第5章 5.1.1 角的概念的推广（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦“角的概念的推广”核心知识点，从初中0°~360°角扩展到任意角（正角、负角、零角），进而定义象限角，探究终边相同的角的集合表示，最终掌握区域角的集合表示，构建递进式学习支架。 该资料以摩天轮转动、跳水转体等实例引入，发展数学眼光，通过问题链引导学生抽象角的旋转方向与大小，培养数学思维，用集合语言精确表示终边相同的角和区域角，提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后例题及跟踪训练帮助学生巩固，查漏补缺。

5.1.1　角的概念的推广 学习目标　1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.2.理解象限角的概念，并掌握终边相同的角的含义及其表示.3.掌握区域角的集合表示. 导语 如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时， (1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？ (2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？ 从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？ 一、任意角的概念 问题1　在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°~360°的角度表示吗？ 提示　“转体两周”指顺时针或逆时针旋转720°.“向前翻转两周半”指顺时针或逆时针旋转900°，转的角度不能用0°~360°的角表示. 知识梳理 类型 定义 图示 正角 一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角 负角 以顺时针方向旋转所成的角 零角 不旋转所成的角 注意点： (1)用运动的观点来看待角的概念，一是要明确射线未作任何旋转时的位置，二是要明确旋转的方向，三是要明确旋转量. (2)零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角不一定是零角，如周角等. (3)角的范围由0°~360°推广到任意角后，角的加减运算类似于实数的加减运算. 例1　(1)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　) A.60°，720° B.－60°，－720° C.－30°，－360° D.－60°，720° 答案　B 解析　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. (2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝　　　　.  答案　－40° 解析　∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°， β＝－760°＋720°＝－40°. 反思感悟　正确理解正角、负角、零角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样. 跟踪训练1　如图所示，从OA旋转到OB，OB1，OB2所成的角α，β，γ的度数分别是　　　　　　，　　　　，　　　　.  答案　390°　－150°　60° 解析　题图①中的角是正角，α＝390°.图②中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°. 二、象限角与终边相同的角 问题2　如图所示，60°角的终边是射线OA.－660°，420°角的终边与60°角的终边有什么关系？如何表示与60°角终边相同的角？ 提示　相同.60°＋k·360°(k∈Z). 知识梳理 为了方便研究问题，常在平面直角坐标系内讨论角，为此取坐标原点为角的顶点，x轴的非负半轴为角的始边，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 把所有与角α终边相同的角用集合表示出来，即{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，当k＝0时，角β就是角α本身. 注意点： (1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限. (2)每一个象限都有正角和负角. 例2　(课本例1)在0°~360°内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)－80°；(2)1 600°；(3)－819°36'. 解　(1)因为－80°＝280°－360°，所以在0°~360°内，与－80°角终边相同的角是280°，它是第四象限角. (2)因为1 600°＝160°＋4×360°，所以在0°~360°内，与1 600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角. (3)因为－819°36'＝260°24'－3×360°，所以在0°~360°内，与－819°36'角终边相同的角是260°24'，它是第三象限角. 例2　(1)－2 030°角是第　　　　象限角.  答案　二 解析　－2 030°＝130°－6×360°，130°角是第二象限角，所以－2 030°角为第二象限角. (2)写出终边在直线y＝－x上的角的集合. 解　终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}； 终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}. 因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}， 即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}. 故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}. 延伸探究1　完成下表. 终边落在x轴非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴非正半轴上 {α|α＝180°＋k·360°，k∈Z} 终边落在y轴非负半轴上 {α|α＝90°＋k·360°，k∈Z} 终边落在y轴非正半轴上 {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝90°＋k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 反思感悟　(1)象限角的判断方法 ①根据图象判断.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系. ②将角转化到0°~360°范围内.在直角坐标平面内，0°~360°之间没有两个角终边是相同的. (2)终边相同的角的表示 ①终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式. ②终边相同的角相差360°的整数倍. 跟踪训练2　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A.－200° B.100° C.220° D.420° 答案　AB 解析　－200°＝160°－360°，在0°~360°范围内，与－200°角终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°角为第二象限角，220°角为第三象限角，420°角为第一象限角. (2)已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角. ①最小的正角； ②最大的负角； ③－360°~720°之间的角. 解　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， 即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}， ①最小的正角为315°. ②最大的负角为－45°. ③－360°~720°之间的角分别是－45°，315°，675°. 三、区域角的表示 例3　如图所示. (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}. (2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 延伸探究2　若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ 解　由题干图可知满足题意的角的集合为{β|60°＋k1·360°≤β≤105°＋k1·360°，k1∈Z}∪{240°＋k2·360°≤β≤285°＋k2·360°，k2∈Z}＝{β|60°＋2k1·180°≤β≤105°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{β|60°＋(2k2＋1)·180°≤β≤105°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{β|60°＋n·180°≤β≤105°＋n·180°，n∈Z}，即所求的角的集合为{β|60°＋n·180°≤β≤105°＋n·180°，n∈Z}. 反思感悟　表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步：由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°~360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合. 跟踪训练3　如图所示. (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}. (2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是 {α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}. 1.知识清单： (1)任意角的概念. (2)终边相同的角. (3)象限角、区域角的表示. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.与－30°角终边相同的角是(　　) A.－330° B.150° C.30° D.330° 答案　D 解析　因为所有与－30°角终边相同的角都可以表示为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}，取k＝1，得α＝330°. 2.如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么角α(　　) A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角 答案　D 解析　点P(0，－3)在y轴负半轴上，故角α的终边为y轴的非正半轴，故角α不是象限角. 3.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是(　　) A.80° B.－80° C.960° D.－960° 答案　D 解析　40÷60360°×240°. 由于时针、分针都是顺时针旋转， 则时针走过2小时40分，分针转过的角度为－2×360°－240°＝－960°. 4.“α是锐角”是“α是第一象限角”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分而不必要条件. 5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　) A.{α|－45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z} D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z} 答案　C 解析　如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}. 6.(多选)下列命题，为真命题的是(　　) A.－75°角是第四象限角 B.225°角是第三象限角 C.475°角是第二象限角 D.－225°角是第一象限角 答案　ABC 解析　A，B显然正确. 475°＝115°＋360°为第二象限角，－225°＝135°－360°为第二象限角，故C正确，D不正确. 7.(5分)与－660°角终边相同的最小正角是　　　　；最大负角是　　　　.  答案　60°　－300° 解析　因为－660°＝60°－2×360°，60°－360°＝－300°，所以最小正角为60°，最大负角为－300°. 8.(5分)运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是　　　，逆时针旋转两圈半所得角的度数是　　　　.  答案　－900°　900° 解析　由任意角的概念可知，顺时针旋转两圈半所得角的度数是－(2×360°＋180°)＝－900°，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°. 9.(10分)已知α＝－1 910°. (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(4分) (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.(6分) 解　(1)α＝－1 910°＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角. (2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)， 取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角. 当n＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°； 当n＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或－470°. 10.(10分)写出终边在下列各图所示阴影部分内(包含边界)的角的集合. 解　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}. (2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}. 11.设集合MN那么(　　) A.M＝N B.N⊆M C.M⊆N D.M∩N＝∅ 答案　C 解析　由题意得M＝ 即M是由45°的奇数倍构成的集合， 又N ＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}， 即N是由45°的整数倍构成的集合，则M⊆N. 12.(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　AC 解析　当k＝2m＋1(m∈Z)时， α＝225°＋2m·180°＝225°＋m·360°，此时α为第三象限角； 当k＝2m(m∈Z)时，α＝45°＋m·360°，此时α为第一象限角，故α的终边在第一或第三象限. 13.(多选)如图，若角α的终边落在阴影部分(包括边界)，则角的终边可能在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　AC 解析　依题意，得k·360°＋40°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z， 所以k·180°＋20°≤≤k·180°＋50°，k∈Z， 当k为偶数时的终边在第一象限；当k为奇数时的终边在第三象限. 14.(5分)如图1是某小区的圆形公园，它的外围有一圆形跑道，并有4个出口A，B，C，D(视为点)，并四等分圆弧(如图2).小明从A点出发，在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周跑动，假设他每分钟转过的圆心角为θ(0°<θ<180°)，3分钟时第一次到达劣弧CD之间(不包括点C，D)，15分钟时回到出发点A，则θ的值为　　　　.  答案　72° 解析　依题意知，小明3分钟转过3θ的圆心角，且180°<3θ<270°， 所以60°<θ<90°，又15分钟时回到出发点A， 所以15θ＝k·360°，k∈N，所以θ＝72°. 15.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　) A.α＋β＝k·360°，k∈Z B.α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z C.α－β＝180°＋k·360°，k∈Z D.α－β＝k·360°，k∈Z 答案　B 解析　因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z， 即α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z. 16.(12分)若α是第二象限角，试分别确定2α的终边所在位置. 解　∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z). ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边在第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上. 方法一　∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)， 当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)， ∴的终边在第一或第三象限. ∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)， 当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)， ∴的终边在第一、第二或第四象限. 方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴的终边在第一或第三象限. 将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限， ∴的终边在第一、第二或第四象限. 学科网（北京）股份有限公司 $