第11讲 高考数学平面向量压轴题（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习平面向量（新高考通用）

该高中数学高考复习资料聚焦平面向量选填压轴题，系统覆盖数量积、模长、基本定理等核心考点，按13种题型分层归纳，通过考点分析、解题策略指导、真题精讲及变式训练，帮助学生构建从基础到综合的解题框架，突破转化与最值难点。 资料以“形化”“数化”双视角创新教学，如用等和线定理解决系数范围问题，极化恒等式简化数量积运算，培养数学思维与几何直观。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破高频考点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第11讲 高考数学平面向量选填压轴题精选 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：平面向量基本定理及其应用 5 题型02：投影向量问题 8 题型03： 等和线问题 13 题型04：极化恒等式 22 题型05：平面向量范围与最值问题 31 一 ：与向量的模有关的最值问题 41 二 ：与向量夹角有关的范围问题 44 三：与向量投影有关的最值问题 46 四：与平面向量数量积有关的最值问题 48 题型06：向量与不等式结合 53 题型07：向量与四心 57 题型08：向量与奔驰定理 62 题型09：向量与三角换元 67 题型10：向量与解析几何结合 73 题型11：向量与实际模型 79 题型12：向量与数列结合 86 题型13：向量新定义问题 92 巩固提升 97 平面向量选择填空压轴题在高考中常作为区分高分段考生的题型，以下从考查特征、核心考点及解题思路三方面展开分析，具体如下： 1. 考查特征：这类题型综合性极强，很少单独考查单一知识点，多以平面图形为载体，融合平面几何、三角函数、不等式等内容。它的难度集中在“转化”环节，且侧重对最值、范围问题的考查，以此检验学生的数形结合与逻辑推理能力，是拉开分数差距的关键题型。 2. 核心考点：一是向量的数量积与模长，这是高频考点，常结合夹角、垂直条件出题，还可通过极化恒等式转化计算；二是平面向量基本定理，涉及向量分解的系数最值，常和等和线定理搭配求解；三是共线定理应用，多隐藏在三角形、四边形等图形中，用于求解参数值或范围；四是综合拓展类，比如向量与圆结合求动点相关的最值，或是与三角函数结合转化为函数值域问题。 3. 常用解题思路：主要分“形化”和“数化”两类。“形化”是借助向量几何意义，将问题转化为图形中的距离、夹角等问题，比如把向量模长转化为圆上点到定点的距离；“数化”则是通过建系转化为坐标运算，把向量关系变成函数或不等式，再用基本不等式、二次函数最值等知识求解。另外，基底法也是常用技巧，选取合适基底可简化复杂向量表达式，降低运算难度。 结合高考平面向量选择填空压轴题的考查特点，制定以下分层学习目标，确保精准突破难点： 一、基础能力目标 1. 熟练掌握平面向量核心概念与公式：能精准复述向量的模长、数量积、夹角、共线/垂直的判定条件，以及平面向量基本定理、极化恒等式、等和线定理的适用场景，做到公式“零混淆”。 2. 具备基础转化能力：能将向量语言快速转化为几何语言或代数语言（“坐标运算式”），实现不同表征形式的灵活切换。 二、核心解题目标 1. 掌握两大核心方法： ◦ 数形结合法：能根据向量问题中的图形特征（三角形、四边形、圆等），结合向量几何意义（模长为距离、数量积为投影乘积），将抽象问题直观化，快速定位最值/范围的几何本质； ◦ 坐标化法：能合理建立平面直角坐标系，将向量运算转化为代数运算（函数、方程、不等式），并熟练用二次函数、基本不等式、三角函数值域等知识求解最值。 2. 突破高频题型：能独立解决“向量模长/数量积的最值/范围”“向量分解的系数问题”“向量与圆/三角函数/平面几何综合问题”，做到解题步骤清晰、运算无失误。 三、综合素养目标 1. 形成题型归类能力：能快速识别压轴题的题型特征（如“基底法适用题型”“等和线适用题型”），并匹配对应解题策略，缩短审题时间； 2. 具备逆向思维与验证意识：解题后能通过几何直观或特殊值法验证结果合理性，避免因代数运算错误导致失分； 3. 提升综合应用能力：能将向量知识与平面几何、三角函数、不等式等模块无缝衔接，解决跨知识点综合问题，适应高考压轴题的综合性要求。 四、应试目标 1. 限时解题能力：面对向量压轴题，能在3-5分钟内完成审题、方法选择、运算求解，确保答题效率； 2. 满分突破能力：针对压轴题的易错点（如基底选择不当、坐标建系不合理、最值条件遗漏），做到“零失误”，实现该类题型的满分目标。 结合高考平面向量选择填空压轴题的核心考点与考查特征，梳理以下针对性解题策略，覆盖方法选择、题型突破、避坑技巧，助力高效解题： 一、核心方法选择策略：先“形”后“数”，灵活切换 1. 优先用“数形结合法”（几何视角） 2. 再用“坐标化法”（代数视角） 3. 基底法（中间视角） 二、避坑与验证策略 1. 易错点规避： ◦ 数量积运算中忽略夹角范围，导致符号错误； ◦ 建系时坐标设定错误（如遗漏点的位置关系），增加计算量； ◦ 等和线定理应用时，混淆“同向”与“反向”等和线的系数符号。 2. 结果验证： ◦ 几何验证：用特殊位置（如端点、中点）检验最值是否合理； ◦ 代数验证：代入特殊值验证数量积/模长的计算结果； ◦ 维度验证：确保模长为非负数、数量积符号与夹角一致（锐角为正，钝角为负）。 三、应试提速策略 1. 审题时标记关键信息：圈出“最值/范围”“共线/垂直”“向量分解”等关键词，快速匹配方法； 2. 熟记常用结论：如极化恒等式、向量垂直的充要条件，减少推导时间； 3. 特殊值法辅助：对于选择题，可代入特殊点（如原点、中点）排除错误选项，提高正确率。 题型01：平面向量基本定理及其应用 平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有： （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 【典型例题】在中，，，，是内一点，，且的面积是的面积的倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 过作于，于， ，， 因为，所以，即， 因为，所以为等腰三角形， 又，所以为中点，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，所以，所以，， 由图形可知，，则，， 所以 . 故选：. 【变式训练1-1】如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【变式训练1-2】如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】过点作于，令，由，得， ，由分别为的中点，得，， 所以. 故选：B 【变式训练1-3】（多选题）如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，故A正确，B错误； 因为， 所以 ，故C错误，D正确. 故选：AD. 【典例1-2】（2024·四川绵阳·三模）在半径为的中，弦的长度为，则的值为（    ） A． B． C． D．与有关 【答案】B 【解析】 取线段AB的中点D，得，所以. 所以. 故选：B 题型02：投影向量问题 【典型例题】已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C ①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值. 【解析】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误； 设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以 ，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确. 故选：C 【变式训练2-1】已知是坐标原点，点，且点是圆：上的一点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围是 . 【答案】 【分析】设直线的斜率为，倾斜角为，的倾斜角为，可表示，再根据投影向量的模的概念可得解. 【详解】设直线倾斜角为，的倾斜角为， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 由圆：，即， 所以圆心，半径， 又点在圆上， 所以点到直线的距离，解得，即， 当直线的斜率不存在时，方程为与圆相切，成立，此时， 综上，， 则， 所以，即 所以， 即， 又 所以向量在向量上的投影向量的模为， 故答案为：. 8. （2023·天津·二模）在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 【答案】 / 【分析】根据投影向量的定义求出，即可求出，以点为原点，建立平面直角坐标系，在上取，使得，在上取点使得，求出点关于直线的对称点的坐标，再结合图象即可得解. 【详解】由向量在向量上的投影向量为， 得向量在向量上的投影向量的模为， 所以， 又因角为锐角，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则， 在上取，使得，则， 在上取点使得， 则， 直线的方程为，设点关于直线的对称点， 则，解得，所以， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：以点为原点，建立平面直角坐标系，在上取，使得，在上取点使得，求出点关于直线的对称点的坐标，则是解决本题的关键. 【变式训练2-2】已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 【答案】 【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值. 【分析】因为为在方向上的投影向量，且与的夹角为锐角， 所以，故． 因为，且， 所以．设， 则， 故．又． 设与的夹角为，所以． 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以 ，即， 故．又，所以． 故与的夹角的最大值是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【变式训练2-3】已知平面向量的夹角为，满足．平面向量在上的投影之和为2，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设向量，的单位方向向量，用所设的单位向量作为基底，表示出已知条件，进而表示出，继而求得答案. 【详解】设与 方向相同的单位向量是 ，且 ， 设与 方向相同的单位向量是 ，且 ， 又. 注意到. ， ， ∵， ∴ 设 (1)与(2)联立得： (7) (3)与(4)联立得： (8) 将(8)代入(5)中得：， ∴，与联立得：， 对应，故, 故答案为： 题型03： 等和线问题、 1、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求, 如图: 设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于, 过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,所以,当Q在BC的下方时, ; 当Q在BC上时,,当Q在BC的上方时,, 根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大， 所以：x+y的最大值为：．故选：C． 【变式训练3-1】已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与重合的一点，设，若存在最大值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系，由的坐标以及求得，根据三角函数最大值的知识列不等式，从而求得的取值范围. 依题意可知三角形是等边三角形，以为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则，设，由于， 所以，所以，解得， 所以， 其中，由于， 要使有最大值，则存在，则，所以， .故选：A 【变式训练3-2】在中，点G满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是___． 【答案】（﹣2，0） 【解析】由，得，结合条件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出实数λ的取值范围，由此可计算出m﹣n的取值范围． 由，可得，所以，，则m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，由于mn＞0，则（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得， ∵λ＞0，所以，，m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0）， 故答案为（﹣2，0） 【变式训练3-3】已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设、、、的面积分别为，，，，记，，，则取最大值时，的值为 . 【答案】 【解析】由题设条件得到，进而求得，结合基本不等式，求得，得出点为的中点，进而求得取最大值时，的值. 由题意，、、、的面积分别为，，，， 记，，，所以， 以为点是的中位线上任意一点，且, 所以， 所以，当且仅当时取等号，此时点为的中点， 因为实数满足， 又由，可得，所以. 故答案为：. 【变式训练3-4】在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上移动，设，则最大值是 . 【答案】4 【解析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围． 解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系： 所以，，，，所以，， 因为圆与直线相切，而，圆心，所以半径，所以圆：， 设,则，，又 所以，则，所以 所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍， 因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点， 则圆心到的距离为解得:，则 所以，则最大值是4.故答案为：4． 【变式训练3-5】在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值. 在中，设，，， ，即，即，， ，，，，， ，即，又，， ，则，所以，，解得，. 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 为线段上的一点，则存在实数使得， ， 设，，则，，， ，，消去得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A. 【变式训练3-6】已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设, 由共线定理可知点在线段上，设，则 ，根据投影的计算方法，结合三角恒等变换公式，推出 ，可将原问题转化为求的最大值，再利用等面积法，进一步将问题转化为求的最小值，然后结合余弦定理和基本不等式，得解.   设，则， 由，知，即，所以， 因为，所以点在线段上，设，则， 所以 故原问题转化为求的最大值，在中，由余弦定理知， ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，因为，所以，即， 所以，即，即， 所以.故答案为： 【变式训练3-7】在中，，点O满足，若，其中，动点P的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积. 【详解】根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为， 以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示： 根据题意，可得坐标如下：， 设点的坐标为，由可得：， 故可得.则点坐标为.设点的坐标为，由， 由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是： 以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界. 故可得， 故可得,则. 则以为一组邻边的平行四边形的面积 .故选：. 【变式训练3-8】如图，在中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，O是线段P一点，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F，设，． (1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据图形用表示，再用表示，由三点共线即可求解. （2）用表示，再由三点共线的等式关系，再结合基本不等式即可求解. （1）因为为线段上靠近点的三等分点， 所以， 设，即，， 所以， 又因为，， 所以，， 所以， 即， 又因为三点共线，则，解得， 所以，所以. （2）由（1）可知，， 而，， 所以， 又因为点为线段的中点， 所以,即， 又由三点共线， 所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 【变式训练3-9】已知四边形ABCD，为边BC边上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项 .    【答案】 【解析】由结合共线向量定理的推论可得，则可求得，再由可得，从而得，则得，然后利用分组求和法可求得结果. 因为，所以， 因为三点共线，所以，所以， 因为，所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，因为，所以， 所以，因为， 所以因为，所以， 所以， 故答案为： 题型04：极化恒等式 极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题1】如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 【变式训练4-1】青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 . 【答案】 【解析】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，； （ii）； 当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值； 六边形为正六边形，为正三角形，； 作，则为中点，； ，即的取值范围为. 故答案为：；. 【变式训练4-2】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一；依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 方法二：极化恒等式 记AB的中点为M，连接CM，则 由极化恒等式可得： 即 故选：D 【变式训练4-3】如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故选：B 【变式训练4-4】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 【变式训练4-5】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 故答案为：C为顶角的等腰三角形． 【变式训练4-6】在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】利用图形将转化成，代入即得，根据的面积为4得，利用进行放缩，由即得最小值. 如图，分别过点，作于，于，取中点,连接. 易得，因，， 则， 故① 又的面积为4，因 点E，F分别是线段的中点，易得, 故的面积,即得，由图知，, 则由①可得：,当且仅当且时等号成立， 即的最小值是4. 故选：C. 【变式训练4-7】已知平面向，，，，，若，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意由各向量间的夹角以及模长，画出图形利用圆心角和圆周角的关系并由向量数量积定义可得结果. 如下图所示： 令，，， 由余弦定理得，， 因为，所以， 则C点在圆E的优弧AB上运动，可得圆心角， 其中，，，， 则，所以， 所以 故选：B． 【变式训练4-8】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 方法二：极化恒等式 解：取的中点,连接,取的中点,连接, 由是边长为2的等边三角形,为中线的中点, 则： 所以. 故选：． 【变式训练4-9】如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 故选：C． 题型05：平面向量范围与最值问题 【典型例题1】已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知是两个单位向量，且， 则， 则，则， 设分别是轴与轴正方向上的单位向量， 则，，， 设，则， 因为， 所以， 故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 圆心到原点的距离为， ． 故选：B． 【典型例题2】已知，，且、不共线，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式，可得答案. 【详解】设与的夹角为，由，则， 由，则. 故选：B. 【典型例题3】（多选）已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】设，设，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得及的最值，可得答案. 【详解】由，可得，又，是椭圆上两个不同点, 可得，设，则， 设,O为坐标原点，可得，, 可得，且， 所以，，又， 可得两点均在圆的圆上，且， 设的中点为，则, 根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和， 设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为， 则， 可得的最大值为，的最小值为； 可得，可得的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 同理，为点两点到直线的距离之和， 设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为， 则，， 可得，可得的最大值为，最小值为，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得. 【典型例题4】已知五个点，满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可. 【详解】因为， 所以，，， 由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值. 【变式训练5-1】设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为 .（参考数据：） 【答案】5 【分析】由题意确定P点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及时不符合题意，说明时满足题意，即可得答案. 【详解】由题意知点P满足，则P点在以为直径的圆上， 当时，设为的中点，如图，   ， 当共线且方向时，即三点共线时，取最小值， 此时，则， 则，故时，不满足题意； 当时，设为的中点，如图，     ，当共线且反向时，取最小值， 此时共线，， ， 则， 则当共线且同向时，必有， 故时，存在点P满足，且； 当时，如图，正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高，依此类推，    故此时不存在点P满足，且； 故n的最小值为5， 故答案为：5 【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点在于要分类讨论正n边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况. 【变式训练5-2】已知平面向量满足，且．则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 2 30 【分析】先求出模长的范围，由题设得，通过向量的线性运算得和取得最小值1，最大值15，即可求解. 【详解】由题意知：， 又，可得，则； 显然当，且时，取得最小值0； 当，且方向相反时，取得最小值1； 又由上知，则的最小值取不到0， 又因为当，方向相同，与方向相反时，， 此时，同时取得最小值1，故的最小值为， 只要方向相反，即可满足； 显然当，且方向相同时，取得最大值15； 当，且方向相同时，取得最大值20； 又由上知，则的最大值取不到20， 又当时，由三角形法则知，必然存在使得， 此时，同时取得最大值15， 故的最大值为， 只要方向相反，即可满足. 故答案为：2；30. 【变式训练5-3】（多选）若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值. 【详解】当向量方向相同，与方向相反时，满足， 此时有最小值，A选项错误； 当向量方向相同时，满足， 此时有最大值，B选项正确； ，有，即，则， 向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误； 向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确. 故选：BD 【变式训练5-4】正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹为均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离最大值即可. 【详解】已知正三棱锥，则，且， 由化简得， 由化简得. 设，代入，， 分别化简得，且， 故点在以为直径的球面上，半径； 点在以为直径的球面上，半径 分别取线段、的中点、， 则， 故. 故答案为：4 【点睛】将向量的代数关系转化为动态的几何表达，借助几何意义求解动点间的距离最值是解决本类题型的关键所在. 【变式训练5-5】已知中，，，，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知可得到的距离为2，为等腰直角三角形，若为的两个四等分点，为中点，在线段上运动，且，数形结合求的取值范围. 【详解】由，结合向量加法法则知：到的距离为2， 又，则，所以，故为等腰直角三角形， 由，则，所以共线， 又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，    所以在线段上运动，且，，， 由图：若，则，又，此时， 故上述情况 ，易知， 由图知：与重合时，， 综上，的取值范围为. 故选：D 【变式训练5-6】已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系,设出相关向量,通过分析位置,寻求临界值. 【详解】设. 如图,不妨设. 设为AB的中点,为OC的中点,为BD的中点,为AD的中点. 则. ,点在平行四边形内(含边界). 由题知恒成立. 为了使最大,则思考为钝角,即思考点在第一或第四象限. 思考临界值即与重合,与重合,且GM不能充当直角三角形斜边,否则可以改变的位置，使得 所以,即 即,即. 所以. 所以 所以向量与夹角的最大值的余弦值为 故选:A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用已知条件转化出所在的位置. 【变式训练5-7】如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设，由正弦定理得，记为角， 所以，，， 所以 ， 若不是钝角，则 ， 又，所以，即， 所以， 设，则，，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， ， 时，，递减，时，递增， 所以时，，， 综上，， 此时． 故答案为：3． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便） 一 ：与向量的模有关的最值问题 【典型例题】如图，在等腰三角形中，已知，分别是上的点，且，（其中，），且，若线段的中点分别为，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的数量积公式求出，连接，利用向量加法的运算法则得出，再根据平面向量减法运算法则以及平面向量的数量积的运算法则可得,结合二次函数的性质可得的最小值，进而可得结果. 【详解】 连接，等腰三角形中,， , 是的中线,  同理,可得,  由此可得， ,可得,  代入上式得， , 当时, 的最小值为, 此时的最小值为,故答案为. 【变式训练5-1-1】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】 ，得到，所以， 结合的面积为，得到,得到， 所以， 故选D． 【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且. 【变式训练5-1-2】已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】把表示为的函数，利用函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值. 【详解】设，则，， 所以.易得， ， 当时，取得最小值，取得最大值， 此时.故选C. 【变式训练5-1-3】已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 . 【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设； 以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵ 与的夹角为, 则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y） ∵,∴x2+y2-6x-2y+9=0, 即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆, 表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离； ∵圆心到B的距离为, ∴的最大值为． 【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键． 二 ：与向量夹角有关的范围问题 【典型例题】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为________________. 【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解． 【解析】由题意知,,,所以 ,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解． 【变式训练5-2-1】已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为 【答案】 【解析】,设和夹角为,因为有极值,所以,即,即,所以． 【变式训练5-2-2】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 【答案】 【解析】 ，， ，,在时取得最小值, 解可得：,则夹角的取值范围 【变式训练5-2-3】非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意得，，整理得，即 ，，夹角的最小值为. 三：与向量投影有关的最值问题 【典型例题】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为，所以， 在方向上的投影为，其中为，的夹角． 又，故． 设，则有非负解，故 ， 故，故，故选A． 【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为． 【变式训练5-3-1】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】D 当时， 当 故当时， 取得最小值为，即 当时， ，即 ，综上所述故答案选 【变式训练5-3-2】在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解． 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0）， 由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为， 半径为. 所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ， 由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|， 则在方向上投影的最大值是，故选C． 四：与平面向量数量积有关的最值问题 【典型例题】中，，，，且，则的最小值等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，向量，且， 可得点D在边BC上，， 所以，则，即， 所以时以C为直角的直角三角形． 如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为． 故选：C． 【变式训练5-4-1】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果. 【详解】由题意知：，设 以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系： ，，设 则， 当时，，本题正确选项： 【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值. 【变式训练5-4-2】已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】 【详解】 如图所示,以边所在直线为轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系,因为该正三角形的边长为,,当点在边上时,设点,则 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则, , 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则的最大值为;综上,最大值为,故选A. 【变式训练5-4-3】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】C 五：平面向量系数的取值范围问题 【典型例题】在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值. 三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A. 【点睛】：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用。 【变式训练5-5-1】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图 三点共线， ∵是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故 当且仅当等号成立，故选D 【变式训练5-5-2】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系： 则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即， 故选：C． 题型06：向量与不等式结合 【典型例题】若实数x，y满足，则的最大值为 【答案】 【分析】利用向量不等式并结合x的范围求最值. 【详解】设 则，当且仅当等号成立 故， 又，所以， 所以 , 当且仅当等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立. 【变式训练6-1】已知平面向量满足，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式，及三角函数的有界性可进行化简分析. 【详解】设，由，根据三角不等式，有 ， 得， 故 . 故答案为：. 【变式训练6-2】已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得. 【详解】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． 【点睛】 方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题. 【变式训练6-3】在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ． 【答案】 ， 【分析】根据几何关系，表示向量；设，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根据，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解. 【详解】由点是的中点， 则； 设，， 则， ， ， ， 所以，得,, 所以，即， 因为， 所以， ， 即，即，当时，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    故答案为：；. 【变式训练6-4】已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】先利用和证明，再解不等式得到，从而有，再验证，，时，即得到的最小值是2. 【详解】由于， 且， 故有 ， 所以，记，则有，从而或，即或. 总之有，故，即. 存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：对于的最小值问题，我们先证明，再给出一个使得的例子，即可说明的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可. 题型07：向量与四心 【典型例题1】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 如图，延长AO交△ABC的外接圆与点D，链接BD，CD，则∠ABD =∠ACD =90°， 所以 ① 又，② 把②代入①得，③ 又，所以④ 把④代入①得的取值范围是 【变式训练7-1】已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵O是锐角△ABC的外心， ∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1， 又， ∴||=| |， 可得=++2mn⋅， 而⋅=||⋅||cos∠A0B<||⋅||=1. ∴1=++2mn⋅<+2mn， ∴ <−1或 >1，如果 >1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴ <−1， 故选：C. 【变式训练7-2】已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为 ，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 【变式训练7-3】已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解. 【详解】因为，所以是的角平分线， 又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点， 则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心， 如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得， ，，可知为的重心， 设，，，由重心性质可得， 即， 又为的内心，所以， 因为，所以，，则， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论： 设的角，，所对边分别为，，，则 （1）的重心满足； （2）的内心满足； （3）的外心满足. 【变式训练7-4】已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率. 【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得 三点共线， .由既是的平分线，又是边上的中线，得 .作轴于点，，且，. 故选：B. 【变式训练7-5】 （多选）点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（    ） A．若且，则 B．若，且，则 C．若，，则的取值范围为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】A.根据向量的运算以及基本定理的推理，确定点的位置，即可判断A；B.根据条件，确定的形状，即可判断B；C.建立坐标系，将利用三角函数表示，根据三角函数的性质，即可判断C；根据垂心的性质，得，再结合数量积公式，即可求解. 【详解】A.由，可知，点共线， 又可知，点在的角平分线上， 所以为的角平分线，与不一定相等，故A错误； B.若，则点是的中点，点又是的外心， 所以，，故B正确； C. 因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，    设，，， 因为，所以， 得，， ，， ，，则，故C正确； D.因为，所以， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， 即，则， ，即， 则， ，，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积公式的应用，以及垂心，外心的综合应用问题，本题的C选项的关键是转化为三角函数表示点的坐标，利用三角函数即可求解，D选项的关键是公式的应用. 【变式训练7-6】已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为 ．（结果用表示）． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据双曲线的定义，结合三角形内心的向量表达式、切线长定理、投影向量的定义进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 由，可设，，    得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）． 因为是的角平分线， 且， 所以也为的角平分线，为的内心． 如图，设， 则由双曲线与内切圆的性质可得，， 又，所以，，在上的投影长为，则在上的投影向量为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是识别三角形内心的表达式，利用切线长定理进行求解. 题型08：平面向量与奔驰定理 【典型例题1】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又，∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得.故选：A. 【变式训练8-1】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【答案】C 【解析】对于A：如下图所示， 假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B： 由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C： 由可知，， 又，所以 由可得，； 所以，即C错误； 对于D：由四边形内角和可知，，则， 同理，， 因为O为的垂心，则， 所以，同理得，， 则， 令， 由，则， 同理：，， 综上，， 根据奔驰定理得，即D正确. 故选：C 【变式训练8-2】已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】① 【解析】设中点， 对于①若为的内心，所以在的角平分线上， 因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，令，所以在的角平分线上，即与共线， 所以存在实数使，即，故①正确； 对于②，若， 则， 所以在中线上且，即为三角形重心，故②错误； 对于③，，所以为的外心，故③错误； 若，则， 即， 所以为上靠近的三等分点， 所以， 故与的面积比为，故④错误． 故答案为：① 【变式训练8-3】已知为中线AD的中点,过点的直线与AB,AC分别交于点E,F,若与的面积之比为,则实数的值为 _____. 【答案】或 【解析】 设 ,则 由 所以,即 又 所以,联立,解得或 又,所以,所以或 故答案为：或 题型09：向量与三角换元 【典型例题】已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】分析可得，设，，可得出，可设，可得出向量的坐标，设，可得出、所满足的等式，利用向量模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】因为，即，可得， 设，，则，则， 设，则， 因为，，则或， 因为，则或， 令，则或， 根据对称性，可只考虑， 由， 记点、、，则，， 所以，， 当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立， 所以， . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【变式训练9-1】在平面内，定点，满足，且，则 ；平面内的动点满足，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出，进而根据，平方后计算出，从而求出；然后建立平面直角坐标系，设出，表达出和，利用三角函数有界性求出最大值. 【详解】因为，， 所以，两边平方得：， 即，解得：， 因为， 所以， 因为 所以； 可得到△ABC是等边三角形，且边长为， 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系， ，， 因为，所以设，， 由可得：是线段PC的中点，则， 则 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：， 【变式训练9-2】如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，利用三角函数关系表示，，的坐标，由题干条件分析可知为的中点，为的中点，即可得到，的坐标，进而得到与，整理可得为关于的函数，利用正弦型函数的性质即可求得最大值. 【详解】如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 设，则，， 在中，，， 所以设，，，即. 由题意可知为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以 （其中，为锐角）， 所以的最大值为，此时，即， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：题目中给出垂直关系，可利用坐标法处理此题，设，点坐标即可用关于的三角函数关系表示，则将问题整理为关于的正弦型函数求最大值问题. 【变式训练9-3】已知为的外接圆圆心，且．设实数满足 ，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 以中垂线为轴，为轴建立直角坐标系，设出圆心坐标及半径，写出外接圆的方程，再分别写出坐标，将题干条件带入，即可得到等式，根据等式得出的关系及范围，再将关系带入中，根据范围即可求得结果。 【详解】解：由题可得，以的中点为原点，方向为轴，的中垂线为轴， 建立如图所示平面直角坐标系： 因为，所以，记圆心，半径为， 所以圆的方程为，， 不妨设，所以, ,, 因为所以， 因为， 所以， 所以可得， 将代入上式可得，①， 因为，②， 将①的平方和②的平方相加可得：， 所以， 所以， 将带入可得，，即， 即，所以， 所以的取值范围为。 故答案为： 【点睛】方法点睛：此题考查平面向量和三角形的综合应用，属于难题，针对向量的题常用的方法有： （1）取两个不共线向量作为一组基底，将其他向量都用这一组基底进行表示； （2）如果是比较规则的图形，比如有直角，等腰三角形，菱形等，建立合适的直角坐标系，将结果用坐标表示； （3）若线段上一点,为线段上一点，且，则对于直线外一点有：。 【变式训练9-4】已知M 是椭圆上一点，线段 AB是圆的一条动弦,且则的最大值为 . 【答案】70 【分析】设中点为，易得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可转化为，，设出点的参数方程，求出，即可得解. 【详解】   如图，设中点为，由，，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， ， ，设，则 ， 当且仅当时，， 所以， 故答案为：70 【点睛】关键点点睛：由向量的数量积求解椭圆上一点与定点距离问题，转化法和参数方程是解决本题关键，还综合了余弦函数求最值问题，试题整体难度不大，但综合性强，是一道跨知识点考查相对不错的题 题型10：向量与解析几何结合 【典型例题】抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据过点的直线与抛物线相切，得到，利用抛物线对称性设不妨设切点为在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】   由，可知抛物线焦点，准线方程为， 因为为其准线上任意一点，设， 设过点且与抛物线相切的直线为：，① 由得：， 所以，整理得，，② 所以，是方程②的两根， 所以，故， 所以， 利用抛物线对称性，不妨设切点为在第一象限，坐标为， 由得，所以， 所以直线的斜率， 代入①可得切线的方程为：， 又因为点在直线上， 所以，所以， 所以点的坐标为， 所以，， 所以 . 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D 【变式训练10-1】过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】由双曲线方程可知：， 可知双曲线方程的左、右焦点分别为，， 圆的圆心为（即），半径为； 圆的圆心为（即），半径为． 连接，，，，则， 可得 ， 当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解. 【变式训练10-2】已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可. 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解. 【变式训练10-3】在平面四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设，求出点的轨迹方程，根据向量线性运算的坐标表示可得，结合圆的性质及点到直线的距离公式求得，进而求解. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为，，则，， 所以，，设， 则，，， 由，即， 则，即. 由可知点的轨迹为外接圆的一段劣弧， 且，则外接圆的半径为， 设外接圆的方程为， 则，解得或（舍去）， 即外接圆方程为，圆心为， 因为表示外接圆劣弧上一点到直线的距离， 而圆心到直线的距离为， 要使最大，则最大， 而，即， 此时，即的最大值为3. 故选：C.    【点睛】关键点点睛：本题关键在于，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，然后转化问题为求点到直线的距离最值问题. 【变式训练10-4】已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】把三个向量平移到同起点，由向量运算及得，从而，又由得点在以为圆心半径为1的圆面上（包括边界），利用数量积的几何意义求得，再利用三角形相似求OD长度即可求出最值. 【详解】设，，，，，则如图所示， 因为，所以， 即，所以， 因为，，所以，， 由，可得点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界）， 过圆周上一点作的垂线，垂足为，且与相切， 延长交于，则， 此时∽，根据相似知识可得， 所以， 所以的最大值为， 故选：D. 题型11：向量与实际模型 【典型例题】中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的几何意义将的最大值进行转化，并确定取最大值时点B的位置，再建立坐标系求解作答. 【详解】等于在上的投影向量与的数量积，因此当在上的投影向量与同向， 且投影向量的模最大时，取到最大值，此时点B在以点C为半圆弧端点且在AC上方的半圆上， 以大正方形的相邻两边分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，， 则直线的方程为，以点C为半圆弧端点且在AC上方的半圆圆心为， 半圆的方程为， 显然半圆在点处切线垂直于直线时，取得最大值， 设切线的方程为，于是，而点M在切线的左上方，解得， 即切线：，由解得， 因此切线与直线的交点，此时，又， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【变式训练11-1】键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围. 【详解】取线段的中点，则， ， 由图可知，当点与点重合时，取最小值，且， 由图形可知，当取最大值时，点在折线段上， 连接，则， 同理， 由正六边形的几何性质可知，， 所以，， 则、、三点共线，则，即， 当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大， 同理可知，， 当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大， 所以，当取最大值时，点在折线段上运动， 以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、、、 、，设点， （1）当点在线段上运动时，， 直线的方程为，即， 所以，线段的方程为， 则； （2）当点在线段上运动时，，，则， 所以，； （3）当点在线段上运动时，， 直线的方程为，即， 所以，线段的方程为， 所以，， 因为函数在上单调递增， 故. 综上所述，的最大值为，故， 故的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【变式训练11-2】如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用待定系数法求出圆M的方程，进而得到，数形结合得到当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大，利用点到直线距离公式得到，结合向量投影求出最值. 【详解】根据题意可得，解得，，故圆M的方程为． ， 画图分析可知当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大． 直线的斜率为1，设l的方程为，由圆心到直线l的距离为， 解得或（舍去）． 故l的方程为，其与直线PA：的交点坐标为， 所以，所以， 即的最大值为． 故选：C 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 【变式训练11-3】中华人民共和国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比；一种是顶角为的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比．如图，正五角星中，，记，则（    ）    A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ABD 【分析】利用黄金三角形得边长比计算各边长可得，再通过证，可得，则选项A可判定；在三角形中利用余弦定理可得，再用数量积公式即可求解，则选项B可判定；利用投影向量得公式即可求解，则选项C可判定；利用倍角公式结合三角函数得周期性即可求和，则选项D可判定. 【详解】因为，三角形为黄金三角形， 所以，可得，    由对称性可知， ， 所以， ， 可知，所以，， 所以，即可得， 所以，故选项A正确； 在三角形中，有余弦定理可得， ，故选项B正确； 在上的投影向量为，故选项C错误； ， ， ， ， ， ， ，……具有周期性， 所以 ，故选项D正确. 故选：ABD. 【变式训练11-4】（多选）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） 图1                         图2 A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设 ，可得，由，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D. 【详解】如图，作 ,分别以为x,y轴建立平面直角坐标系， 则 , 设 ，则, 由可得 ，且 ， 若，则， 解得 ，（负值舍去），故，A正确； 若，则，，故B正确； ， 由于，故，故，故C错误； 由于， 故 ，而， 故，故D正确， 故选：ABD 题型12：向量与数列结合 【典型例题】已知为平面四边形内一点，数列满足，当时，恒有，，相交于点，且，设数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】根据已知恒等式可得，再将用表示，再根据，从而可将用表示，再根据平面向量共线定理得推论可求得数列的递推公式，再根据递推公式求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 得， 所以 ， 又， 所以， 整理得， 因为三点共线， 所以， 整理得， 因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据已知恒等式可得 ，再结合，将用表示，是解决本题得关键. 【变式训练12-1】我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则 .（用含的式子表示，） 【答案】 【分析】考虑当为偶数时，的个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据和的展开式的加减得到的通项公式. 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相加得到. 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 【变式训练12-2】在数列中，，．设向量，已知 ，给出下列四个结论：①；②，；③，；④，．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据已知带入，即可求得，即可判断①；同理可求得，.然后猜想，有，（*）.然后根据数学归纳法证明（*）成立，进而推得，.可猜想，（**）. 然后根据数学归纳法证明（**）成立，即可得出②；带入化简整理可得，根据不等式的性质即可得出③；根据（**）的结论即可得出④正确. 【详解】对于①，由已知可得，， 所以，. 因为，所以有，解得，故①错误； 对于②，，， 所以，. 因为，所以有，解得. 同理可得，. 所以有，，，. 猜想，，有，.（*） 显然，当时，（*）式成立； 假设时，（*）式成立， 即，有，. 因为，，， 所以，. 由已知可得，， 所以， 所以. 又， 所以， 所以. 即，时，式子（*）也成立. 所以，猜想正确. 即，有，. 所以， ，. 猜想，，.（**） 当时，（**）式成立； 假设当时，（**）式成立，即，. 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以. 所以，当时，（**）式也成立. 所以，，，故②正确； 对于③，因为，所以，所以， 所以，所以. 又，所以. 同理可得，. 所以，，，故③正确； 对于④，由（**）可得，，. 所以，，，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点睛：根据前几项，猜想结论，根据数学归纳法证明结论. 【变式训练12-3】如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算与平面向量基本定理可得，令，进而可得为等比数列，求得，再利用分组求和法得出答案． 【详解】由于D是AC边上一点，且， 则 ， 由于为直线AB上一点列，则． 因为 ， 则，故， 整理，即， 故， 令，则，即， 因此 ，，， 所以 是以1为首项，为公比的等比数列，则， 所以， 故 ． 故答案为：． 【变式训练12-4】如图，已知点是平行四边形的边的中点，点在线段上，且满足，其中数列是首项为1的数列，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】根据平面向量的运算可得，再根据向量共线的性质可得，再根据条件得到，从而构造等比数列求解即可 【详解】为中点， ， ， 又、、三点共线， ，又 ， ，化简可得，，又 数列是首项为4、公比为2的等比数列. ， . 故答案为： 题型13：向量新定义问题 【典型例题】人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ） （参考数据：，．） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故选：B.    【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 【变式训练13-1】 （多选）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（    ） A．对任意的，有 B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立 C．若与垂直，则与共线 D．若与共线，则与的模相等 【答案】AD 【分析】由表示出和，即可判断A；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即方程组 ，对任意恒成立，解方程可判断B；若与垂直，则，设，分别表示出与即可判断C；若与共线，则，设，分别表示出与即可判断D. 【详解】设向量，，对于A，对任意的，有 ，故A正确； 对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程组 ，对任意恒成立，而此方程组无解，故B不正确； 对于C，若与垂直，则，设，则， ，其中，故C不正确； 对于D，若与共线，则，设， ， ，所以与的模相等，故D正确. 故选：AD. 【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【变式训练13-2】（多选）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答. 【详解】设，，，则C为线段AB上一点， 因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：            A                                B            C                                D 观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义， 再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域. 【变式训练13-3】设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合． (1)若，写出一个向量，使得． (2)令．若，证明：为偶数． (3)若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 (3)，答案见解析. 【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可； （2）根据，结合定义，求出，即可得证； （3）利用反证法求证. 【详解】（1）由定义，只需满足，不妨取（答案不唯一）． （2）对于，，2，，，存在，，，，使得． 当时，；当时，．令，． 所以． 所以为偶数． （3）当时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即． 不妨取，，，， 则有，，，，，． 若存在，使，则或或． 当时，； 当时，； 当时，， 故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交． 【变式训练13-4】定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】讨论、且、且或2或3，根据的定义及向量数量积的运算律，分别求最小值，即可得结果. 【详解】当且时，； 当且、时，则，当且仅当时等号成立； 同理且、或且、时，的最小值也为； 当时，则， 由，设，则， 所以，当时等号成立. 综上，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，注意中向量不同的排列情况下对应的表达式，结合向量数量积运算律和几何关系求最值. 巩固提升 一．选择题 1.如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设，则＝＝，所以，所以，则当时，取得最小值，故选B． 2.已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】的轨迹为圆，考虑该圆和直线有公共点（即相交或相切）可得实数的取值范围. 【详解】设，则 由得，因在直线上，故圆心到直线的距离 ，故，故选C. 【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆； （2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧． 3.如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值 【详解】如图可知x，y均为正，设， 共线， ， ， 则， ， 则的最小值为，故选D. 4.已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵圆：，圆：， 动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ， 由题意得 ∴则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆， ∴其方程为 因为，即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则 ，选A. 5.已知是边长为的正三角形，且.设函数，当函数的最大值为时，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】用表示出，用表示出，然后表示出，代入，得到关于的函数，求出其最大值，令最大值等于，从而求出的值. 【详解】, 因为是边长为的正三角形，且， 所以 又因，代入得 所以当时，取得最大，最大值为 所以，解得，舍去负根.故选D项. 6.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解. 详解：由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图， 表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，故选C. 7.已知非零平面向量，，.满足，，且，则的最小值是（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】 如图1： 令，，，不妨设 取中点，由，可得，由极化恒等式得； 要求的最小值，即最小时取到；显然，此时，，三点共线，如图2： 设此时， 因为 由余弦定理可知： 所以，即. 故选:A. 8.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C．2 D．2－ 答案：A 解析：∵b2－4e·b＋3＝0， ∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1. 如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a－b|就是线段AB的长度． 要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为－1. 9.已知向量=，.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为向量=可得， 所以，是夹角为，模为2的两个向量， 设，，，则A，B在以原点为圆心，2为半径的圆上，如图， 不妨令A（2，0），则B（-1，），则，则，所以C在以D为圆心，1为半径的圆上，，即求以D为圆心，1为半径的圆上的动点C到（0，0）的距离的最值问题， 又|OD|． 所以∈[，]= [，]， 故选：D． 10.已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：因为向量，夹角为，设，，，， 因为， （1） 若，则由（1）得，这与矛盾. ∴，带入（1）得 由得 综上： ， 令，则，所以 ，，故 故A正确 ，令，则，所以 ，，故 ，，故B、C、D均错误. 故选：A 11.平面上的两个向量和，，，，若向量，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ∵，∴， ∵，，， ∴，取的中点D，且，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴C在以D为圆心，为半径的圆上， ∴的最大值为. 故选:B. 12.梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 依据题意，建立如图所示平面直角坐标系 设， 由， 所以 则 所以 令，则 所以 当时，有 故选：B 13.已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图所示： 设，，，， 由 得， 化简得， 由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，， 代入上式得，∴. 根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，， 代入得， ∴，当且仅当“”时，等号成立. 故选：D. 14.中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 15.如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得 ，即. 16.在△ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】． 【解析】设,因为 所以三点共线，所以点的轨迹为直线,如图： 在中，,,,由正弦定理,解得, , ,,所以,故选B. 仅当，即时，等号成立，故最小值为. 17.在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得为的外心， 又，可得 ，， 即， 即有，，可得为的垂心， 则为的中心，即为正三角形． 由，即有， 解得，的边长为， 以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 可得，，， 由，可设，， 由，可得为的中点，即有，， 则 ， 当，即时，取得最大值，且为． 故选：． 18.设为的重心，若，则的取值范围为（ ） A．（－80，160） B．（－80，40） C．（－40，80） D．（－160，80） 【答案】A 【详解】 ∵， ∴，连接并延长交于，则为的中点，且， 在中，，则， ∵， ∴， ， ∵，即， ∴. 故选：A 19．已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：设，则，且， 所以，即， 因为， 所以， 由等和线性质得，解得. 故选:A. 20.在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】 由题设，如下图示：，又，， ∴，由三点共线，有， ∴，当且仅当时等号成立. 故选：A 21.已知是边长为的正三角形，为该三角形内切圆的一条弦，且.若点在的三边上运动，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，在中，内切圆的半径， 在中，， ，， 取的中点，连结， 当，分别取最大值时，取得最大值， 当点运动到三角形的顶点，且顶点与的连线垂直于时，，分别取最大值时， . 故选：B. 22.在同一平面内，已知为动点，为定点，且，，，为中点．过点作交所在直线于，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0）， 由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为. 所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ， 由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|， 则在方向上投影的最大值是， 故选C． 2、 填空题 1.在平行四边形中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，与同方向的单位向量， 由题意，所以， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即. 故选：A 2．如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 不妨设，则， 可知直线对应的一次函数解析式为，可设， 可得， 则，且， 因为开口向上，对称轴为， 且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值， 此时，且，所以. 故选：A. 3．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一 ：如图所示： 连接，设，连接，依题意得，，，， 则， ． 因为，所以，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法二  如图， 以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则依题意可得，，， 因为圆的半径为1，所以可设， 所以，，所以， 又，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法三 如图所示： 设，则． 可看成是在上的投影， 当点与重合时最小，最小值为， 当点与重合时最大，最大值为0， 故． 故选：C． 4．已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为弦的中点，则．因为两点不重合，则直线AB与圆O相交，所以点在圆内. 考虑点D为圆上或圆内一点，如图当且仅当D，O，M三点共线时，最长为，因C在圆内，则； 考虑点E为圆上或圆内一点，如图当且仅当O，E，M三点共线时，最短为，因C在圆内，则. 综上，当点在圆内时，，则. 故选：D． 5．已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过作的平行线交圆于点，过作，垂足为， 在平行四边形中，，，， 可得，，则由余弦定理可得， 由，可得，则四边形为正方形， 则，因为， 则的最小值为， 即的最小值为，故C正确。 故选：C. 6．如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，，，， ， ， 三点共线，，解得：，， . 故选：A. 7．（多选题）若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【答案】BD 【解析】当向量方向相同，与方向相反时，满足， 此时有最小值，A选项错误； 当向量方向相同时，满足， 此时有最大值，B选项正确； ，有，即，则， 向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误； 向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确. 故选：BD 8．（多选题）已知是同一平面内的四点，且，则（    ） A．当点在直线的两侧时， B．当点在直线的同侧时， C．当点在直线的两侧时，的最小值为3 D．当点在直线的同侧时， 【答案】ACD 【解析】 设，由，， 得 ；由，得，， 当点在直线的两侧时，如图①，， 所以，即，故A正确； 因为， 所以当时，的最小值为3，故C正确； 当点在直线的同侧时，如图②， ， 所以，故B错误； 设，则， 即解得， 所以，即，故D正确． 故选：ACD. 9.在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时， 【答案】 【解析】【分析】由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当取得最小值时点P的坐标，然后求解的值即可. 【详解】，， ，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 所以当x=2，y=1时取最小值， 此时.故选：B. 10.已知非零向量满足，若函数在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 【答案】 【解析】设和的夹角为 ∵在上存在极值 ∴有两个不同的实根，即 ∵∴，即 ∵∴ 11.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________ 【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2）， 又， 所以，则， 其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率， 设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1， 由直线与圆的位置关系有：， 解得：，即的最大值是1，故答案为：1 12.在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是 【答案】 【解析】依题意知分别是线段上的两个三等分点， 则有， ， 则，而， 则，得， 由为钝角知，又， 则有． 13.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则　　． 【答案】3 【解析】如图所示，建立直角坐标系．． 由与的夹角为，且．，．． ．． ．，，，解得，． 则．故答案为：3． 14.已知在平面直角坐标系中，，，为原点，且，(其中，，均为实数)，若，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】分析 ：根据可化简为，可得出、、三点共线，求出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出的最小值. 详解 ：(其中，、均为实数)， ，即，即，， 、、三点共线，的最小值即为点到直线的距离， 直线的方程为，即， 因此，的最小值为. 故答案为： 点睛：本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 15.已知向量满足，则的最大值是_________ 【答案】8 【详解】 平面向量满足设,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系， 作矩形OADB,根据矩形的性质， 而， 所以, 25+25=1+CD2，所以CD=7. 由, 当O,C,D共线的时候成立. 故答案为:8. 16.已知平面向量、、满足，，，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】 如图，设，，，作，，，则， 则，，， 令，即， ， 整理得， 故点的轨迹方程为，， 设点，圆的方程为，半径为， 因为，且，， 所以，，. 即，即. 故的取值范围是. 故答案为：. 17.已知平面非零向量、，、满足，，若，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】 设，，，则，， 设点、，则， 设，则，则，， 由可得，化简可得， 故点、在抛物线上， 因为，则，故、、三点共线， 即为抛物线的一条过焦点的弦， 设，则，，所以，， 故点的轨迹是以为直径的圆， 设点、，则， 而是线段的中点到抛物线准线的距离， 故以为直径的圆与抛物线准线相切， 当点不是圆与直线的切点时，； 当点是圆与直线的切点时，. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 18.已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________. 【答案】 【详解】 设，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 19.如图，若同一平面上的四边形满足：（，），则当△的面积是△的面积的倍时，的最大值为________ 【答案】 【详解】 因为， 所以， 过点S作于A，过点作于， 因为的面积是面积的，所以，从而， 在的两边同时点乘， 得， 由向量数量积的几何意义（投影）得， 从而，即， 整理得， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 20..如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为　　． 【答案】 【解析】设滚动后的圆的圆心为，切点为，连接， 过作与轴正方向平行的射线，交圆于，设 的方程为，根据圆的参数方程，得的坐标为， 单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于 ，可得 可得，， 代入上面所得的式子，得到的坐标为 的坐标为． 故答案为： 21．在△ABC中，己知，点D满足，且，则BC的长为_______ ． 【知识点】向量数乘的运算及其几何意义． F3 【答案】【解析】解析：根据题意，画出图形，如图所示； 设BC=x，∴CD=2x，∴D是CD的中点，∴S△ABC=S△ABD； 即•3•AB•sin45°=••AB•sin∠BAD，∴sin∠BAD=，cos∠BAD=； ∴cos∠DAC=cos45°cos∠BAD-sin45°sin∠BAD =， 在△ACD中，CD2=AD2+AC2-2AD•AC•cos∠DAC =，∴CD=，∴BC=． 故答案为：． 【思路点拨】根据题意，画出图形，结合图形，利用同角的三角函数关系，余弦定理，求出CD的长，即得BC的长． 22．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意知，，，；直线AB的方程为； ，； ，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；， ，时取“”； 又，；要使恒成立，k的取值范围是． 故答案为：． 23.如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有___________. 【答案】①②④ 【详解】 对于①：如图所示：因为分别为的中点， 所以,， 同理可得、， 所以，又因为 所以.①正确. 对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确. 对于③：因为，所以,,, 所以, 化简得：， 又因为不共线. 所以， .③错误. 对于④：因为是的外心，，所以,，, 因为，则， 化简得： ,由题意知不同时为正. 记, 则， 因为 所以.④正确. 故答案为：①②④. 24．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【解析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设，由正弦定理得，记为角， 所以，，， 所以 ， 若不是钝角，则 ， 又，所以，即， 所以， 设，则，，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， ， 时，，递减，时，递增， 所以时，，， 综上，， 此时． 故答案为：3． 25．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，则， 以为原点建立坐标系，可设、， 由点在圆上运动，设， 则，， 可得， 由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数， 此时存在最大值， 因为， 当时，的最大值为， 即有最大值， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：． 26．已知五个点，满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，，， 由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 27．如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，则， 故， 故 ， 当时，，即时， 此时取最小值. 故答案为：． 28．已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】由于， 且， 故有 ， 所以，记，则有，从而或，即或. 总之有，故，即. 存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2. 故答案为：2. 29．设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为 .（参考数据：） 【答案】5 【解析】由题意知点P满足，则P点在以为直径的圆上， 当时，设为的中点，如图，   ， 当共线且方向时，即三点共线时，取最小值， 此时，则， 则，故时，不满足题意； 当时，设为的中点，如图，     ，当共线且反向时，取最小值， 此时共线，， ， 则， 则当共线且同向时，必有， 故时，存在点P满足，且； 当时，如图，正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高，依此类推， 故此时不存在点P满足，且； 故n的最小值为5， 故答案为：5 30．已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】依题意，设的外接圆的半径为，则，故， 在等边中由正弦定理得，则； 取线段的中点，连接，则， 所以； 取线段的中点，连接，则在线段上，且，所以， 则又， 故，则． 故答案为：. 31．已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ． 【答案】． 【解析】解法一：， 记的交点为，以为原点，所在直线分别为x，y轴建立如图1所示的平面直角坐标系， 则，，，，， 故，， 则， 故，又 则． 解法二：， 如图2所示，当M在线段AD上运动时可得， 即，又， 所以． 故答案为： 23．在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为 ；点是线段上一点，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由，可得， 则 ； 由，可得， 则， 由，可得， 即， 整理得， 故， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为． 故答案为：；． 32．在中，D是AC边的中点，，，，则 ；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为 ． 【答案】 4 【解析】中，D是AC边的中点，，， ， 解得，即； 中，，，， 以为坐标原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示为平面直角坐标系， 则有，设 由，得， 解得，，即， 则有，， ， 则有时，有最小值. 故答案为： 4；. 33．已知，如图所示，点为中点，点满足，记，用表示 ；当时 ．    【答案】 3 【解析】, 由题意，为等腰三角形，则，， 所以 . 故答案为：；3 34．平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，用和表示 ；若，则的最小值为 【答案】 【解析】因为，故； 为等边三角形， 则 ， 若，则D在以E为圆心的圆上且在直线AC的左侧部分运动，方可取到最小， ，易知时取得最小值， 故的最小值为. 故答案为：；. 25．已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题可得，以的中点为原点，方向为轴，的中垂线为轴， 建立如图所示平面直角坐标系： 因为，所以，记圆心，半径为， 所以圆的方程为，， 不妨设，所以, ,, 因为所以， 因为， 所以， 所以可得， 将代入上式可得，①， 因为，②， 将①的平方和②的平方相加可得：， 所以， 所以， 将带入可得，，即， 即，所以， 所以的取值范围为。 故答案为： 36．在中，，则 ；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 故， ， 取中点，则， ，， 故， 故. 故答案为：；. 37．已知直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆上一个动点，则的最大值为 . 【答案】32 【解析】由题意，圆， 所以设圆心，半径为2， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以， 故， 又为椭圆上一个动点，易知为椭圆的左焦点， 故当点位于椭圆右顶点时，最大， 此时， 则的最大值为． 故答案为：32． 38．已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】首先， ，这里是最长的那条对角线的长度， 等号取到当且仅当同向，且，而这意味着重合，矛盾. 所以. 另一方面，我们先舍弃互不重合的条件，然后证明： 设中点为，那么， 然后，设A所在的边的端点为，则， （这是因为，记，其中为原点，确定的， 那么是一次函数，从而t属于时，有） 所以我们可以不妨设A在六边形的端点上. 同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上. 此时分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时， 综上，， 所以，即使去掉互不重合的条件，我们仍有， 这就说明，互不重合时，有， 然后，取等条件如图所示： 具体说明如下：构造一个到六边形的函数（即从数映射到点）， 使得，并且只沿着最近的轨道， 这样在的情况下，互不重合 同时设，那么， 而连续， 所以在的情况下，必定取遍， 这就意味着，的取值范围就是， 所以的取值范围是. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 高考数学平面向量选填压轴题精选 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：平面向量基本定理及其应用 5 题型02：投影向量问题 8 题型03： 等和线问题 13 题型04：极化恒等式 22 题型05：平面向量范围与最值问题 31 一 ：与向量的模有关的最值问题 41 二 ：与向量夹角有关的范围问题 44 三：与向量投影有关的最值问题 46 四：与平面向量数量积有关的最值问题 48 题型06：向量与不等式结合 53 题型07：向量与四心 57 题型08：向量与奔驰定理 62 题型09：向量与三角换元 67 题型10：向量与解析几何结合 73 题型11：向量与实际模型 79 题型12：向量与数列结合 86 题型13：向量新定义问题 92 巩固提升 97 平面向量选择填空压轴题在高考中常作为区分高分段考生的题型，以下从考查特征、核心考点及解题思路三方面展开分析，具体如下： 1. 考查特征：这类题型综合性极强，很少单独考查单一知识点，多以平面图形为载体，融合平面几何、三角函数、不等式等内容。它的难度集中在“转化”环节，且侧重对最值、范围问题的考查，以此检验学生的数形结合与逻辑推理能力，是拉开分数差距的关键题型。 2. 核心考点：一是向量的数量积与模长，这是高频考点，常结合夹角、垂直条件出题，还可通过极化恒等式转化计算；二是平面向量基本定理，涉及向量分解的系数最值，常和等和线定理搭配求解；三是共线定理应用，多隐藏在三角形、四边形等图形中，用于求解参数值或范围；四是综合拓展类，比如向量与圆结合求动点相关的最值，或是与三角函数结合转化为函数值域问题。 3. 常用解题思路：主要分“形化”和“数化”两类。“形化”是借助向量几何意义，将问题转化为图形中的距离、夹角等问题，比如把向量模长转化为圆上点到定点的距离；“数化”则是通过建系转化为坐标运算，把向量关系变成函数或不等式，再用基本不等式、二次函数最值等知识求解。另外，基底法也是常用技巧，选取合适基底可简化复杂向量表达式，降低运算难度。 结合高考平面向量选择填空压轴题的考查特点，制定以下分层学习目标，确保精准突破难点： 一、基础能力目标 1. 熟练掌握平面向量核心概念与公式：能精准复述向量的模长、数量积、夹角、共线/垂直的判定条件，以及平面向量基本定理、极化恒等式、等和线定理的适用场景，做到公式“零混淆”。 2. 具备基础转化能力：能将向量语言快速转化为几何语言或代数语言（“坐标运算式”），实现不同表征形式的灵活切换。 二、核心解题目标 1. 掌握两大核心方法： ◦ 数形结合法：能根据向量问题中的图形特征（三角形、四边形、圆等），结合向量几何意义（模长为距离、数量积为投影乘积），将抽象问题直观化，快速定位最值/范围的几何本质； ◦ 坐标化法：能合理建立平面直角坐标系，将向量运算转化为代数运算（函数、方程、不等式），并熟练用二次函数、基本不等式、三角函数值域等知识求解最值。 2. 突破高频题型：能独立解决“向量模长/数量积的最值/范围”“向量分解的系数问题”“向量与圆/三角函数/平面几何综合问题”，做到解题步骤清晰、运算无失误。 三、综合素养目标 1. 形成题型归类能力：能快速识别压轴题的题型特征（如“基底法适用题型”“等和线适用题型”），并匹配对应解题策略，缩短审题时间； 2. 具备逆向思维与验证意识：解题后能通过几何直观或特殊值法验证结果合理性，避免因代数运算错误导致失分； 3. 提升综合应用能力：能将向量知识与平面几何、三角函数、不等式等模块无缝衔接，解决跨知识点综合问题，适应高考压轴题的综合性要求。 四、应试目标 1. 限时解题能力：面对向量压轴题，能在3-5分钟内完成审题、方法选择、运算求解，确保答题效率； 2. 满分突破能力：针对压轴题的易错点（如基底选择不当、坐标建系不合理、最值条件遗漏），做到“零失误”，实现该类题型的满分目标。 结合高考平面向量选择填空压轴题的核心考点与考查特征，梳理以下针对性解题策略，覆盖方法选择、题型突破、避坑技巧，助力高效解题： 一、核心方法选择策略：先“形”后“数”，灵活切换 1. 优先用“数形结合法”（几何视角） 2. 再用“坐标化法”（代数视角） 3. 基底法（中间视角） 二、避坑与验证策略 1. 易错点规避： ◦ 数量积运算中忽略夹角范围，导致符号错误； ◦ 建系时坐标设定错误（如遗漏点的位置关系），增加计算量； ◦ 等和线定理应用时，混淆“同向”与“反向”等和线的系数符号。 2. 结果验证： ◦ 几何验证：用特殊位置（如端点、中点）检验最值是否合理； ◦ 代数验证：代入特殊值验证数量积/模长的计算结果； ◦ 维度验证：确保模长为非负数、数量积符号与夹角一致（锐角为正，钝角为负）。 三、应试提速策略 1. 审题时标记关键信息：圈出“最值/范围”“共线/垂直”“向量分解”等关键词，快速匹配方法； 2. 熟记常用结论：如极化恒等式、向量垂直的充要条件，减少推导时间； 3. 特殊值法辅助：对于选择题，可代入特殊点（如原点、中点）排除错误选项，提高正确率。 题型01：平面向量基本定理及其应用 平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有： （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 【典型例题】在中，，，，是内一点，，且的面积是的面积的倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 过作于，于， ，， 因为，所以，即， 因为，所以为等腰三角形， 又，所以为中点，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，所以，所以，， 由图形可知，，则，， 所以 . 故选：. 【变式训练1-1】如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【变式训练1-2】如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练1-3】（多选题）如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·四川绵阳·三模）在半径为的中，弦的长度为，则的值为（    ） A． B． C． D．与有关 题型02：投影向量问题 【典型例题】已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C ①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值. 【解析】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误； 设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以 ，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确. 故选：C 【变式训练2-1】已知是坐标原点，点，且点是圆：上的一点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围是 . 【变式训练2-2】已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 【变式训练2-3】已知平面向量的夹角为，满足．平面向量在上的投影之和为2，则的最小值是 ． 题型03： 等和线问题、 1、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求, 如图: 设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于, 过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,所以,当Q在BC的下方时, ; 当Q在BC上时,,当Q在BC的上方时,, 根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大， 所以：x+y的最大值为：．故选：C． 【变式训练3-1】已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与重合的一点，设，若存在最大值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】在中，点G满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是___． 【变式训练3-3】已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设、、、的面积分别为，，，，记，，，则取最大值时，的值为 . 【变式训练3-4】在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上移动，设，则最大值是 . 【变式训练3-5】在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式训练3-6】已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为 . 【变式训练3-7】在中，，点O满足，若，其中，动点P的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-8】如图，在中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，O是线段P一点，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F，设，． (1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值． 【变式训练3-9】已知四边形ABCD，为边BC边上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项 .    题型04：极化恒等式 极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题1】如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 【变式训练4-1】青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 . 【变式训练4-2】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 【变式训练4-5】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【变式训练4-6】在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练4-7】已知平面向，，，，，若，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 【变式训练4-8】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【变式训练4-9】如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05：平面向量范围与最值问题 【典型例题1】已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知是两个单位向量，且， 则， 则，则， 设分别是轴与轴正方向上的单位向量， 则，，， 设，则， 因为， 所以， 故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 圆心到原点的距离为， ． 故选：B． 【典型例题2】已知，，且、不共线，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式，可得答案. 【详解】设与的夹角为，由，则， 由，则. 故选：B. 【典型例题3】（多选）已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】设，设，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得及的最值，可得答案. 【详解】由，可得，又，是椭圆上两个不同点, 可得，设，则， 设,O为坐标原点，可得，, 可得，且， 所以，，又， 可得两点均在圆的圆上，且， 设的中点为，则, 根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和， 设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为， 则， 可得的最大值为，的最小值为； 可得，可得的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 同理，为点两点到直线的距离之和， 设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为， 则，， 可得，可得的最大值为，最小值为，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得. 【典型例题4】已知五个点，满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可. 【详解】因为， 所以，，， 由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值. 【变式训练5-1】设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为 .（参考数据：） 【变式训练5-2】已知平面向量满足，且．则的最小值是 ，最大值是 ． 【变式训练5-3】（多选）若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【变式训练5-4】正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 . 【变式训练5-5】已知中，，，，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-7】如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 一 ：与向量的模有关的最值问题 【典型例题】如图，在等腰三角形中，已知，分别是上的点，且，（其中，），且，若线段的中点分别为，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的数量积公式求出，连接，利用向量加法的运算法则得出，再根据平面向量减法运算法则以及平面向量的数量积的运算法则可得,结合二次函数的性质可得的最小值，进而可得结果. 【详解】 连接，等腰三角形中,， , 是的中线,  同理,可得,  由此可得， ,可得,  代入上式得， , 当时, 的最小值为, 此时的最小值为,故答案为. 【变式训练5-1-1】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( ) A． B． C．3 D． 【变式训练5-1-2】已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-1-3】已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 . 二 ：与向量夹角有关的范围问题 【典型例题】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为________________. 【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解． 【解析】由题意知,,,所以 ,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解． 【变式训练5-2-1】已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为 【变式训练5-2-2】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 【变式训练5-2-3】非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ． 三：与向量投影有关的最值问题 【典型例题】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为，所以， 在方向上的投影为，其中为，的夹角． 又，故． 设，则有非负解，故 ， 故，故，故选A． 【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为． 【变式训练5-3-1】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( ) A. B. C. D. 【变式训练5-3-2】在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 四：与平面向量数量积有关的最值问题 【典型例题】中，，，，且，则的最小值等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，向量，且， 可得点D在边BC上，， 所以，则，即， 所以时以C为直角的直角三角形． 如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为． 故选：C． 【变式训练5-4-1】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-4-2】已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练5-4-3】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 五：平面向量系数的取值范围问题 【典型例题】在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值. 三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A. 【点睛】：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用。 【变式训练5-5-1】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【变式训练5-5-2】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 题型06：向量与不等式结合 【典型例题】若实数x，y满足，则的最大值为 【答案】 【分析】利用向量不等式并结合x的范围求最值. 【详解】设 则，当且仅当等号成立 故， 又，所以， 所以 , 当且仅当等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立. 【变式训练6-1】已知平面向量满足，若，则的最小值是 ． 【变式训练6-2】已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ． 【变式训练6-4】已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 题型07：向量与四心 【典型例题1】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 如图，延长AO交△ABC的外接圆与点D，链接BD，CD，则∠ABD =∠ACD =90°， 所以 ① 又，② 把②代入①得，③ 又，所以④ 把④代入①得的取值范围是 【变式训练7-1】已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ） A. B. C. D. 【变式训练7-2】已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练7-4】已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】 （多选）点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（    ） A．若且，则 B．若，且，则 C．若，，则的取值范围为 D．若，则 【变式训练7-6】已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为 ．（结果用表示）． 题型08：平面向量与奔驰定理 【典型例题1】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又，∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得.故选：A. 【变式训练8-1】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【变式训练8-2】已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 【变式训练8-3】已知为中线AD的中点,过点的直线与AB,AC分别交于点E,F,若与的面积之比为,则实数的值为 _____. 题型09：向量与三角换元 【典型例题】已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】分析可得，设，，可得出，可设，可得出向量的坐标，设，可得出、所满足的等式，利用向量模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】因为，即，可得， 设，，则，则， 设，则， 因为，，则或， 因为，则或， 令，则或， 根据对称性，可只考虑， 由， 记点、、，则，， 所以，， 当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立， 所以， . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【变式训练9-1】在平面内，定点，满足，且，则 ；平面内的动点满足，，则的最大值是 ． 【变式训练9-2】如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为 . 【变式训练9-3】已知为的外接圆圆心，且．设实数满足 ，则的取值范围为 ． 【变式训练9-4】已知M 是椭圆上一点，线段 AB是圆的一条动弦,且则的最大值为 . 题型10：向量与解析几何结合 【典型例题】抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据过点的直线与抛物线相切，得到，利用抛物线对称性设不妨设切点为在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】   由，可知抛物线焦点，准线方程为， 因为为其准线上任意一点，设， 设过点且与抛物线相切的直线为：，① 由得：， 所以，整理得，，② 所以，是方程②的两根， 所以，故， 所以， 利用抛物线对称性，不妨设切点为在第一象限，坐标为， 由得，所以， 所以直线的斜率， 代入①可得切线的方程为：， 又因为点在直线上， 所以，所以， 所以点的坐标为， 所以，， 所以 . 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D 【变式训练10-1】过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【变式训练10-2】已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式训练10-3】在平面四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式训练10-4】已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型11：向量与实际模型 【典型例题】中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的几何意义将的最大值进行转化，并确定取最大值时点B的位置，再建立坐标系求解作答. 【详解】等于在上的投影向量与的数量积，因此当在上的投影向量与同向， 且投影向量的模最大时，取到最大值，此时点B在以点C为半圆弧端点且在AC上方的半圆上， 以大正方形的相邻两边分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，， 则直线的方程为，以点C为半圆弧端点且在AC上方的半圆圆心为， 半圆的方程为， 显然半圆在点处切线垂直于直线时，取得最大值， 设切线的方程为，于是，而点M在切线的左上方，解得， 即切线：，由解得， 因此切线与直线的交点，此时，又， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【变式训练11-1】键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练11-3】中华人民共和国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比；一种是顶角为的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比．如图，正五角星中，，记，则（    ）    A． B． C．在上的投影向量为 D． 【变式训练11-4】（多选）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） 图1                         图2 A．若，则 B．若，则 C． D． 题型12：向量与数列结合 【典型例题】已知为平面四边形内一点，数列满足，当时，恒有，，相交于点，且，设数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】根据已知恒等式可得，再将用表示，再根据，从而可将用表示，再根据平面向量共线定理得推论可求得数列的递推公式，再根据递推公式求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 得， 所以 ， 又， 所以， 整理得， 因为三点共线， 所以， 整理得， 因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据已知恒等式可得 ，再结合，将用表示，是解决本题得关键. 【变式训练12-1】我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则 .（用含的式子表示，） 【变式训练12-2】在数列中，，．设向量，已知 ，给出下列四个结论：①；②，；③，；④，．其中所有正确结论的序号是 ． 【变式训练12-3】如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和 ． 【变式训练12-4】如图，已知点是平行四边形的边的中点，点在线段上，且满足，其中数列是首项为1的数列，则数列的通项公式为 题型13：向量新定义问题 【典型例题】人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ） （参考数据：，．） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故选：B.    【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 【变式训练13-1】 （多选）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（    ） A．对任意的，有 B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立 C．若与垂直，则与共线 D．若与共线，则与的模相等 【变式训练13-2】（多选）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（    ）． A． B． C． D． 【变式训练13-3】设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合． (1)若，写出一个向量，使得． (2)令．若，证明：为偶数． (3)若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例． 【变式训练13-4】定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为 ． ，注意中向量不同的排列情况下对应的表达式，结合向量数量积运算律和几何关系求最值. 巩固提升 一．选择题 1.如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4.已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5.已知是边长为的正三角形，且.设函数，当函数的最大值为时，（ ） A． B． C． D． 6.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.已知非零平面向量，，.满足，，且，则的最小值是（ ） A． B． C．2 D．3 8.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C．2 D．2－ 9.已知向量=，.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 11.平面上的两个向量和，，，，若向量，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 12.梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 13.已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ） A．3 B． C． D． 14.中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 15.如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 16.在△ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（ ） A． B． C． D． 17.在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是　　 A． B． C． D． 18.设为的重心，若，则的取值范围为（ ） A．（－80，160） B．（－80，40） C．（－40，80） D．（－160，80） 19．已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 20.在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B． C．1 D． 21.已知是边长为的正三角形，为该三角形内切圆的一条弦，且.若点在的三边上运动，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 22.在同一平面内，已知为动点，为定点，且，，，为中点．过点作交所在直线于，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 1.在平行四边形中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 4．已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）若平面向量满足且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 8．（多选题）已知是同一平面内的四点，且，则（    ） A．当点在直线的两侧时， B．当点在直线的同侧时， C．当点在直线的两侧时，的最小值为3 D．当点在直线的同侧时， 9.在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时， 10.已知非零向量满足，若函数在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 11.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________ 12.在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是 13.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则　　． 14.已知在平面直角坐标系中，，，为原点，且，(其中，，均为实数)，若，则的最小值是_____. 15.已知向量满足，则的最大值是_________ 16.已知平面向量、、满足，，，则的取值范围为______． 17.已知平面非零向量、，、满足，，若，，则的最小值为______． 18.已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________. 19.如图，若同一平面上的四边形满足：（，），则当△的面积是△的面积的倍时，的最大值为________ 20..如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为　　． 21．在△ABC中，己知，点D满足，且，则BC的长为_______ ． 22．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______． 23.如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有___________. 24．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 25．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 26．已知五个点，满足：，，则的最小值为 ． 27．如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为 ． 28．已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 29．设正n边形的边长为1，顶点依次为，若存在点P满足，且，则n的最大值为 .（参考数据：） 30．已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ． 31．已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ． 23．在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为 ；点是线段上一点，且，若，则的最大值为 . 32．在中，D是AC边的中点，，，，则 ；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为 ． 33．已知，如图所示，点为中点，点满足，记，用表示 ；当时 ．    34．平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，用和表示 ；若，则的最小值为 25．已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ． 36．在中，，则 ；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是 ． 37．已知直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆上一个动点，则的最大值为 . 38．已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $