专题2.4 一元二次不等式的应用（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题2.4 一元二次不等式的应用 1.实际问题的不等式建模，应用的核心是将实际场景(如利润、面积、长度、增长率等)转化为一元二次不等式(重点) 2.含参数的恒成立与存在性问题，这是应用中的高频难点，核心是“通过二次函数最值转化不等式,(重、难点) 3.解集与实际意义的匹配，解出的不等式解集需结合实际场景的约束条件(如变量非负、整数性、范围限制)的筛选(难点) 知识点1 解简单的分式不等式 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形.保证分母不为零 (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为露的形式,然后再求解, 分式不等式（如 ）需转化为整式不等式，但需注意： 等价于 且分母不为 0 （易错点：忘记排除分母为 0 的情况）。 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 已知以a, b, c为参数的不等式（如 ）的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 （1）根据解集来判断二次项系数的符号。 （2）根据根与系数的关系把b, c用 表示出来并代入所要解的不等式。 （3）约去 ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 一元二次不等式的标准形式为 （或 ），其中 。 若 ，需先将其化为 的形式（两边同乘 -1 ），同时必须反转不等号方向（易错点：忘记变号）。 若题目中未明确 （如含参数的不等式），需先讨论 的情况（此时为一次不等式），再处理 的二次情形（避免漏解）。 知识点3 一元二次不等式的实际应用 解不等式应用题的步骤 读: 阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量找准不等关系 建：将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 解：解不等式,得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义 答：回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 严格不等号 ：解集不包含方程的根；非严格不等号（ ）：解集包含方程的根（若有根）。应用题中需结合实际意义判断端点是否有效（如时间、长度、人数等需非负所需剔除不符合实际的解）。 题型一、一元二次不等式恒成立问题 例1（24-25高一上·广东广州·期中）“不等式在上恒成立”的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意分及两种情况讨论列式计算即可. 【详解】关于的不等式在上恒成立， 若，即，不合题意， 若，则，解得. 故选：A . 1-1（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 1-2（24-25高一上·江苏扬州·期中）若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围. 【详解】命题“”是假命题，则有， 当时，恒成立，满足题意； 当时，有，解得， 综上可得的取值范围为. 故选：A. 1-3（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 1-4（24-25高一上·湖南怀化·期中）若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得函数图象恒在x轴上方，据此可得答案. 【详解】不等式对一切恒成立， 即函数图象恒在x轴上方，当时不成立， 故需要. 故答案为： 题型二、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 例2（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 2-1（24-25高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用三个二次的关系，得到方程有两根为和，且，将用表示后代入所求不等式，化简即可求其解集. 【详解】由题意，方程有两根为和，且. 则解得. 将上式代入不等式，整理得， 因，故得，解得， 即不等式的解集是. 故答案为： 2-2（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【答案】. 【分析】根据不等式解集知，利用韦达定理得，代入目标不等式求解即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，且和4为方程的两根， 故，得， 又，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型三、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 例3（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案 【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 故选：A 3-1（24-25高一上·北京·期中）不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得只需让即可. 【详解】不等式在上恒成立， 只需满足，解得， 故选：A. 3-2（24-25高一上·福建福州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题可得，代入运算求解即可. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 3-3（24-25高一上·陕西·期中）不等式对恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时即可求出参数的取值范围. 【详解】①当时，成立； ②当时，只需，解得. 综上可得，即实数的取值范围为． 故答案为： 3-4（23-24高一上·广东韶关·期中）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】分和两种情况，结合判别式列式求解即可. 【详解】因为关于x的不等式在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 题型四、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 例4（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离常数法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【详解】当时，恒成立；当时，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 故选：B 4-1（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 4-2（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为对于任意的，恒成立，根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解. 【详解】由于,则对于任意的，恒成立， 设， 所以，解得, 故选：B 4-3（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为 【答案】 【分析】利用命题的否定与原命题为一真一假，来把题意转化为全称量词命题，且为真命题来求解即可. 【详解】由题意可得，：，为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数的对称轴为， 所以当时，， 所以，即，解得或， 即实数m的取值范围为. 故答案为：. 4-4（24-25高一上·云南·期中）已知命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，恒成立，即可求解. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，， 当，取得最大值，所以. 故答案为：. 题型五、一元二次不等式在某区间上有解问题 例5（24-25高一上·安徽·期中）已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含量词的命题为真命题，可得关于参数的不等式，解得的范围，依题再求各范围的交集即得. 【详解】由命题“”是真命题，可得，即； 由命题“”为真命题，可得，解得， 因命题均为真命题，故可得． 故选：B． 5-1（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次函数的性质求得命题中的的范围，再由p是q是成立的必要不充分条件，判断求解即可. 【详解】对于，即， 所以，解得或， 因为p是q成立的必要不充分条件， 所以， 所以区间D可以为. 故选：B. 5-2（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设为真命题，有求参数范围. 【详解】由题意得，命题“”为真命题， 则，解得或. 故选：B 5-3（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 5-4（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 题型六、一元二次不等式的实际应用 例6（23-24高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 【详解】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 6-1（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 6-2（24-25高一上·广东揭阳·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元，表示出每天出售衬衫的净收入，由不等关系列出不等式，解出的范围，即可得件衬衫的售价的取值范围. 【详解】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元， 则每天出售衬衫的净收入为：（元）， 由题可知，， 整理得，，解得， ， 每件衬衫的售价的取值范围是. 故答案为：. 1．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 2．命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由存在命题、判别式以及充要条件的性质求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 故选：D. 3．命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果． 【详解】因为“，使”是假命题， 所以，恒成立是真命题， 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 故选：C. 4．恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 5．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由存在量词命题为真求得的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项. 【详解】由，可得在上能成立， 因，故得. 由题意知，是选项的范围的真子集即可. 故选：D. 6．河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 多选题 7．下列结论正确的是（    ） A．若方程没有根，则不等式的解集为 B．若不等式的解集是，则 C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】由方程和不等式之间的关系能判断A、B、C，由分式不等式能确定选项D. 【详解】选项A：若方程没有根，则， 故当时，不等式的解集为，故不符合题意；A错误. 选项B：不等式的解集是，则、为方程的根， 则代入得；故B正确； 选项C：当时，不等式变为，则解集不是R，不符合题意； 当时，不等式得解集为R，则，即； 综上，，故C正确； 选项D：不等式，即，解得，故D正确. 故选：BCD 8．关于的不等式的解集为，则下列正确的是（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．关于的不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据的解集求出、、的关系，并逐一判断每一选项即可. 【详解】由已知可得且-1，2是方程的两根，所以A选项不正确； 由根与系数的关系可得 . 解得，， 则不等式可化为，即， 所以，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 不等式可化为，化为， 解不等式得，故不等式的解集为，所以D选项不正确. 故选：BC. 9．已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AB 【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可. 【详解】由，， 可得：，设， 当时，， 当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 10．已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 11．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 12．定义运算，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将题给不等式转化为对任意实数x恒成立，再分和讨论即可求出a的取值范围. 【详解】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数x恒成立； 当时，，恒成立； 当时，则有，解得， 综上，，则实数a的取值范围是 故答案为： 13．对于任意的，都存在b，，使得关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据，结合三角不等式的关系即可求解. 【详解】令， 由于对任意的，都有， 故， ， 因此，故， 又，，故， 当，即可取到等号，此时, 满足在上恒成立，故最大值为2， 故答案为：2 14．已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以，只需，解得：， 当时，显然满足题意， 综上，的取值范围为， 故答案为： 15．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 【答案】 【分析】设草坪的宽为米，则长为米，由长比宽至少多米，则，即可求得花卉宽的取值范围. 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是. 故答案为：. 16．已知函数（）. (1)若不等式恒成立，求m的取值范围； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式恒成立，转化为恒成立，分类讨论，结合二次函数的性质列出不等式组，即可求解； （2）由不等式，得到， 结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； 【详解】（1）当时，，不满足恒成立，舍去； 当时，由二次函数的性质可得， 解得， 所以m的取值范围为. （2）由不等式，可得， 即， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，不等式可化为， ①当时，不等式等价于，解得或， 不等式的解集为； ②当时，不等式等价于， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）不等式化为，求出的最小值即可； （2）不等式化为，求出不等式对应方程的根，讨论两根的大小，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）不等式可化为， 当时，， 所以不等式化为，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是； （2）不等式可化为， 因为，所以不等式对应方程的根为1和， 当时，， 所以时，不等式为，解得； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 18．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 一元二次不等式的应用 1.实际问题的不等式建模，应用的核心是将实际场景(如利润、面积、长度、增长率等)转化为一元二次不等式(重点) 2.含参数的恒成立与存在性问题，这是应用中的高频难点，核心是“通过二次函数最值转化不等式,(重、难点) 3.解集与实际意义的匹配，解出的不等式解集需结合实际场景的约束条件(如变量非负、整数性、范围限制)的筛选(难点) 知识点1 解简单的分式不等式 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形.保证分母不为零 (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为露的形式,然后再求解, 分式不等式（如 ）需转化为整式不等式，但需注意： 等价于 且分母不为 0 （易错点：忘记排除分母为 0 的情况）。 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 已知以a, b, c为参数的不等式（如 ）的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 （1）根据解集来判断二次项系数的符号。 （2）根据根与系数的关系把b, c用 表示出来并代入所要解的不等式。 （3）约去 ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 一元二次不等式的标准形式为 （或 ），其中 。 若 ，需先将其化为 的形式（两边同乘 -1 ），同时必须反转不等号方向（易错点：忘记变号）。 若题目中未明确 （如含参数的不等式），需先讨论 的情况（此时为一次不等式），再处理 的二次情形（避免漏解）。 知识点3 一元二次不等式的实际应用 解不等式应用题的步骤 读: 阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量找准不等关系 建：将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 解：解不等式,得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义 答：回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 严格不等号 ：解集不包含方程的根；非严格不等号（ ）：解集包含方程的根（若有根）。应用题中需结合实际意义判断端点是否有效（如时间、长度、人数等需非负所需剔除不符合实际的解）。 题型一、一元二次不等式恒成立问题 例1（24-25高一上·广东广州·期中）“不等式在上恒成立”的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1-1（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1-2（24-25高一上·江苏扬州·期中）若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 1-3（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 1-4（24-25高一上·湖南怀化·期中）若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是 . 题型二、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 例2（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 2-2（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 题型三、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 例3（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3-1（24-25高一上·北京·期中）不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3-2（24-25高一上·福建福州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3-3（24-25高一上·陕西·期中）不等式对恒成立，则实数的取值范围为 ． 3-4（23-24高一上·广东韶关·期中）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 题型四、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 例4（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4-1（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4-2（23-24高一上·辽宁·期中）关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4-3（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为 4-4（24-25高一上·云南·期中）已知命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 题型五、一元二次不等式在某区间上有解问题 例5（24-25高一上·安徽·期中）已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5-1（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 5-2（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 5-3（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 5-4（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 题型六、一元二次不等式的实际应用 例6（23-24高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 6-1（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 6-2（24-25高一上·广东揭阳·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 1．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 3．命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 多选题 7．下列结论正确的是（    ） A．若方程没有根，则不等式的解集为 B．若不等式的解集是，则 C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解集为 8．关于的不等式的解集为，则下列正确的是（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．关于的不等式的解集为 9．已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 10．已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 11．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 12．定义运算，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 13．对于任意的，都存在b，，使得关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 14．已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 15．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 16．已知函数（）. (1)若不等式恒成立，求m的取值范围； (2)解不等式. 17．已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 18．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$