第3章 勾股定理 期末复习训练题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理 一、单选题 1．若一个三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（   ） A． B． C． D． 3．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，点D在的延长线上，且，连接，E为中点，则的长是（   ） A． B． C． D．2 5．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点为边的中点，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图是一个人字梯及其侧面示意图，其中梯子撑开后最高点A距地面的高度为120厘米，两侧梯子的长度为130厘米，则此时梯子底端B、C的距离为（   ） A．50厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米 二、填空题 8．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 9．如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 10．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为 ． 11．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在上，若点P是的一个动点，则面积的最大值是 ． 12．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、2，则正方形D的面积为 ． 13．如图，在中，，，．为射线上一点，把沿折叠，点落在直线上的点处，则的长为 ． 三、解答题 14．如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 15．如图，在中，，垂足为点D，，，．求的面积． 16．如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 17．如图，是等腰直角三角形，，D是的中点，，点E，F在，上． (1)求证：． (2)连结，则之间有什么数量关系？请说明理由． 18．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 19．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判定求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵一个三角形的三边满足， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 2．C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 此时所需彩带的长度最短， ∴； 故选C． 3．C 【分析】根据题意，画出图形，连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，可得CE=BD=8m，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，如下图：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E， 根据题意得：AB=8m，CD=2m，BD=8m，AB⊥BD，CD⊥BD， 则四边形BDCE是矩形， ∴CE=BD=8m， 在中，由勾股定理得： ， 即小鸟至少飞行10m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 4．B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先勾股定理求出，，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】∵中，，， ∴ ∵ ∴ ∵E为中点 ∴． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用等腰三角形三线合一的性质得出，再通过勾股定理求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：∵ 厘米，， ∴ ． 在中，厘米，厘米， ∴ （厘米）． ∴ 厘米． 故选：C． 8．25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 9．13 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高15，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，H分别是，的中点， ∵底面周长是10， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为13． 故答案为：13． 10．9 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键在于正确将正方形面积与勾股定理建立联系． 三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理建立字母所代表的正方形的面积之间的关系． 【详解】解：由题意可知，直角三角形各边长的平方为该边所在正方形的面积， 设长直角边的平方为，短直角边的平方为16，斜边的平方为25， 根据勾股定理有，， 即A所代表的正方形的面积为9． 故答案为：9． 11． 【分析】连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，先求出OA的长，从而求出EF的长，再推出当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大，据此求解即可． 【详解】解：连接AC，确定弧AB所在圆的圆心O的位置，过点O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E， 由图可知， ∴， ∴， ∵要使△APB的面积最大，即点P到AB的距离要最大， ∴当点P运动到点E的位置时，三角形APB的面积最大， ∴此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形面积，正确确定出圆心位置是解题的位置． 12．16 【分析】本题主要考查了勾股定理，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键．设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x，由两个空白三角形均为直角三角形及勾股定理得，再代入数值即可求解． 【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x， ∵两个空白三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、2， ∴， 即正方形D的面积为16． 故答案为：16． 13．5或20 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，解题关键是正确识别图形，注意利用分类讨论的数学思想解决问题． 分两种情况进行讨论：①当点在线段上时；②当点在射线上时，分别画出图形，设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：①当点在线段上时，如图1所示： 设， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 在中，， ， 解得：； ②当点在射线上时，如图2所示： 由折叠可知：， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， ∴的长为5或20． 故答案为：5或20． 14．(1)30 (2)24 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据勾股定理得出，再求出结果即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 的周长为． （2）解：由（1）知， ， ， 是直角三角形，， ． 15．84 【分析】本题考查了勾股定理，在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，判定是直角三角形是关键； （1）由，设，由勾股定理的逆定理即可证明． （2）由（1）的结论及周长条件可求得x的值，从而求得的长；由条件求得，利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）证明：， 设． ． ． 是直角三角形； （2）解：由（1）可知． 根据题意得， 解得． ． 当运动了3秒时，． 的面积． 17．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． （1）连接，，由，得，由D是的中点，得，则，所以，可证明，得； （2）由全等三角形的性质得，则，因为，所以． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， 理由：， ， ， ， ， ． 18．(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 19．(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $