等于它们的底的比，所以三角形甲的面积与三角形乙的面积的比为：16：6.5=32：13． 点睛：本题主要考查了三角形的高一样时，面积的比就等于三角形底的比. 11．15 【分析】分别在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用解直角三角形用AB表示出BC、BD的长，列方程即可解答. 【详解】在Rt△ACB中，∠ACB=60° ∵tan∠ACB= 即tan60°== ∴BC= 在Rt△ABD中，∠ADB=30° ∵tan∠ADB= 即tan30°== ∴BD= ∵CD=30 ∴-=30 AB=15 故答案为15 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，解题关键是在直角三角形中利用三角函数表示出所需线段的长. 12．40 【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出的距离． 【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中， ∵PA＝80，∠PAC＝30°， ∴PC＝40海里， 在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°， ∴PB＝40海里， 故答案为40． 【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应当引起注意，是经常的考题模式． 13． 【分析】过点作轴于，如图，先利用勾股定理得到，再利用等腰三角形的性质可得，再判断为等腰直角三角形得到，则可计算出，所以，然后利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出的值． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点的坐标代入得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数（为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横坐标的积是定值，即．也考查了反比例函数的性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质．理解和掌握反比例函数的性质和图像上点的坐标特征是解题的关键． 14．两建筑物的高度分别约为36米、15米 【分析】先延长CD交过点A的水平线于点E，则AE=BC，根据∠β=45°求出∠BAC的度数，由BC=36m即可求出AB的高度，由∠α=30°利用锐角三角函数的定义即可求出DE，进而可求出CD的高． 【详解】延长CD交过点A的水平线于点E，则AE=BC=36， 在Rt△ACE中，tanβ=， ∴CE=AE×tan45°=AE×1=AE=36(米) ∴AB=CE=36(米)， 在Rt△ADE中，tanα=， ∴DE=AE×tan30°=36×=， 则CD=CE-DE=36-≈15． 即两建筑物的高度分别约为36米、15米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的含义是解题关键． 15． 【分析】如图，延长交于，设 利用锐角三角函数表示，再表示，再利用锐角三角函数列方程求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意得： 设 由 由 经检验：符合题意， “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为 【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 16．6.4米 【分析】延长，交于点，则，解，求出的长，解，求出的长，进而求出的长． 【详解】延长，交于点，则， 由题意：，，米，米， 由于四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∵， ∴， ∴(米)． 答：显示屏的高度约为米． 【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数知识解直角三角形，构造合适的直角三角形求出相应的线段是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $