5.1.1 角的概念的推广-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“任意角的概念推广”，涵盖正角、负角、零角的分类，象限角的判定及终边相同角的表示。以摩天轮转动情境导入，从已有0°-360°角知识自然过渡，通过问题链搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境导学培养数学眼光，如摩天轮问题引导抽象角的旋转方向与大小；分类讨论与推理发展数学思维，如α/2象限判断通过不等式推导与k值分类；集合符号表达强化数学语言，如终边相同角用集合{β|β=α+k·360°,k∈Z}规范表述。学生提升抽象与逻辑推理能力，教师可借分层训练和结构化小结优化教学效率。

第5章　三角函数 5.1　任意角与弧度制 5.1.1　角的概念的推广 学习任务 核心素养 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(重点) 2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(重点、难点) 通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养． 5.1.1　角的概念的推广 如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时： (1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？ (2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察， 那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不 同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？ 从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？ 必备知识·情境导学探新知 5.1.1　角的概念的推广 知识点1　任意角 (1)角的旋转定义 自然 语言 角可以看作是平面内一条射线绕着其______从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形 符号语言 O为顶点，射线OA为始边，OB为终边，α＝∠AOB 图形 语言 端点 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 (2)角的推广与分类——正角、负角和零角 类型 定义 图示 正角 按_________方向旋转形成的角 负角 按_________方向旋转形成的角 零角 射线OA没有作任何旋转，终边OB与OA重合 逆时针 顺时针 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 思考　1．终边和始边重合的角一定是零角吗？ [提示]　不一定，还有可能是±360°，±720°，…． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大于90°的角都是钝角． (　　) (2)零角的终边与始边重合． (　　) (3)从13：00到13：10，分针转过的角度为60°． (　　) (4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大． (　　) × × √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 体验　2．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________． 图(1)　　　　　　图(2) 390° －150° 60° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 知识点2　象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点为____________，角的始边为x轴的非负半轴，角的______落在第几象限，就说这个角是第几_________；如果角的终边在_________上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 坐标原点 终边 象限角 坐标轴 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 思考　2．“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？ [提示]　锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 体验　3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－30°是第四象限角． (　　) (2)第二象限角是钝角． (　　) (3)225°是第三象限角． (　　) √ √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 知识点3　终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_________________，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． α＋k·360° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 思考　3．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ [提示]　终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 体验　4．与610°角终边相同的角可以表示为(其中k∈Z)(　　) A．k·360°＋230° B．k·360°＋250° C．k·360°＋70° D．k·180°＋270° B　[610°＝360°＋250°，故选B．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 关键能力·合作探究释疑难 类型1　任意角的概念 【例1】　(1)下列结论： ①始边相同而终边不同的角一定不相等； ②小于90°的角是第一象限角； ③钝角比第三象限角小； ④角α与－α的终边关于x轴对称． 其中正确的结论为________(填序号)． ①④ 5.1.1　角的概念的推广 (2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________． －40° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 (1)①④　(2)－40°　[(1)①正确；②错误，如α＝－30°是第四象限角；③错误，如α＝－110°；④正确． (2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°．] 反思领悟　理解角的概念的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 [跟进训练] 1．(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　) A．150°　　B．－150°　　C．390°　　D．－390° (2)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A．120° B．－120° C．－60° D．60° √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 (1)B　(2)B　[(1)各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B． (2)由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角为负角， 即为－×360°＝－120°．] 类型2　终边相同的角的表示及应用 【例2】　(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来； (2)写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S，S中适合不等式 －360°<β<360°的元素有哪些？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 [解]　(1)与α＝－1 910°终边相同的角的集合为 {β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360° (k∈Z)，∴3 ≤k＜6 (k∈Z)，故取k＝4，5，6． k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°． (2)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°． 因此，终边在直线y＝－x上的角的集合 S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．由于－360°<β<360°， 即－360°<135°＋n·180°<360°，n∈Z． 解得－<n<，n∈Z．所以n＝－2，－1，0，1． 所以集合S中适合不等式－360°<β<360°的元素为 135°－2×180°＝－225°；135°－1×180°＝－45°； 135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°． 反思领悟　1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止． 提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 2．终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 [跟进训练] 2．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 [解]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， 即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}． (1)最小的正角为315°． (2)最大的负角为－45°． (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°． 类型3　象限角及区域角的表示 【例3】　(1)若α是第一象限角，则－是(　　) A．第一象限角　　 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 (2)如图所示． ①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 以终边相同的角为切入点，思考如何表示某个区域内的角？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 (1)D　[因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z， 所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z， 所以－k·180°－45°<－<－k·180°，k∈Z， 所以－是第二、四象限角．] (2)[解]　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； 终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于 －30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． [母题探究]若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？ [解]　在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪ {β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°， k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°， n∈Z}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 反思领悟　1．表示区域角的3个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°． 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 2．nα或所在象限的判断方法 (1)用不等式表示出角nα或的范围； (2)用旋转的观点确定角nα或所在象限． 例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z． 由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置． 提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 [跟进训练] 3．(1)若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)(　　) A．③⑦　 B．④⑧ C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦ (2)写出终边落在阴影部分的角的集合． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 (1)A　[∵α是第三象限角， ∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)， ∴k·180°＋90°<<k·180°＋135°(k∈Z)． 当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<<n·360°＋135°(n∈Z)，其终边在区域③内； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°<<n·360°＋315°(n∈Z)，其终边在区域⑦内． ∴角的终边所在的区域为③⑦．] (2)[解]　在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}． 1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　) A．45° B．90° C．180° D．270° 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．] 5.1.1　角的概念的推广 2．下列各个角中与角2 024°终边相同的角的度数是(　　) A．－149° B．679° C．321° D．224° √ D　[因为2 024°＝360°×5＋224°，所以与2 024°终边相同的角是224°．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 3．角－870°的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ C　[∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 4．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________． －670°　[由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°．] －670° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 5．(教材P158练习T4改编)已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________ ________________． {α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋ 150°，k∈Z} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．任意角的分类有哪几种？ [提示]　按旋转方向分为：正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？ [提示]　所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z． (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 3．如何由α所在象限，确定(n∈N＋)所在的象限？ [提示]　(1)不等式法． ①由角α的范围(用k表示)，表示角的范围； ②通过对k进行分类讨论，判断角所在象限． (2)几何法．作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上“一、二、三、四”．α的终边在第几象限，则标号为几的区域就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　) A．120° B．－120° C．240° D．－240° 课时分层作业(三十八)　角的概念的推广 √ D　[结合角的概念可知，D正确．] 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是(　　) A．120° B．60° C．180° D．240° √ D　[由－120°＋360°＝240°可知D正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 47 3．(多选题)给出下列四个命题，其中正确的有(　　) A．75°是第一象限角 B．225°是第三象限角 C．475°是第二象限角 D．－315°是第四象限角 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ ABC　[0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°， 360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°． 故ABC均正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 48 4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 49 5．(多选题)若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ AC　[当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．故选AC．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 50 二、填空题 6．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 240°　三　[因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．] 240° 三 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 51 7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝__________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 k·360°＋60°(k∈Z)　[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．] k·360°＋60°(k∈Z) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 52 8．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈_______________________________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 53 {α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}　[在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°． 所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k· 360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜ (2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 三、解答题 9．(源自苏教版教材)在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： (1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 55 [解]　(1)因为650°＝360°＋290°， 所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角． (2)因为－150°＝－360°＋210°， 所以－150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角． (3)因为－990°15′＝－3×360°＋89°45′， 所以－990°15′的角与89°45′的角终边相同，是第一象限角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)－720°到－360°的角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 57 [解]　与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z． (1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°． (2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1， 故所求的最小正角为170°． (3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 11．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．三角形的内角是第一或第二象限角 B．第四象限的角可能是负角 C．60°角与600°角是终边相同的角 D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 59 BD　[A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角； B正确；如－15°是第四象限角； C错误，600°－60°＝540°不是360°的整数倍； D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×＝60°．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 12．(多选题)已知θ为第二象限角，那么的终边有可能落在(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 61 ABD　[∵θ为第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z， ∴30°＋k·120°＜＜60°＋k·120°，k∈Z， 当k＝0时，30°＜＜60°，属于第一象限， 当k＝1时，150°＜＜180°，属于第二象限， 当k＝－1时，－90°＜＜－60°，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 13．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　) A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 63 B　[法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°．故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z． 法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180° －α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 14．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15°　65°　[由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z． ∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°． 取k＝1，得α＋β＝80°，① α－β＝670°＋k·360°，k∈Z． ∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°． 取k＝－2，得α－β＝－50°，② 由①②得：α＝15°，β＝65°．] 15° 65° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 65 15．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角 (其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在 第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象 限，求α，β的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.1　角的概念的推广 66 [解]　根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z． 由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°＜α＜β＜180°，知0°＜2α＜2β＜360°， 进而知2α，2β都是钝角，即90°＜2α＜2β＜180°，即45°＜α＜β＜90°， 所以45°＜α＝·180°＜90°，45°＜β＝·180°＜90°，所以＜m＜＜n＜．因为α＜β，所以m＜n，又m，n∈Z， 所以m＝2，n＝3，所以α＝° ，β＝° ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 $