第12讲 平面向量新定义（思维导图+考情分析+解题策略+题型归纳）-2026年高考数学二轮复习平面向量（新高考通用）

第12讲 平面向量新定义专题训练 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 题型归纳 3 一．定义新运算 3 二：定义新概念新图形 4 三：现代应用 6 四：数学文化 9 这类题是高考数学的创新题型，常以选择、填空题形式出现，侧重考查学生对向量基础的掌握和逻辑推理能力，以下是具体分析： 1. 命题特点：一是形式新颖多元，常自定义新运算（如“⊗”“⊕”）、新概念（如调和分割、旋转向量），还会结合向量的模、夹角等核心知识，二是跨知识融合，常与平面几何、代数推理结合，部分题还会关联三角函数等内容，以此提升题目综合性；三是难度定位中等，分值多为5分，既不超纲，又能区分学生的知识灵活运用能力。 2. 核心考查方向：一方面考查新定义转化能力，要求考生快速拆解新定义的本质，把陌生规则转化为向量的加减、数量积等熟悉运算；另一方面考查几何与代数互化能力，比如将旋转类新定义向量转化为坐标运算，或是通过向量模的几何意义简化新运算求解过程；同时还会隐性考查逻辑判断能力，像多选题中对新运算性质的正误判断。 3. 高考命题趋势：近年新高考卷和各省市模拟卷中，这类题出现频率逐渐升高，命题更偏向情境化，比如结合点的旋转、线段分割等场景定义新规则。此外，命题还趋向灵活化，不再局限于单一运算定义，会增加对性质推导、充要条件判断等内容的考查，比如判断新运算是否满足交换律、结合律。 4. 常见解题策略：首先精读定义，标注新运算的适用条件（如向量是否共线的不同规则）；其次巧用工具，优先用坐标法或基底法转化运算，把新定义转化为代数等式；最后验证结论，尤其是多选题，可通过特殊值代入（如取零向量、单位向量）快速排除错误选项。 结合高考要求和平面向量新定义问题的核心考查点，学习目标可分为基础、进阶、应试三个层级，具体如下： 一、基础目标：吃透定义本质，打通转化链路 1. 能快速识别新定义的核心要素（如运算规则、新概念的约束条件、与传统向量知识的关联点），明确新定义的适用范围（如是否针对所有向量、是否有特殊向量例外）； 2. 熟练将新定义转化为已学的向量语言（如把自定义运算转化为向量的数量积、模长、线性运算，把新概念转化为向量的位置关系、夹角关系等）； 3. 掌握向量的基础工具（坐标法、基底法）在新定义场景中的应用前提，能根据新定义特点选择合适的转化工具。 二、进阶目标：强化逻辑推理，提升综合应用 1. 能基于新定义推导相关性质（如判断新运算是否满足交换律、结合律，新概念对应的向量几何特征），具备从特殊到一般的推理能力； 2. 实现跨知识融合应用，能结合平面几何（如三角形、四边形性质）、三角函数（如夹角计算）、代数推理（如方程求解）解决新定义问题； 3. 形成“定义拆解→工具选择→运算验证→结论输出”的解题思维链，能独立分析复杂新定义情境（如多层嵌套的新运算、结合实际场景的新规则）。 三、应试目标：精准高效解题，规避常见误区 1. 能在3-5分钟内完成一道新定义选择/填空题，熟练运用特殊值法、排除法等应试技巧快速缩小答案范围； 2. 精准规避常见错误（如忽略新定义的约束条件、坐标转化时计算失误、混淆新运算与传统运算的区别）； 3. 针对多选题、探究型新定义题，能规范推导过程，确保结论的严谨性（如通过反例排除错误选项、通过严格证明确认正确结论）。 核心落脚点 最终实现“以不变应万变”——无论新定义形式如何创新，都能依托向量的核心知识（模、数量积、线性运算、坐标表示）完成转化与求解，同时适配高考的时间要求和得分标准。 一．定义新运算 1．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ） （参考数据：，．） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 2．已知集合且且，O为坐标原点，当时，定义：，若，则“存在使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ） （参考数据：，．） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 4. （多选）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（    ） A．对任意的，有 B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立 C．若与垂直，则与共线 D．若与共线，则与的模相等 5．围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有个交叉点，从上往下、从左往右数，第m行第n列的交叉点记为，例如，第3行第2列的交叉点记为．在所有的中，不同数值的个数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 6．对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是 . 7.定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为 ． 二：定义新概念新图形 1．若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为（ ） A． B． C． D． 2.（多选）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（    ）． A． B． C． D． 3．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则： ① ②； ③ ④ (1)设，为虚数单位，求，，； (2)设是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立； ②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数. 4.设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合． (1)若，写出一个向量，使得． (2)令．若，证明：为偶数． (3)若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例． 5.定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 6．对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，． (1)若，求及； (2)证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使； (3)已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值． 7．定义向量列从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)即，且，其中为常向量，则称这个向量列为等差向量列．这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列的前项和．已知等差向量列满足，，则向量列的前项和 ． 三：现代应用 1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2，若点P在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（    ）． A． B． C． D． 3．如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．设Z为线段AK上任意一点，则的取值范围是 4．共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献､建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，当取到最大值时，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C． D． 5．中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（    ）    A． B． C． D． 7．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 9.“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，则______． 四：数学文化 1.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 2.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（ ） A． B． C． D． 3.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，，是的角平分线，交于，满足若为的费马点，则（ ） A． B． C． D． 4．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（ ） A．平面截勒洛四面体所得截面的面积为 B．记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧，则其长度为 C．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4 D．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 5．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 6．（多选）黄金分割是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，其比值为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（ ） A．若椭圆的焦点在轴上，上顶点为，右顶点为，左焦点为．小欧提出只要满足，椭圆的离心率就等于 B．一顶角等于的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于 C．假设，小莱发现若公比大于0的等比数列与著名的斐波那契数列的递推公式相同，则数列的公比等于 D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离与柱高满足，则 7.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ） A． B． C． D． 8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有满足“勾3股4弦5”，其中，，点是延长线上的一点，则=（ ） A．3 B．4 C．9 D．不能确定 9.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A． B． C． D． 10.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 11.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点（不含端点），且满足勾股定理.则（ ） A． B． C． D． 12.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ） A． B． C． D． 13.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设，则＋＝ A． B．2 C． D．＋1 14.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 15.伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形中，是线段上的点，，，则（ ）. A．3 B．6 C．9 D．12 14.伟大的法国数学家笛卡儿创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形中，，，，是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，若，，则（ ） A． B． C． D． 16.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（ ） A． B． C． D． 17（多选）.数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点､､分别是的外心､重心､垂心，且为的中点，则（ ） A． B． C． D． 18.（多选）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A． B． C． D． 19.（多选）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理设中，点O、H、G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论错误的是（ ） A． B． C．设BC边中点为D，则有 D． 20．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 21．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设，则＋＝ A． B．2 C． D．＋1 22．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（    ） A．﹣1 B． C． D． 23．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，，是的角平分线，交于，满足若为的费马点，则（    ） A． B． C． D． 24.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______. 25.早在两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》中，就提出了宛田(扇形面积)的计算方法:“以径乘周，四而一.” (直径与弧长乘积的四分之一).已知扇形的弧长为面积为设，则实数等于__________． 26.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______. 27.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为______. 28.根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______. 29.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________. 30．十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则 . 31.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.设点O为的费马点，且满足，则边a的最小值为 . 32.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 33．根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则 .    34．赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知． (1)证明：F为AD的中点； (2)求向量与夹角的余弦值． 35．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 36．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求实数的最小值． 37.数学中有很多相似的问题， 材料一：十七世纪法国数学家，被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，他的答案是：“当三角形的三个内角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点”，在费马问题中所求的点称为费马点. 材料二：布洛卡点，也叫“勃罗卡点”，定义为：已知内一点满足，则称为的布洛卡点，为的布洛卡角，1875年，三角形的这一特殊点，被一个数学爱好者——法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. (1)求； (2)若为的费马点，且，求的值； (3)若为锐角三角形，为的布洛卡点，为的布洛卡角，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 平面向量新定义专题训练 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 题型归纳 3 一．定义新运算 3 二：定义新概念新图形 9 三：现代应用 17 四：数学文化 25 这类题是高考数学的创新题型，常以选择、填空题形式出现，侧重考查学生对向量基础的掌握和逻辑推理能力，以下是具体分析： 1. 命题特点：一是形式新颖多元，常自定义新运算（如“⊗”“⊕”）、新概念（如调和分割、旋转向量），还会结合向量的模、夹角等核心知识，二是跨知识融合，常与平面几何、代数推理结合，部分题还会关联三角函数等内容，以此提升题目综合性；三是难度定位中等，分值多为5分，既不超纲，又能区分学生的知识灵活运用能力。 2. 核心考查方向：一方面考查新定义转化能力，要求考生快速拆解新定义的本质，把陌生规则转化为向量的加减、数量积等熟悉运算；另一方面考查几何与代数互化能力，比如将旋转类新定义向量转化为坐标运算，或是通过向量模的几何意义简化新运算求解过程；同时还会隐性考查逻辑判断能力，像多选题中对新运算性质的正误判断。 3. 高考命题趋势：近年新高考卷和各省市模拟卷中，这类题出现频率逐渐升高，命题更偏向情境化，比如结合点的旋转、线段分割等场景定义新规则。此外，命题还趋向灵活化，不再局限于单一运算定义，会增加对性质推导、充要条件判断等内容的考查，比如判断新运算是否满足交换律、结合律。 4. 常见解题策略：首先精读定义，标注新运算的适用条件（如向量是否共线的不同规则）；其次巧用工具，优先用坐标法或基底法转化运算，把新定义转化为代数等式；最后验证结论，尤其是多选题，可通过特殊值代入（如取零向量、单位向量）快速排除错误选项。 结合高考要求和平面向量新定义问题的核心考查点，学习目标可分为基础、进阶、应试三个层级，具体如下： 一、基础目标：吃透定义本质，打通转化链路 1. 能快速识别新定义的核心要素（如运算规则、新概念的约束条件、与传统向量知识的关联点），明确新定义的适用范围（如是否针对所有向量、是否有特殊向量例外）； 2. 熟练将新定义转化为已学的向量语言（如把自定义运算转化为向量的数量积、模长、线性运算，把新概念转化为向量的位置关系、夹角关系等）； 3. 掌握向量的基础工具（坐标法、基底法）在新定义场景中的应用前提，能根据新定义特点选择合适的转化工具。 二、进阶目标：强化逻辑推理，提升综合应用 1. 能基于新定义推导相关性质（如判断新运算是否满足交换律、结合律，新概念对应的向量几何特征），具备从特殊到一般的推理能力； 2. 实现跨知识融合应用，能结合平面几何（如三角形、四边形性质）、三角函数（如夹角计算）、代数推理（如方程求解）解决新定义问题； 3. 形成“定义拆解→工具选择→运算验证→结论输出”的解题思维链，能独立分析复杂新定义情境（如多层嵌套的新运算、结合实际场景的新规则）。 三、应试目标：精准高效解题，规避常见误区 1. 能在3-5分钟内完成一道新定义选择/填空题，熟练运用特殊值法、排除法等应试技巧快速缩小答案范围； 2. 精准规避常见错误（如忽略新定义的约束条件、坐标转化时计算失误、混淆新运算与传统运算的区别）； 3. 针对多选题、探究型新定义题，能规范推导过程，确保结论的严谨性（如通过反例排除错误选项、通过严格证明确认正确结论）。 核心落脚点 最终实现“以不变应万变”——无论新定义形式如何创新，都能依托向量的核心知识（模、数量积、线性运算、坐标表示）完成转化与求解，同时适配高考的时间要求和得分标准。 一．定义新运算 1．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ） （参考数据：，．） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【解析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故选：B.    【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 2．已知集合且且，O为坐标原点，当时，定义：，若，则“存在使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由存在使得 ，根据绝对值的运算性质有：，同理对纵坐标也如此运算可证得充分性成立；必要性可举例说明不成立. 充分性：若存在，使， 即， 则， 故. 故充分性成立； 必要性：取， 则， 则，但是， 所以，则不共线， 所以必要性不成立. 故选：A. 3.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ） （参考数据：，．） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故选：B.    【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 4. （多选）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（    ） A．对任意的，有 B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立 C．若与垂直，则与共线 D．若与共线，则与的模相等 【答案】AD 【分析】由表示出和，即可判断A；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即方程组 ，对任意恒成立，解方程可判断B；若与垂直，则，设，分别表示出与即可判断C；若与共线，则，设，分别表示出与即可判断D. 【详解】设向量，，对于A，对任意的，有 ，故A正确； 对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程组 ，对任意恒成立，而此方程组无解，故B不正确； 对于C，若与垂直，则，设，则， ，其中，故C不正确； 对于D，若与共线，则，设， ， ，所以与的模相等，故D正确. 故选：AD. 【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 5．围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有个交叉点，从上往下、从左往右数，第m行第n列的交叉点记为，例如，第3行第2列的交叉点记为．在所有的中，不同数值的个数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【解析】如图，以围棋棋盘所在的平面建立平面直角坐标系，并使最下一行恰好在直线上，最左一列恰好在直线上. 则的坐标对应坐标系中的点，的坐标对应坐标系中的点，点的坐标对应坐标系中的点. 所以，， 所以，. 因为，且，所以有19个不同数值，也有19个不同数值， 所以，也有19个不同数值.故选：C. 6．对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】利用给定定义结合向量夹角的运算性质求解即可. 设向量与的夹角为，由题意可知则 因为 所以 因为所以 因为是整数，所以所以 而即所以 因为 所以即 故的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查向量新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后求出最后得到所要求的取值范围即可． 7.定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】讨论、且、且或2或3，根据的定义及向量数量积的运算律，分别求最小值，即可得结果. 【详解】当且时，； 当且、时，则，当且仅当时等号成立； 同理且、或且、时，的最小值也为； 当时，则， 由，设，则， 所以，当时等号成立. 综上，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，注意中向量不同的排列情况下对应的表达式，结合向量数量积运算律和几何关系求最值. 二：定义新概念新图形 1．若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若，由正弦定理得：，设，，，由“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，得到，，，列方程推导出这样的四面体不存在，从而一定不是完美的四面体． 【详解】若，由正弦定理可得，，设，因为“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，，把该四面体顶点当成长方体的四个顶点，四条棱当作长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为，设长方体棱长为，则，以上方程组无解，即这样的四面体不存在， 四个侧面不全等，故一定不是完美的四面体， 对于A，三角形显然是锐角三角形，可以构成完美四面体， 对于C，由余弦值的比值得到正弦值比值，按着B选项的过程可知可以构成完美四面体. 对于D，由正切值的比值得到正弦值比值，按着B选项的过程可知可以构成完美四面体. 故选：B. 2.（多选）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答. 【详解】设，，，则C为线段AB上一点， 因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：            A                                B            C                                D 观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义， 再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域. 3．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则： ① ②； ③ ④ (1)设，为虚数单位，求，，； (2)设是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立； ②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数. 【答案】 【解析】（1）因为，所以， （2）①设，则， 由复数的三角不等式得， 由，得，所以， 所以， 综上所知，对于复向量，成立. ②由①中复数的三角不等式等号成立的条件知， 当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得 ，即 故复向量与平行，有， 根据中等号成立的条件， 应有，即，所以， 结合，得，解得； 所以，所以. 4.设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合． (1)若，写出一个向量，使得． (2)令．若，证明：为偶数． (3)若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 (3)，答案见解析. 【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可； （2）根据，结合定义，求出，即可得证； （3）利用反证法求证. 【详解】（1）由定义，只需满足，不妨取（答案不唯一）． （2）对于，，2，，，存在，，，，使得． 当时，；当时，．令，． 所以． 所以为偶数． （3）当时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即． 不妨取，，，， 则有，，，，，． 若存在，使，则或或． 当时，； 当时，； 当时，， 故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交． 5.定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用伴随函数的定义、辅助角公式及三角函数的性质计算即可； （2）利用源向量的定义可先确定，结合正三角形的性质，平面向量数量积的运算律计算即可； （3）先根据源向量的定义确定，利用余弦定理及三角形的特征、基本不等式得，再根据平面向量数量积与模的关系化简得，根据二次函数的单调性计算取值范围即可. 【详解】（1）根据定义可知向量的“伴随函数” ， 因为，所以，所以； （2）因为函数， 所以其“源向量”，显然， 即M轨迹为单位圆， 结合正三角形的性质可知，， 所以 是定值，证毕； （3）因为函数的“源向量”为，所以， 又， 所以， 由余弦定理可知， 所以，当且仅当时取得等号， 而其中一边可以无限接近于0，所以， 根据平面向量数量积公式知， 而 ， 由上知， 根据二次函数的单调性可知， 即的取值范围 【点睛】思路点睛：第二问利用平面向量数量积的运算律结合正三角形及其内切圆的性质计算即可；第三问先利用余弦定理计算的范围，利用平面向量数量积与模长关系化简问题式，再利用二次函数性质及基本不等式计算取值范围即可 6．对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，． (1)若，求及； (2)证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使； (3)已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值． 【答案】505 【解析】（1）因为，，，所以. （2）设， 假设对，则均不为0． 所以．即．因为， 所以．所以． 与矛盾，故假设不正确． 综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使． （3）设，因为， 所以有或． 当时，可得三式相加得． 又，可得． 当时，也可得，于是． 设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为这三个数， 所以．当时，的三个分量为， 则的三个分量为的三个分量为， 所以．所以，由，可得． 因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2． 所以的三个分量只能是三个数，的三个分量只能是三个数． 所以当时，；当时，．所以的最小值为505． 7．定义向量列从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)即，且，其中为常向量，则称这个向量列为等差向量列．这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列的前项和．已知等差向量列满足，，则向量列的前项和 ． 【答案】(，） 【解析】因向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列的性质在等差向量列里而也适用， 由等差数列的等差中项的性质知，解得， 则等差向量列的公差为， 由等差数列的通项公式可得等差向量列的通项， 由等差数列的前项和公式，可得等差向量列的前项和. 三：现代应用 1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2，若点P在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即与在向量方向上的投影的积．由图2知，点在直线上的射影是中点，由于，圆弧直径是2，半径为1， 所以向量方向上的投影的最大值是2，最小值是－2， 因此的最大值是，最小值是，因此其取值范围为， 故选：D． 2．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，建立以、为一组基底的基向量， 其中且、的夹角为60°，∴，， ∴.故选：B． 3．如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．设Z为线段AK上任意一点，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系. A选项：易知，，，，所以，， 则，所以，所以A正确. B选项：易知，，，， ，，所以，，， 所以，得，解得，，所以，所以B错误. C选项：由选项A，B知，则， ，，所以C错误. D选项：易知，，设，则，， 所以.因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值40.所以的取值范围是，所以D正确. 故选：AD. 4．共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献､建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，当取到最大值时，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C． D． 【答案】BD 【解析】解：延长，交线段于点；设，则，，， 则， 故当时，有最大值为，故A错误，B正确； 当时，，则， 又，， ，，；故C错误，D正确．故选：BD． 5．中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等于在上的投影向量与的数量积，因此当在上的投影向量与同向， 且投影向量的模最大时，取到最大值，此时点B在以点C为半圆弧端点且在AC上方的半圆上， 以大正方形的相邻两边分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，， 则直线的方程为，以点C为半圆弧端点且在AC上方的半圆圆心为， 半圆的方程为， 显然半圆在点处切线垂直于直线时，取得最大值， 设切线的方程为，于是，而点M在切线的左上方，解得， 即切线：，由解得， 因此切线与直线的交点，此时，又， 所以的最大值为.故选：C 6．下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以， 由已知可得，，， 所以，，， 所以.故选：B.    7．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得. 因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以， 又， 则，所以， 两式相加可得，化简可得， 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值. 8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，    以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以.故选：C. 19.“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，则______． 【答案】0 【解析】根据椭圆标准方程及几何性质，即可求得关系，由的坐标，可得，进而结合平面向量数量积的坐标运算得解. 设椭圆的标准方程为， 则，则 ， 所以， 由平面向量数量积的坐标运算可得 ， 故答案为：0. 【点睛】本题考查了椭圆几何性质的简单应用，离心率公式的简单应用，平面向量数量积的坐标运算，属于中档题. 四：数学文化 1.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，过点作于点，根据题中条件，得到，，再由平面向量的线性运算，即可得出结果. 设，由题意，可得，在中，可得， 过点作于点，则，且， 所以， 所以，， 因此. 故选：A. 2.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量等式的含义以及向量的运算，分别说明为的外心、垂心、重心、内心，继而根据欧拉线定理可得结论． 【详解】由题意知，即为的外心； ，则为的重心； ， 即有， 即，同理，即为的垂心； 由解析题中向量式中有两共起点的向量， 于是，， 令， 则是以为起点，向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量， 即在的平分线上, 共线, 所以点的轨迹一定通过的内心, 由欧拉线定理知，欧拉线一定过. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，充分理解三角形心的向量表示，从而得解. 3.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，，是的角平分线，交于，满足若为的费马点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用角平分线的性质及等面积法及数量积即可求解. 【详解】在中，， 由是的角平分线，交于， 设到两边的距离为， 则， 故. 已知的三个内角均小于，则点与的三个顶点的连线两两成角， 所以.， 所以， 所以 . 故选：D. 4．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（ ） A．平面截勒洛四面体所得截面的面积为 B．记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧，则其长度为 C．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4 D．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 【答案】AD 【分析】对于A，平面截勒洛四面体所得截面面积为三个半径为4，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为4的正三角形的面积；对于B，求出弧所对的中心角，根据弧长公式求得结果进行判断；对于C，设弧的中点是，线段的中点是，设弧的中点是，线段的中点是，则根据图形的对称性，四点共线，计算即可判断；对于D，设点为该球与勒洛四面体的一个切点，先求出正四面的外接球半径，则内切球半径为. 【详解】对于A，平面截勒洛四面体所得截面如图甲，它的面积为三个半径为4，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为4的正三角形的面积； 即，故A正确； 对于B，如图乙，取中点，在中，，，记该勒洛四面体上以，为球心的两球交线为弧，则该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧， 设圆心角为，则，可知， 所以弧长不等于，故B错误； 对于C，如图丙，设弧的中点是，线段的中点是，设弧的中点是，线段的中点是，则根据图形的对称性，四点共线且过正四面体的中心，则，，，，即勒洛四面体表面上任意两点间距离可能大于4，最大值为，故C错误； 对于D，勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图乙，其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，由对称性可知为该球的球心，内半径为，连接，易知三点共线，设正四面体的外接球半径为， 如图丁，则由题意得：正四面体的高，，， 则，解得：，所以，，内半径，故D正确. 故选：AD. 【点睛】几何体的内切球半径求法点睛： 1.棱锥的内切球半径求法：设棱锥的体积V，S为几何体的表面积，内切球半径为r，则； 2.根据几何体的结构特征，确定球心，再结合所给已知条件列方程求得内切球半径. 5．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 【答案】ACD 【分析】对A，由奔驰定理即可判断； 对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求； 对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得； 对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得， 结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得， 如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求 【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对； 对B，，由得，故，B错； 对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对； 对D，若O为△ABC的垂心，则，， 又， 同理，∴， ∵，则， 且 如图，分别为垂足， 设，，则， 又，故， 由，解得， 由，故，D对故选：ACD 6．（多选）黄金分割是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，其比值为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（ ） A．若椭圆的焦点在轴上，上顶点为，右顶点为，左焦点为．小欧提出只要满足，椭圆的离心率就等于 B．一顶角等于的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于 C．假设，小莱发现若公比大于0的等比数列与著名的斐波那契数列的递推公式相同，则数列的公比等于 D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离与柱高满足，则 【答案】ABD 【分析】选项A，将条件中数量积用坐标表示，整理方程可得；选项B，分别用正余弦定理得到边长与腰长的方程，联立方程组可得；选项C，由等比数列性质，在两边同除以可得公比的方程；选项D，结合对数性质，借助连等式设法，找到的等量关系即可. 【详解】对选项A，设椭圆的方程为， 则，，， 由，得， 即，即，可得，故A正确； 对选项，设该三角形底边长为，腰长为， 由正弦定理得，即①； 又由余弦定理得②， ①②两式联立得，即， 由于，，故，故B正确； 对选项C，设数列的公比为，，则， 由题意得，，两边同除以整理得， ，解得，故C错误； 对选项D，设， 则，，，由， 得，即， 则，且，解得，故D正确． 故选：ABD． 7.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再根据向量数量积公式转化，并计算的值. 由题意可知，所以根据等面积转化可知，解得： ，. 故选：A 【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型. 8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有满足“勾3股4弦5”，其中，，点是延长线上的一点，则=（ ） A．3 B．4 C．9 D．不能确定 【答案】C 【解析】根据满足“勾3股4弦5”可得，再利用平面向量的线性运算以及两个垂直向量的数量积为0，可求得结果. 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理，考查了平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积为0，属于基础题. 9.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系，设，根据，得，解得，再根据得到解之即得解. 由题意建立如图所示的直角坐标系， 因为，，则，，. 设，则，， 因为，所以， 解得， 由，得， 所以 解得， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可. 由题意建立如图所示直角坐标系 因为，，则，，，，，设，因为，所以，解得.由，得，所以解得 所以， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 11.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点（不含端点），且满足勾股定理.则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先由等面积得，利用向量几何意义求解即可 由等面积法可得，依题意可得，，则在上的投影为，所以. 故选：D 【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题 12.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解． 解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合， 为的外心，，即为斜边的中点， 又为中点，， 为中点， ． 故选：． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 13.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设，则＋＝ A． B．2 C． D．＋1 【答案】C 【解析】本题主要是根据黄金分割点写出定比分点，然后在△ABC中，将作为基底向量表示，根据系数一致可得出x1，x2，y1，y2的值，即可得出结果． 由题意， ， 同理， 所以x1＝y2＝，x2＝y1＝. 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查黄金分割点的知识，定比分点的向量形式，以及向量的数乘和线性运算．本题有一定的综合性，属中档题． 14.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设设，则，即为点到和三个点的距离之和，再由费马点的性质求出点P的坐标，从而可得结果 设， 则， 即为点到和三个点的距离之和，则为等腰直角三角形，由费马点的性质可知点P满足时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小， 因为，，所以P的坐标为 所以距离之和最小为， 故选：D． 【点睛】此题考查向量的加减运算，考查向量的模的运算，考查转化思想和计算能力，属于基础题 15.伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形中，是线段上的点，，，则（ ）. A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】以、为一组基底，表示出，再根据向量的数量积的定义及运算律计算可得；解：在正三角形中，是线段上的点，，，所以 所以 故选：B 14.伟大的法国数学家笛卡儿创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形中，，，，是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过作于，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可. 过作于，故， 因为，， 故，则 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题. 16.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先设，根据题意可知，求出的长，延长交于，求出的长，再由平面向量基本定理即可得出结果. 设，因此，又由题意可得， 所以， 因此； 延长交于， 记，， 则，所以； 又由题意易知，则， 在三角形中，由正弦定理可得， 即，因此， ， 所以， 因为，所以，即， 整理得， 所以. 故选D. 【点睛】本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 17（多选）.数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点､､分别是的外心､重心､垂心，且为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A；由可得，利用向量的线性运算，再结合集合判断选项B；利用故选项C不正确，利用外心的性质可判断选项D，即可得正确选项. 因为是的重心，是的外心，是的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以， 对于选项A：因为是的重心，为的中点，所以， 又因为，所以，即，故选项A正确； 对于选项B：因为是的重心，为的中点，所以， ，因为，所以， ，即，故选项B正确； 对于选项C：，故选项C不正确； 对于选项D：设点是的外心，所以点到三个顶点距离相等，即，故选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件得，利用向量的线性运算结合可得出向量间的关系. 18.（多选）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据欧拉线定理、外心､垂心和重心的性质以及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案. 如图：根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，取的中点为，则，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，显然不正确. 故选：ABC 19.（多选）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理设中，点O、H、G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论错误的是（ ） A． B． C．设BC边中点为D，则有 D． 【答案】CD 【解析】利用相似和重心的性质可以判断选项A正确；利用重心的性质和平面向量的运算可以判断选项B正确；利用相似和重心的性质可以判断选项C错误；利用外心的性质和向量相等的概念可以判断选项D错误. 如图， A.由题得,OD⊥BC,AH⊥BC,所以OD||AH,所以,所以该选项正确； B.所以，所以该选项正确； C.∵D为BC中点，G为的重心， ∴，，， ∴， ∴，故C选项错误； D.向量，，的模相等，方向不同，故D选项错误. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，考查三角形的外心、重心和垂心，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量等式的含义以及向量的运算，分别说明为的外心、垂心、重心、内心，继而根据欧拉线定理可得结论． 由题意知，即为的外心； ，则为的重心； ， 即有， 即，同理，即为的垂心； 由解析题中向量式中有两共起点的向量， 于是，， 令， 则是以为起点，向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量， 即在的平分线上, 共线, 所以点的轨迹一定通过的内心, 由欧拉线定理知，欧拉线一定过. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，充分理解三角形心的向量表示，从而得解. 21．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设，则＋＝ A． B．2 C． D．＋1 【答案】C 【解析】由题意， ， 同理， 所以x1＝y2＝，x2＝y1＝.所以.故选：C 22．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（    ） A．﹣1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在中，，， 所以由余弦定理可得， 由正弦定理可得，即， 又B为锐角，所以， 设，则， 即，解得，即， 所以，则， 又， 则为锐角，由于，故，所以的三个内角均小于， 则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角； 所以 ， 所以， 所以 ，故选：C． 23．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，，是的角平分线，交于，满足若为的费马点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】应用角平分线的性质及等面积法及数量积即可求解. 在中，， 由是的角平分线，交于， 设到两边的距离为， 则， 故. 已知的三个内角均小于，则点与的三个顶点的连线两两成角， 所以.， 所以， 所以 . 故选：D.    24.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______. 【答案】 【解析】先求出向量和夹角的余弦值，再由公式即得. 如图，过点作的平行线交于点，那么向量和夹角为，，，，，且是直角三角形，，同理得，，. 故答案为： 【点睛】本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量和的夹角. 25.早在两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》中，就提出了宛田(扇形面积)的计算方法:“以径乘周，四而一.” (直径与弧长乘积的四分之一).已知扇形的弧长为面积为设，则实数等于__________． 【答案】 【解析】先利用扇形的面积公式及弧长公式求出半径和圆心角，再利用向量数量的运算求出和，进而可得实数的值. 解：如图 由扇形面积公式可得，得， 所以扇形圆心角，则为等边三角形，则， 又， 所以，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查本题考查扇形的面积公式及弧长公式的应用，考查向量模的运算，是基础题. 26.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______. 【答案】 【解析】先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可. 由等面积法可得，依题意可得，， 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题. 27.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为______. 【答案】 【解析】建立直角坐标系，由可求出的坐标，然后根据建立方程组求解即可. 由题意建立如图所示的直角坐标系， 因为，，则，，. 设，则，， 因为，所以，解得， 由，得， 所以，解得，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查的是向量在坐标形式下的运算，考查了学生的计算能力，属于基础题 28.根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______. 【答案】 【解析】若，解得，得到，不符合题意；若，解得，求得，进而求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 由已知可得显然， 若，则，解得， 此时，与矛盾，不符合题意； 若，则，解得，此时，符合. 所以，，，，，所以， 所以 . 【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法： （1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决； （2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解. 29.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________. 【答案】 【解析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果. 设，则 如图 由题可知：， 由 所以，则 所以， 又 所以 所以 即 所以 又 所以 所以 故答案为： 【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题. 30．十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则 . 【答案】- 【解析】由于，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则.    31.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.设点O为的费马点，且满足，则边a的最小值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式和正弦定理可得是以的直角三角形，再利用平面向量数量积定义和等面积可得，再由基本不等式即可得. 【详解】由可得， 即得. 由正弦定理可得，即为直角三角形，. 由费马定义可得， 设，，， 显然, 即， 可得， 又由可得， ， 得， 因此 由可得， 当且仅当时，等号成立. 即边的最小值为， 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用费马点定义及数量积运算得出等量关系，再由基本不等式可得结果. 32.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得. 【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以， 又， 则，所以， 两式相加可得，化简可得， 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值. 33．根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则 .    【答案】 【解析】由已知可得显然， 若，则，解得， 此时，与矛盾，不符合题意； 若，则，解得，此时，符合. 所以，，，，，所以， 所以 . 34．赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知． (1)证明：F为AD的中点； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】 【解析】（1）证明：因为，所以由正弦定理得． 又因为，所以， 所以，即E为CF的中点，所以F为AD的中点. （2）设，， 所以，则， 所以． 又， 所以向量与夹角的余弦值为． 35．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1），， ，， 又，，，,， （2），，又， ，设，，，，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得，又， ，， ． （3）由 ，，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得，又， 所以，由于, 所以又故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立，又，所以 ，令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而 36．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】. 【解析】（1）由已知中，即， 故，由正弦定理可得，故直角三角形，即. （2）由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则. （3）点为的费马点，则， 设，则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 37.数学中有很多相似的问题， 材料一：十七世纪法国数学家，被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，他的答案是：“当三角形的三个内角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点”，在费马问题中所求的点称为费马点. 材料二：布洛卡点，也叫“勃罗卡点”，定义为：已知内一点满足，则称为的布洛卡点，为的布洛卡角，1875年，三角形的这一特殊点，被一个数学爱好者——法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. (1)求； (2)若为的费马点，且，求的值； (3)若为锐角三角形，为的布洛卡点，为的布洛卡角，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简和正弦定理计算即可求解； （2）由（1），根据余弦定理计算可得，设，由费马点的定义和三角形的面积公式，结合平面向量数量积的定义计算即可求解； （3）由余弦定理和三角形面积公式可得；设，由布洛卡点的定义、余弦定理和三角形面积公式可得，即可证明. 【详解】（1）， ， ，由正弦定理得 ，又， ，即，又， 所以； （2）由（1）知，由余弦定理得， 所以，又， 所以. 设，由知的三个角均小于， 所以，又， 所以，得， 所以； （3）在中，由余弦定理和三角形面积公式得 ， ， ， 三式相加得①； 设， 在中，，得， 在中，，得， 在中，，得， 所以， 即，即②， 由①②得，即证. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角恒等变换与解三角形的相关知识. 1 学科网（北京）股份有限公司 $