专题复习：反比例函数 2026年中考数学

专题复习：反比例函数 一、单选题 1．反比例函数的图象位于（   ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．若点关于轴的对称点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D． 4．如图，P是反比例函数y＝的图象上一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为(　　) A． B． C． D． 5．已知点在反比例函数的图象上，其中（m为实数），则这个函数的图象在第（ ）象限． A．一 B．二 C．一、三 D．二、四 6．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D． 7．已知反比例函数（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx－2的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 8．如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，以为斜边作等腰直角三角形，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．长方体的体积为103 m3，底面积为S，高度为d，则S与d之间的函数关系式为 ；当S＝500时，d＝ . 10．在函数中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的有 个． 11．已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 12．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 13．如果一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是 ． 14．调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）． 售价（元/双） 销售量（双） 已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为 元． 三、解答题 15．你能举出两个反比例函数的实例吗？写出函数表达式，并与同伴交流． 16．如图，平面直角坐标系中矩形的一边在x轴上，B点的坐标为．双曲线交于点P，交于点Q． （1）若P为边的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标； （2）若双曲线和线段有公共点，求k的取值范围； （3）连接，当存在时，是否总成立?若成立请证明，若不成立，请说明理由． 17．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为毫克，已知服药后，小时前每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比例，小时后与成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题． (1)求当时，与的函数关系式； (2)求当时，与的函数关系式； (3)若每毫升血液中的含药量不低于毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A C C D D 1．B 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数中，当时，图象在第一、第三象限；当时，图象在第二、第四象限，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， 反比例函数的图象位于第一、第三象限， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 根据k＝4＞0可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，，在第一象限， ∴ ， 故选：B． 3．D 【分析】根据对称性求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数可求出k的值． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴点， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称的坐标变化，反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解决问题的关键． 4．A 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：由反比例函数图象可得：，则， 又反比例函数图象位于二、四象限，， ∴， 因此，该反比例函数的表达式为． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 5．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，先配方即可得到a的范围，进而可得出，从而可以判断函数的图象所在的象限． 【详解】解：∵， 又∵点在反比例函数的图象上 ∴， ∴这个反比例函数的图象在一、三象限， 故选∶C 6．C 【分析】依次可证明△OFE和△AFD为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得DF的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值． 【详解】解：∵，，x轴⊥y轴， ∴OE=OF=1，∠FOE=90°，∠OEF=∠OFE=45°， ∴， ∴， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=90°， ∵轴， ∴∠DFE=∠OEF=45°， ∴∠ADF=45°，， ∴ ∴D(4，1)， ∴，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的性质．能依据已知点的坐标，得出△OFE是等腰直角三角形是解题关键． 7．D 【分析】由反比例函数的图象的分别确定＜再确定一次函数y＝kx-2的图象经过的象限即可得到答案． 【详解】∵反比例函数y（k≠0）的图象分布在二，四象限， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx-2的图象经过二，三，四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与性质，掌握一次函数与反比例函数的图象与k、b的关系是解题的关键． 8．D 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，连接，作轴于D，轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设A点坐标为，得出得出，，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式． 【详解】解：如图，连接，作轴于D，轴于E， ∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设A点坐标为，得出，， ∴C点坐标为， ∵， ∴点C在比例函数图象上． 故选：D． 9． S＝ 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高，即可求解． 【详解】解：∵长方体的体积＝底面积×高，即V＝Sd， ∴S＝， 当S＝500时，代入S＝中得，d＝2， 故答案是：S＝；． 【点睛】此题主要考查了函数的定义，长方体体积公式． 10．2 【分析】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解． 【详解】解：在函数中，其图象是中心对称图形且对称中心是原点的是．共有2个， 故答案为：2． 11．y= 【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)， ∴A′(2，m)， ∵点A′在正比例函数的图象上， ∴m=×2， 解得：m=1， ∴A(−2，1)， 设这个反比例函数的表达式为y=， ∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上， ∴k=-2×1=-2， ∴这个反比例函数的表达式为y=， 故答案为：y=． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值． 12． 【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知． 【详解】解：∵OA=OB，ON=OM， ∴四边形AMBN是平行四边形， ∵S四边形AMBN＝1， ∴S△ABM＝， 设点A的坐标为（x，y）， ∴B的坐标为（−x，−y）， ∴×2x×y＝， ∴xy＝， ∴k＝xy＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键． 13．y= 【分析】先根据公共点的横纵坐标满足正比例函数的解析式，即可求出公共点的坐标，再运用待定系数法代入反比例函数，即可求解． 【详解】将x=1代入y=2x，得y=2， ∴点A（1，2）， 设反比例函数解析式为y= ， ∵一个反比例函数图象与正比例函数y=2x图象有一个公共点A（1，2）， ∴2=． 解得，k=2， 即反比例函数解析式为y= ， 故答案是：y=． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数，解题的关键是求出公共点的坐标． 14．300 【分析】先利用待定系数法求出，再根据“利润（售价进价）销量”建立方程，然后解方程即可得． 【详解】由题意，设， 将代入得：，解得， 则， 设要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，其售价应定为元， 则， 整理得：， 解得， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：300． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式、正确求出售价与销量之间的反比例函数关系式是解题关键． 15．；（x＞0） 【分析】此题是开放性试题，可先写出一个式子，然后再赋予它实际意义．如行程问题，电流问题，压强等问题． 【详解】解：甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地．汽车到达乙地所用的时间t（小时）与汽车速度v（千米/小时）之间的函数关系式为． 要编织一块面积为2平方米的矩形地毯，地毯的长x（米）与宽y（米）之间的函数关系式为（x＞0）． 【点睛】主要考查了反比例函数的应用．要充分理解反比例函数的意义，知道生活中一些常用的公式，如电流，压强，速度等，知道它们与各个量之间的关系． 16．（1），；（2）＜；（3）成立，证明见解析． 【分析】（1）由中点坐标公式先求解的坐标，可得反比例函数解析式，再求解的纵坐标即可； （2）反比例函数的k=xy，由线段BC上的点的纵坐标为3，可得： 再根据的范围求解的范围即可得； （3）分别先表示的坐标，再求解 再证明：再证明：利用相似三角形的性质，可得结论． 【详解】解：（1） P为边BC的中点，， P（2，3），， 函数表达式为． 由图可知点Q的横坐标为4， 把x=4代入， 解得：， 则； （2） 线段BC上的点的纵坐标为3， 由双曲线(x＞0)和线段BC有公共点，即y的值恒为3， 当x值取最大值为4时，可得k最大值为12， 又反比例函数的图像在第一象限， ＞ 则k取值范围为0＜k≤12； （3）成立；理由如下： 点P、Q都是在反比例函数上， 由，可得：； ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，反比例函数的图像与性质，三角形相似的判定与性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 17．(1) (2) (3)小时 【分析】（1）根据图像经过点，利用待定系数法求正比例函数解形式； （2）根据图像经过点，利用待定系数法求反比例函数解形式； （3）根据两函数解析式求出函数值是小时的自变量的值，即可求出有效时间． 【详解】（1）解：根据图像，正比例函数图像经过点， 设函数解析式为， ∴，解得， ∴当时，与的函数关系式为． （2）解：根据图像，正比例函数图像经过点， 设函数解析式为， ∴，解得， ∴当时，与的函数关系式为． （3）解：当时， ，解得， ，解得， ∵（小时）， ∴服药一次，治疗疾病的有效时间是小时． 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用，考查了图像的识别能力和待定系数法求函数解析式．解题的关键是建立两个函数的关系式，当函数值相等时，分别求出自变量的值并作差． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $