5.1.1 角的概念的推广-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件围绕任意角的概念推广展开，涵盖正角、负角、零角的分类，象限角的判定及终边相同的角的集合表示。通过自主检测题引发认知冲突，衔接初中角的知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以合作探究为核心，通过典例分析与规律总结培养数学抽象和逻辑推理素养，如终边相同角集合的三点理解点拨。结合钟表分针角度等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实，分层评价设计助力教师因材施教，学生在探究中提升思维与应用能力。

5.1.1　角的概念的推广 　 第5章　5.1　任意角与弧度制 学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 3.了解象限角的概念，培养数学抽象和逻辑推理核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　任意角的概念 1.角的概念：角可以看作是平面内一条射线绕着其______从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形. 2.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类 知识梳理 名称 定义 图形 正角 按________方向旋转所成的角 负角 按________方向旋转所成的角 零角 一条射线没有做任何旋转所成的角 3.任意角：任意角包括______、______和______. 端点 逆时针 顺时针 正角 负角 零角 知识点二　象限角与终边相同的角 1.象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点为_________，角的始边为___轴的非负半轴，那么，角的______落在第几象限，就说这个角是第几________；如果角的终边在__________，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.终边相同的角 可以把所有与角α终边相同的角用集合表示出来，即___________________ ______，当k＝0时，角β就是角α本身.即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 坐标原点 x 终边 象限角 坐标轴上 {β｜β＝α＋k·360°， k∈Z} 点拨　对于集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解就注意三点： (1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略. (2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α). (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角. (　　) (2)终边相同的角一定相等. (　　) (3)锐角都是第一象限角. (　　) (4)第二象限角是钝角. (　　) × × √ × 自主检测 2.若角2α与240°角的终边相同，则α＝ A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈Z C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z √ 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z，选B. 3.－870°角的终边所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 因为－870°＝－360°×3＋210°，所以210°角与－870°角的终边相同，又因为210°角的终边在第三象限，所以－870°角的终边也在第三象限.故选C. 4.已知角α，β的终边关于直线x＋y＝0对称，且α＝－60°，则β＝_______ __________________. －30° ＋k·360°，k∈Z 在－90°到0°的范围内，－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z. 返回 合作探究 返回 探究点一　任意角的概念 (多选)下列说法正确的是 A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角 C.小于180°的角是钝角、直角或锐角 D.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 √ 典例 1 √ 锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确. 判断角的概念问题的关键与技巧 1.关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等 概念； 2.技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可. 规律方法 对点练1．下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤三角形的内角和是象限角.其中正确的结论为_____(填序号). ② ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤三角形内角和为180°不是象限角，故⑤不正确. 探究点二　终边相同的角 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角. 典例 2 解：与75°角终边相同的角的集合为 S＝{β｜β＝k·360°＋75°，k∈Z}. 当360°≤β＜1 080°，即360°≤k·360°＋75°＜1 080°时， 解得≤k＜2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2. 当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°. 综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角. 1.求终边落在直线上的角的集合的步骤 (1)写出在0°～360°范围内相应的角. (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合. (3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁. 2.终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍. (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍 (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 规律方法 对点练2．将－880°化为α＋k×360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是 A.160°＋(－3) ×360° B.200°＋(－2) ×360° C.160°＋(－2) ×360° D.200°＋(－3) ×360° √ 易知－880° ＝200°＋(－3)×360°，故选D. 对点练3．与－457°角终边相同的角的集合是 A.{α｜α＝k·360°＋457°，k∈Z} B.{α｜α＝k·360°＋97°，k∈Z} C.{α｜α＝k·360°＋263°，k∈Z} D.{α｜α＝k·360°－263°，k∈Z} √ 263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z. 探究点三　象限角与区域角的表示 (1)若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{α｜k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是 典例 3 √ 当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，故选C. (2)若α是第一象限角，判断角的终边所在的位置. 因为α是第一象限角， 所以k·360°＜α＜90°＋k·360°(k∈Z). 方法一(分类讨论法)　当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜＜30°＋n·360°(n∈Z)，则的终边在第一象限；当k＝3n＋1(n∈Z)时，120°＋n·360°＜＜150°＋n·360°(n∈Z)，则的终边在第二象限； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，240°＋n·360°＜＜270°＋n·360°(n∈Z)，则的终边在第三象限. 综上，可知角的终边在第一、第二或第三象限. 方法二(几何法) 如图，先将各象限分成3 等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依 次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的 区域为角的终边所在的区域(不包含边界)， 故角的终边在第一、第二或第三象限. 1.象限角的判定方法 (1)根据图象判定.依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与直角坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系； (2)将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的. 规律方法 2.表示区域角的三个步骤 (1)借助图形，在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界； (2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β； (3)分别将起始边界，终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即可求得区域角. 规律方法 对点练4．若α是第四象限角，则180°－α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 方法一：由题意，知k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z， 所以－k·360°＋180°＜180°－α＜－k·360°＋270°，k∈Z， 所以180°－α是第三象限角. 方法二：可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三角限角. 对点练5．终边落在阴影部分内(包括边界)的角α的集合是______________ _________________________________. {α｜－40°＋ 由图可知，终边落在阴影部分内(包括边界)的角α的集合是{α｜－40°＋k·360°≤α≤50°＋k·360°，k∈Z}. 返回 k·360°≤α≤50°＋k·360°，k∈Z} 随堂评价 返回 1.每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升旗仪式，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是 A.30° B.－30° C.60° D.－60° √ 利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有×10＝ 60°，即分针走过的角度是－60°. 2.若α是第一象限角，则－是 A.第一象限角 B.第四象限角 C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角 √ 方法一：由题意知k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，则k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，所以－k·180°－45°＜－＜－k·180°，k∈Z. 当k为偶数时，－为第四象限角；当k为奇数时，－为第二象限角. 方法二：由几何法易知为第一象限角或第三象限角，根据－的终边关于x轴对称，知－为第四象限角或第二象限角. 3.给出下列说法： ①时钟经过一个小时，时针在旋转时所形成的角是30°； ②钝角一定大于锐角； ③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④小于90°的角都是锐角； ⑤第二象限角一定大于第一象限角. 其中错误说法的序号为__________(所有错误说法的序号都写上). ①③④⑤ ①时钟经过一个小时，时针按顺时针方向旋转30°，因而时针在旋转时所形成的角为－30°，所以①不正确. ②钝角α的取值范围为90°＜α＜180°，锐角θ的取值范围为0°＜θ＜90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确. ③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确. ④锐角θ的取值范围是0°＜θ＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确. ⑤如α＝120°是第二象限角，β＝360°＋30°＝390°是第一象限角，但α＜β，所以⑤不正确. 4.已知α为第四象限角，则是__________________象限角. 第二或第三或第四 如图，将各象限分成3等份，再从x轴非负半 轴起，按逆时针方向在各区域内依次循环标 上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅳ的区域(阴影部分) 即为的终边所在的区域，故是第二或第三 或第四象限角. 返回 课时分层评价 返回 1.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 A.60°，720° B.－60°，－720° C.－30°，－360° D.－60°，720° √ 钟表的时针和分针都是按顺时针方向旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.下列各角中，与735°终边相同的角是 A.5° B.15° C.25° D.35° √ 735°＝2×360°＋15°，所以15°与735°的终边相同.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合是 A.{α｜α＝n·360°＋135°，n∈Z} B.{α｜α＝n·360°－45°，n∈Z} C.{α｜α＝n·180°＋225°，n∈Z} D.{α｜α＝n·180°－45°，n∈Z} √ 角α的取值集合为{α｜α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α｜α＝k·360°－45°，k∈Z}＝{α｜α＝(2k＋1)·180°－45°，k∈Z}∪{α｜α＝2k·180°－45°，k∈Z}＝{α｜α＝n·180°－45°，n∈Z}，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.下列说法正确的是 A.第一象限角一定小于90° B.终边在x轴正半轴的角是零角 C.若α＋β＝k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同 D.钝角一定是第二象限角 √ 对于选项A，390°角是第一象限角，但390°＞90°，故A错误；对于选项B，终边在x轴正半轴的角可能是360°，故B错误；对于选项C，α＝－β＋k·360°(k∈Z)，则α与－β终边相同，故C错误；对于选项D，因为钝角θ的取值范围为90°＜θ＜180°，所以钝角一定是第二象限角，故D正确.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.(多选)如果角α的终边在第三象限，那么的终边可能在(　　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ √ √ 因为α为第三象限角，所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，所以k·120°＋60°＜ ＜k·120°＋90°，k∈Z. 当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＋60°＜＜n·360°＋90°； 则的终边在第一象限；当k＝3n＋1(n∈Z)时， 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 n·360°＋180°＜＜n·360°＋210°，则的终边在第三象限； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋300°＜＜n·360°＋330°，则的终边为第四象限.故选ACD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是_________. －1 030° 记α＝50°，其始边与x轴的非负半轴重合，将其终边按顺时针方向旋转3周，得到的角记为β，则β＝α－3×360°＝50°－1 080°＝－1 030°. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.与2 021°角的终边相同的最小正角是______，绝对值最小的角是_______. 221° －139° 与2 021°角的终边相同的角为2 021°＋k·360°(k∈Z). 当k＝－5时，221°为最小正角； 当k＝－6时，－139°为绝对值最小的角. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.已知角α的终边与－100°角的终边关于y轴对称，则α的取值集合为_____________________________. {α｜α＝k·360°－80°，k∈Z} 分析如图，   －80°角与－100°角的终边关于y轴对称，因此α的取值集合为{α｜α＝k·360°－80°，k∈Z}. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)写出如图所示的阴影部分(包括边界)的角α的范围. 解：因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以题图(1)中阴影部分的角α的范围可表示为{α｜－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 解：因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以题图(2)中阴影部分的角α的范围为{α｜45°k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知集合{α｜α＝k·90°＋45°，k∈Z}. (1)该集合中有几种终边不相同的角？ 解：由k＝4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种. (2)该集合中有几个在－360°～360°范围内的角？ 解：由－360°≤k·90°＋45°＜360°，得－≤k＜. 又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3. 所以给定的角的集合中，在－360°～360°范围内的角共有8个. (3)写出该集合中的第三象限角. 解：给定的角的集合中，第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.若角α与β的终边互为反向延长线，则有 A.α＝β＋180° B.α＝β－180° C.α＝－β D.α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z √ 角α与β的终边互为反向延长线， 则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是 A.α＋β＝90° B.α＋β＝180° C.α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) D.α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z) √ √ 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α， β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满 足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k· 360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条 件，A、C不满足条件. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 5.1　任意角与弧度制 返回 $