3.3勾股定理的简单应用（第2课时）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

3.3 勾股定理的简单应用 第2课时 第三章 勾股定理 学 习 目 标 2 能运用勾股定理及其逆定理进行代数推理，理解如何用代数方法证明几何结论． 能运用勾股定理及其逆定理进行相关的计算． 1 问题引入 在跳远比赛中，裁判员怎样测量跳远成绩？为什么这样测量？ 直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短． A 典例分析 例1 证明： 直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短． 分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？ 条件 结论 2. 依据命题条件,怎么画出能体现这些条件的图形？ ① ② ③ A l ∟ Q Q P 3. 当Q移动时，△PAQ始终是什么三角形？ 4. 在直角三角形中，三边满足什么关系？ 怎样比较两边的长短？ 典例分析 例1 证明： 直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短． 证明：∵PA⊥l， ∴△APQ为直角三角形. 根据勾股定理，得 PQ2＝PA2＋AQ²． ∵AQ＞0， ∴PQ2＝PA2＋AQ²＞PA2． ∴PA＜PQ． 已知：如图，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，Q为直线l上不同于点A的任意一点． 求证：PA＜PQ． A l ∟ Q P 典例分析 例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD＝h，AD＝m，DB＝n．求证：h2＝mn. ∟ C A B D ∟ h m n 分析：1. h，m，n在哪些直角三角形中？ 三边满足什么关系？ 2. AC，BC又在哪个三角形中？之间有什么关系？ 证明：在Rt△ADC中，根据勾股定理，得 AC2＝h2＋m2． 在Rt△DBC中，根据勾股定理，得 BC²＝h2＋n2． 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB²． ∵AB＝m＋n， ∴h2＋m2＋h2＋n2＝(m＋n)². 2h2＋m2＋n2＝m2＋n2＋2mn. ∴h2＝mn. 典例分析 例2 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，设CD＝h，AD＝m，DB＝n．求证：h2＝mn. ∟ C A B D ∟ h m n 探究思考 如图，在数轴上点B表示，点C表示……你能在数轴上画出表示的点吗？试写出a99的值． a1 1 1 1 1 1 1 a2 a3 a4 a5 0 A －1 C D B A5 A4 A3 A2 A1 E 解：如图所示，在数 轴上的点E表示． 由图中的规律可知， a99＝＝10． 新知巩固 1. 长度分别为，，的三条线段能构成一个三角形吗？ 如果可以，判断这个三角形的形状． 解：∵≈1.73，≈2.24，≈2.83， ∴＋＞， ∴ 这三条线段能构成一个三角形. ∵()2＋()2＝3＋5＝8，()2＝8， ∴()2＋()2＝()2， ∴这个三角形是直角三角形． 根据边长如何 判断三角形形状？ 勾股定理的逆定理 解：如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴AB＝a，BD＝BC＝a， 由等腰三角形三线合一得AD⊥BC， ∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2＝AB²－BD2＝a²－2＝a²， ∴AD＝． 新知巩固 2. 求边长为a的等边三角形的一条中线的长． C A B D 新知巩固 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．以AB为一边作正方形ABDE，与△ABC位于AB的同侧，图中阴影部分的面积是多少？ C A B D E ∟ 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2＝AC²＋BC2＝2²＋42＝20， ∴S正方形ABDE＝AB2＝20， S△ABC＝×AC×BC＝×2×4＝4， ∴S阴影＝S正方形ABDE－S△ABC＝20－4＝16． 求出平方即可. 思维提升 例3 如图，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由． 解：由图形可得以AB，BC为直径的两个半圆的面积之和 等于以AC为直径的半圆的面积．理由如下： 设以 BC，AB，AC为直径的半圆面积分别为S1，S2，S3． 则S1＋S2＝π＋π＝BC2＋AB2＝(BC2＋AB2)， S3＝π＝AC2． ∵ BC2＋AB2 ＝AC2 ， ∴ S1＋S2＝S3． 知识链接 勾股图中的面积关系: 以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三角形，如图，它们都形成了简单的勾股图. 对于这些勾股图，它们都具有相同的结论，即S3＝S1＋S2. 与直角三角形三边相连的图形还可以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立. 课堂小结 勾股定理的简单应用 勾股定理 解决实际问题 用代数方法证明几何结论 勾股定理的逆定理 判断是否是直角三角形 感谢聆听！ $$