3.3勾股定理的简单应用同步练习题2025-2026学年苏科版八年级数学上册

3.3 勾股定理的简单应用 同步练习题 一、单选题 1．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（   ） A．35 B．40 C．50 D．45 3．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 4．如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 5．如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段 AB的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 8．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 10．如图，中，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 12．如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 13．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 14．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ． 15．如图，在三角形纸片中，，如果在边上取一点，以为折痕，使三点共线（是对称点），那么的周长为 ．    三、解答题 16．放风筝是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，小刚同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为，然后测得他与风筝的水平距离为，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小刚想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少？ 17．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． (2)在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． (3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 18．如图是王大爷承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，王大爷打算从靠近河岸的边上引一条水渠，使得点到点、、三处距离相等，请你帮他用无刻度的直尺和圆规作出这条水渠，并计算这条水渠的长度为______． 19．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 20．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.3 勾股定理的简单应用 同步练习题2025-2026学年苏科版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C C D D B C D 1．D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 3．C 【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长． 根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴旗杆的高． 故选C． 4．C 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： 则， ∴ 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∴, ∵ ∴ 即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 6．D 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，结合勾股定理逐一画图计算后判定即可． 【详解】解：A．如图，，故本选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．如图，，该选项不符合题意； D．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 8．B 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分两种情况：当点在点左边时和当点在点右边时，分别画出图形，利用折叠的性质和勾股定理解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在点左边时，如图所示， 由折叠可得，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当点在点右边时，如图所示， 由折叠可得，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上，或， 故选：． 11．/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 12．/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 15．12 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题，利用折叠的性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设 由折叠可得：，，，再利用勾股定理建立方程，求出的长，结合，得到即可求的周长． 【详解】在三角形纸片中，， 设， 由折叠可得：，，， ∴ 解得：， ∴，， 则的周长． 故答案为：12． 16．(1)风筝的垂直高度为 (2)他应该往回收线 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：如下图： 由题意得：，, ，， ， ， 即：风筝的垂直高度为； （2）解：如下图所示，设风筝沿方向下降至点M，连接， ， ， ， 即：他应该往回收线． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理可得长为4、宽为1的长方形的对角线长为，长为3、宽为2的长方形的对角线长为，选择合适的矩形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可； （3）观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可证这个三角形是直角三角形； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接长为4、宽为1的长方形的对角线为线段，长为3、宽为2的长方形的对角线长为线段； （2）如图，依次连接长为4、宽为3的矩形的对角线，长为2、宽为1的矩形的对角线长和长为4、宽为2的矩形的对角线； （3）∵， ∴这个三角形是直角三角形． 18．(1) (2)详见解析， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据三角形的面积公式即可得到结论． （2）作线段的垂直平分线，垂足为，连接即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ∴， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形田地的面积为： ． （2）如图，线段即为所求，， 故答案为：． 19．(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解． （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 20．(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $