2.3.2 一元二次不等式的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

2.3.2　一元二次不等式的应用 　 第2章　2.3　一元二次不等式 学习目标 1.通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能根据实际问题情境构建一元二次函数(不等式)模型，解决实际问题，培养数学建模的核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 1.理解题意，分析清楚量与量之间的关系； 2.建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； 3.解这个一元二次不等式得到实际问题的解. 知识梳理 1.若kx2－6kx＋(k＋8)≥0对一切x∈R恒成立(k为常数)，则k的取值范围是 A.0≤k≤1 B.0＜k＜1 C.0＜k≤1 D.k＜0或k＞1 √ 当k＝0时，显然8≥0恒成立； 当k≠0时，则k满足 即 解得0＜k≤1，所以k的取值范围是0≤k≤1.故选A. 自主检测 2.某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是 A.{x｜10＜x＜20} B.{x｜15≤x＜20} C.{x｜15＜x＜20} D.{x｜10≤x＜20} √ 由题意可知x[30－2(x－15)]＞400，则－2x2＋60x－400＞0，即x2－30x＋200＜0， 所以(x－10)(x－20)＜0，解得10＜x＜20. 又因为每盏最低售价为15元， 所以15≤x＜20.故选B. 3.不等式x2－2mx－1＞0对一切1≤x≤3都成立，则m的取值范围为___________. {m｜m＜0} 令y＝x2－2mx－1，易知x＝0时，y＝－1， 由二次函数的图象(图略)及题意可知 即m＜0. 4.一元二次不等式ax2－2x－1＜0恒成立，则实数a的取值范围是___________. (－∞，－1) 由题意知 解得a＜－1. 返回 合作探究 返回 探究点一　一元二次不等式在R上恒成立问题 若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范围. 解：要使mx2－mx－1＜0恒成立， 若m＝0，显然－1＜0，满足题意； 若m≠0，则⇒－4＜m＜0. 所以－4＜m≤0. 典例 1 一元二次不等式在R上的恒成立问题 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 4.一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 规律方法 对点练1．若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a＋1)x－1＜0恒成立，则实数a的取值范围为_________________. (1)若a2－1＝0，则a＝±1， 当a＝－1时，原不等式即为－1＜0， 解集为R. 当a＝1时，原不等式即为2x＋1＞0，解集为，与题意不符. (2)若a≠±1，则当时，不等式解集为R，解得－1＜a＜. 综上，实数a的取值范围是. 探究点二　在给定区间上的恒成立问题 若对于x∈[1，3]，不等式mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围. 解：方法一：要使mx2－mx－1＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 就要使mm－6＜0在x∈[1，3]上恒成立. 令y＝mm－6，x∈[1，3]. 当m＞0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而增大， 所以ymax＝7m－6＜0，所以0＜m＜； 典例 2 当m＝0时，－6＜0恒成立； 当m＜0时，函数值y在[1，3]上随x的增大而减小， 所以ymax＝m－6＜0，得m＜6，所以m＜0. 综上所述，m＜. 方法二：当x∈[1，3]时，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立， 即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立. 因为x2－x＋1＝＞0， 又m(x2－x＋1)－6＜0， 所以m＜. 因为函数y＝＝ 在[1，3]上的最小值为， 所以只需m＜即可. 　　解决一元二次不等式在某范围上恒成立问题，可结合二次函数的图象进行求解. 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (1)a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ (2)a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ (3)ax2＋bx＋c＞0在α≤x≤β时恒成立⇔{x｜α≤x≤β}⊆A，其中A是ax2＋bx＋c＞0的解集. 规律方法 对点练2．若∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，求实数a的取值范围. 解：∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立. ①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当1＜x≤4时，a≤＝x－1＋. 因为1＜x≤4，所以0＜x－1≤3， 所以x－1＋≥2＝4(当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号)， 所以a≤4. 综上，实数a的取值范围为{a｜a≤4}. 探究点三　一元二次不等式的实际应用 某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 解：设每件定价为t元，依题意得t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元. 典例 3 (2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？ 解：依题意得，当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解， 等价于当x＞25时，a≥有解. 由于≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立， 所以a≥10.2. 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. 解不等式应用题的步骤 规律方法 对点练3．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位，50≤x≤200)，则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为 A.60单位 B.70单位 C.80单位 D.90单位 √ 设生产每单位试剂的成本为y， 因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元， 职工的工资总额为7 500＋20x元，后续保养总费用为x元， 则y＝＝x＋＋40≥2＋40＝220， 当且仅当x＝，即x＝90时取等号， 满足50≤x≤200， 所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位.故选D. 返回 随堂评价 返回 1.当1≤x≤4时，若关于x的不等式2x2－8x－4－a＞0恒成立，则实数a的取值范围是 A.{a｜a＜－4} B.{a｜a＞－4} C.{a｜a＞－12} D.{a｜a＜－12} √ 原不等式2x2－8x－4－a＞0可化为a＜2x2－8x－4，由题意，可知只需当1≤x≤4时，a小于y＝2x2－8x－4的最小值，易得当1≤x≤4时，y＝2x2－8x－4的最小值是－12，所以a＜－12.故选D. 2.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则x2＋x＋＜0成立的一个必要不充分条件是 A.－＜x＜3 B.－＜x＜0 C.－3＜x＜ D.－1＜x＜6 √ 因为若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为， 所以－与3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0， 所以－＋3＝－，－×3＝， 所以b＝－a，c＝－a， 所以x2＋x＋＜0可化为：x2－x－＜0， 解得：－＜x＜3， A、B、C、D四个选项中，只有选项D满足：{x｜－1＜x＜6}真包含， 所以x2＋x＋＜0成立的一个必要不充分条件是D选项.故选D. 3.当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围为_______ _____. (－∞， －5) 令y＝x2＋mx＋4. 因为y＜0在[1，2]上恒成立. 所以x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图， 得 所以 所以m的取值范围是(－∞，－5). 4.某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围. 解：设花坛的宽度为x m， 则绿草坪的长为(800－2x)m， 宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600. 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x＞0，所以0＜x≤100， 所以当x在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一. 返回 课时分层评价 返回 1.已知不等式x2＋ax＋4≥0的解集为R，则a的取值范围是 A.[－4，4] B.(－4，4) C.(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.(－∞，－4)∪(4，＋∞) √ 因为不等式x2＋ax＋4≥0的解集为R， 所以Δ＝a2－4×1×4≤0， 解得－4≤a≤4， 所以a的取值范围是[－4，4]，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.若对任意1≤x≤2，有x2－a≤0恒成立，则a的取值范围是 A.{a｜a≤4} B.{a｜a≥4} C.{a｜a≤5} D.{a｜a≥5} √ 满足题意时，a≥(x2)max，结合二次函数的性质和函数的定义域可得a≥4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.一服装厂生产某种风衣，日产量为x(x∈N)件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p＝160－2x，R＝500＋30x，要使获得的日利润不少于1 300元，则x的取值范围为 A.{x∈N｜0＜x＜45} B.{x∈N｜0＜x≤45} C.{x∈N｜0＜x≤20} D.{x∈N｜20≤x≤45} √ 由题意设日利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，由y≥1 300，解得20≤x≤45，即x的取值范围为{x∈N｜20≤x≤45}.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若不等式ax2＋≥(a＞0)恒成立，则实数a的取值范围是 A.{a｜0＜a≤9} B.{a｜a≥9} C. D. √ 原不等式转化为a(x2＋1)＋≥，又a＞0，则a(x2＋1)＋≥ 2＝2，当且仅当a(x2＋1)＝，即＝a时等号成立，则根据恒成立的意义可知2≥，解得a≥. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.已知集合A＝{t｜t2－4≤0}，对于任意t∈A，使不等式x2＋tx－t＞2x－1恒成立的x的取值范围为 A.{x｜x＜1或x＞3} B.{x｜x＜－1或x＞3} C.{x｜x＜－1} D.{x｜x＞3} √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 由t2－4≤0，得－2≤t≤2，所以－1≤1－t≤3.不等式x2＋tx－t＞2x－1对－2≤t≤2恒成立，即不等式x2＋(t－2)x＋1－t＞0对－2≤t≤2恒成立，即不等式(x＋t－1)(x－1)＞0对－2≤t≤2恒成立，所以只需对－2≤t≤2恒成立，所以只需对－2≤t≤2恒成立，因为－1≤1－t≤3，所以只需x＞3或x＜－1.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.若关于x的不等式x2＋2x＋a＋2＞0的解集为R，则实数a的取值范围为____________. {a｜a＞－1} 因为不等式的解集为R，所以Δ＝4－4(a＋2)＜0，即a＞－1. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.纯农药液体一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药的浓度不超过28％，则桶的容积的取值范围是_________. 设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液体后，桶内还有(x－8)(x＞8)升纯农药液体，用水补满后，桶内农药的浓度为.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液体为升，此时桶内有纯农药液体升. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 依题意，得x－8－≤28％·x . 由于x＞0，因此不等式化简为9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0，解得≤x≤. 又x＞8，所以8＜x≤. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.已知x＞0，y＞0，且(x＋y)2－(5m－1)(x＋y)＋144≥0恒成立，则实数m的取值范围是__________. {m｜m≤5} 因为x＞0，y＞0，所以x＋y＞0，则(x＋y)2－(5m－1)(x＋y)＋144≥0恒成立⇔x＋y＋≥5m－1恒成立.又x＋y＋≥2＝24(当且仅当x＋y＝12时，等号成立)，所以5m－1≤24，解得m≤5，所以实数m的取值范围为{m｜m≤5}. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)已知函数y＝ax2＋2x＋3(a∈R). (1)当a＝－1时，求不等式y＞0的解集； 解：当a＝－1时，y＝－x2＋2x＋3. y＞0即－x2＋2x＋3＞0，可化为x2－2x－3＜0. 方程x2－2x－3＝0的根为：x1＝－1，x2＝3， 所以不等式的解集为：－1＜x＜3. 因此y＞0的解集为{x｜－1＜x＜3}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 (2)解不等式y＞0. 解：ax2＋2x＋3＞0 ①当a＝0时，不等式化为2x＋3＞0，解得x＞－. ②当a＞0时，开口向上，此时Δ＝4－12a. (ⅰ)Δ＜0，即a＞时，方程ax2＋2x＋3＝0无解，不等式解集为R. (ⅱ)Δ＝0，即a＝时，方程ax2＋2x＋3＝0有唯一解，x＝－3，不等式解集为{x｜x≠－3}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 (ⅲ)Δ＞0，即0＜a＜时，方程ax2＋2x＋3＝0有两解， x1＝，x2＝，且x1＜x2， 不等式解集为. ③a＜0时，开口向下，此时Δ＝4－12a，显然Δ＞0，方程ax2＋2x＋3＝0有两解， x1＝，x2＝，且x1＞x2. 不等式解集为. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 综上所述， 当a＜0时，不等式解集为； 当a＝0时，不等式解集为； 当0＜a＜时，不等式解集为； 当a＝时，不等式解集为{x｜x≠－3}； 当a＞时，不等式解集为R. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)设函数y＝x2＋ax－b. (1)若不等式x2＋ax－b＜0的解集是{x｜2＜x＜3}，求不等式bx2－ax＋1≤0的解集； 解：因为不等式x2＋ax－b＜0的解集是{x｜2＜x＜3}， 所以x＝2，x＝3是方程x2＋ax－b＝0的解， 由韦达定理得：a＝－5 ，b＝－6. 故不等式bx2－ax＋1≤0为－6x2＋5x＋1≤0， 即6x2－5x－1≥0， 解得x≤－或x≥1， 故原不等式的解集为. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)当a＋b＝3时，x2＋ax－b≥0在x∈[0，1]上恒成立，求实数a的取值 范围. 解：当a＋b＝3时，b＝3－a，y＝x2＋ax－(3－a)＝x2＋ax＋a－3≥0在x∈上恒成立， 所以a≥， 令y＝，x∈[0，1]，则a≥max， 令t＝x＋1，t∈[1，2]，则x＝t－1，y＝＝＝－t＋＋2， 又因为y＝－t＋＋2在[1，2]上y随着t的增大而减小， 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 所以当t＝1时，y＝－t＋＋2取最大值，且最大值为3， 所以y＝有最大值3. 所以a≥3， 所以实数a的取值范围为[3，＋∞). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.在R上定义运算ⓧ：AⓧB＝A(1－B)，若不等式(x－a)ⓧ(x＋a)＜1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 A.－1＜a＜1 B.0＜a＜2 C.－＜a＜ D.－＜a＜ √ (x－a)ⓧ(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a＜1对x∈R恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3＜0，所以(2a－3)(2a＋1)＜0，即－＜a＜.故选C. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.当x∈{x｜1≤x≤5}时，不等式x2＋ax－2＞0有解，则实数a的取值范围是_____________. 由题知Δ＝a2＋8＞0，且－2＜0，所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根.设y＝x2＋ax－2，作出函数的大致图象如图所示. 由图象知，不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是当x＝5时，y＞0，即25＋5a－2＞0，解得a＞－. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 2.3　一元二次不等式 返回 $