2.3.1 一元二次不等式及其解法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式及其解法，涵盖概念、与二次函数及方程的联系、含参与不含参解法等核心内容。课堂从实际情境抽象概念，衔接二次函数与方程知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过合作探究（如含参不等式分类讨论）、规律方法总结（解不等式四步骤）及分层评价，培养数学思维（逻辑推理、分类讨论）与数学语言（符号表达解集）。例如典例4结合韦达定理转化不等式，体现数形结合，助力学生深化理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

2.3.1　一元二次不等式及其解法 　 第2章　2.3　一元二次不等式 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数形结合的思想方法，培养数学运算的核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　一元二次不等式的概念 定义：一般地，只含有______未知数，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式. 点拨　一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)； (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 知识梳理 一个 2 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象       一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 __________________ ____ 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __________________ ____ ____ {x｜x＜x1或x＞x2} R {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 点拨　从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即一元二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围. (2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式. (　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜x1＜x＜x2}，则必有a＞0. (　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2. (　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R. (　　) × √ √ × 自主检测 2.不等式2－x－x2＞0的解集是 A.{x｜x＜－2或x＞1} B.{x｜x＜－1或x＞2} C.{x｜－1＜x＜2} D.{x｜－2＜x＜1} √ 不等式2－x－x2＞0可化为x2＋x－2＜0.分解因式可得(x－1)(x＋2)＜0，对应方程的根为x＝1或x＝－2，则不等式2－x－x2＞0的解集是{x｜－2＜x＜1}. 3.下列不等式中是一元二次不等式的是 A.a2x2＋2≥0 B.＜3 C.－x2＋x－m≤0 D.x3－2x2＋1＞0 √ 选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合. 4.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－3＜x＜4}，则不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集为_______________. {x｜－3＜x＜5} 因为ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－3＜x＜4}， 所以a＜0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根. 由根与系数的关系得 所以不等式bx2＋2ax－c－3b＜0，即－ax2＋2ax＋15a＜0，即x2－2x－15＜0，易知其解集为{x｜－3＜x＜5}.故所求的不等式的解集为{x｜－3＜x＜5}. 返回 合作探究 返回 探究点一　不含参数的一元二次不等式的解法 求下列不等式的解集. (1)x2－5x＋6≤0； 解：原不等式即为(x－2)(x－3)≤0， 解得2≤x≤3， 故原不等式的解集为{x｜2≤x≤3}； (2)－2x2＋5x－3≤0； 解：将原不等式变形为2x2－5x＋3≥0， 即(2x－3)(x－1)≥0，解得x≤1或x≥， 故原不等式的解集为； 典例 1 (3)x2－6x＋9＞0； 解：将原不等式变形为(x－3)2＞0，解得x≠3，故原不等式的解集为{x｜x≠3}； (4)x2＋x＋1＞0. 解：对于不等式x2＋x＋1＞0，Δ＝1－4＜0，故原不等式的解集为R. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 规律方法 对点练1．不等式(5－x)(x＋4)≥18的解集是 A.[－1，2] B.[－2，1] C.(－∞，－1]∪[2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞) √ 原不等式可化为x2－x－2≤0， 即(x－2)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤2. 所以不等式的解集为[－1，2].故选A. 探究点二　分式不等式的解法 解下列关于x的不等式. (1)＞0； 解：原不等式等价于(4x＋2)(3x－1)＞0， 所以原不等式的解集为. 典例 2 (2)≥1. 解：原不等式可化为≤0， 所以原不等式等价于 所以原不等式的解集为. 简单分式不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 规律方法 对点练2．不等式≥0的解集为 A.{x｜0≤x≤1} B.{x｜0＜x≤1} C.{x｜x≤0或x≥1} D.{x｜x＜0或x≥1} √ 原不等式可化为故其解集为{x｜0＜x≤1}，故选B. 探究点三　含参数一元二次不等式的解法 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1. ②当a＜0时，原不等式化为(x－1)＞0， 解得x＜或x＞1. ③当a＞0时，原不等式化为(x－1)＜0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1； 典例 3 若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为 ； 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为 ； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为 . 含参数一元二次不等式的解法 规律方法 对点练3．解关于x的不等式x2＋x－m(m－1)＞0(m∈R). 解：原不等式可以化为(x＋m)(x－m＋1)＞0， 当－m＞m－1，即m＜时，原不等式的解集为(－∞，m－1)∪(－m，＋∞)； 当－m＝m－1，即m＝时，原不等式的解集为； 当－m＜m－1，即m＞时，原不等式的解集为(－∞，－m)∪(m－1，＋∞). 探究点四　三个“二次”之间的关系 若关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a＜0的解集. 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a＜0，且－，2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根， 所以所以b＝－a，c＝－a， 所以不等式cx2－bx＋a＜0可变形为 典例 4 x2－x＋a＜0， 即2ax2－5ax－3a＞0. 又a＜0，所以2x2－5x－3＜0， 解方程2x2－5x－3＝0，得x1＝－，x2＝3，结合二次函数y＝2x2－5x－3的图象知，所求不等式的解集为. 一元二次不等式解集逆向应用的解法及步骤 1.求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集. 2.求解步骤 第一步：审结论——明确解题方向 如要解ax2＋bx＋c＜0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值. 第二步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c＜0的解集. 规律方法 对点练4．已知不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是[－2，5]，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集是 A.∪ B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C. D.(－2，5) √ 由题意可得则b＝－3a，c＝－10a，从而cx2＋bx＋a＜0等价于10x2＋3x－1＜0，即(2x＋1)(5x－1)＜0，解得－＜x＜.故选C. 返回 随堂评价 返回 1.下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋＞0；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x＋4＜1.其中解集为R的是 A.① B.② C.③ D.④ √ ①显然不符合要求；②中Δ＝(－2)2－4×＞0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10＜0，符合要求；④中不等式可化为2x2－3x＋3＜0，所对应的二次函数开口向上，不符合要求.故选C. 2.已知a＜0，关于x的一元二次不等式ax2－(2＋a)x＋2＞0的解集为 A. B. C. D. √ ax2－(2＋a)x＋2＞0等价于(ax－2)(x－1)＞0，因为a＜0，所以(x－)(x－1)＜0，解得＜x＜1，故原不等式的解集为{x｜＜x＜1}. 3.不等式≥－1的解集是_______________. {x｜x≤0或x＞1} 因为≥－1可化为＋1≥0， 所以≥0，即 解得x≤0或x＞1， 所以不等式的解集是{x｜x≤0或x＞1}. 4.若不等式ax2＋(1－a)x＋a－3≥－3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解：由题意可知，关于x的不等式ax2＋(1－a)x＋a≥0对一切实数x恒成立. 当a＝0时，则有x≥0，不符合题意； 当a≠0时，则有 解得a≥. 综上所述，a≥. 返回 课时分层评价 返回 1.不等式(x－1)2＜x＋5的解集为 A.{x｜1＜x＜4} B.{x｜－1＜x＜4} C.{x｜－4＜x＜1} D.{x｜－1＜x＜3} √ 原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x｜－1＜x＜4}.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 求解二次不等式a2＞a可得：a＞1或a＜0， 据此可知：a＞1是a2＞a的充分不必要条件. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.不等式的解集是 A.{x｜x＜2} B.{x｜x＞2} C.{x｜0＜x＜2} D.{x｜x＜0或x＞2} √ 不等式＜0，等价于＜0，等价于2x(2－x)＜0，解得x＜0或x＞2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.在R上定义运算☉：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉(x－2)＜0的实数x的取值范围为 A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜－2＜x＜1} C.{x｜x＞1或x＜－2} D.{x｜－1＜x＜2} √ 由a☉b＝ab＋2a＋b，得x☉(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以－2＜x＜1. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－4，1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0的解集为 A. B. C.{x｜－1＜x＜4} D.{x｜x＜－2或x＞1} √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 由题可知，ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根－4，1.根据根与系数的关系得 因此，b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0可化为3ax2－3a＋ax＋3a－4a＞0，所以3x2＋x－4＜0， 解得－＜x＜1，故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.不等式x2－4x＋4≤0的解集是_________. {x｜x＝2} 原不等式可化为(x－2)2≤0，所以x＝2. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.不等式≤1的解集为______________. {x｜－2≤x＜1} 原不等式可化为－1≤0，即≤0，等价于解得－2≤x＜1，所以原不等式的解集为{x｜－2≤x＜1}. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b＝______. －14 由已知得 ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0. 所以 所以a＋b＝－14. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)解下列不等式. (1)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)； 解：由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. 所以原不等式等价于9x2－12x＋4＞0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 (2)0≤x2－2x－3＜5； 解：原不等式等价于由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3； 由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4.所以－2＜x≤－1或3≤x＜4.所以原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1或3≤x＜4}. (3)≤3； 解：≤3可化为－3≤0， 即≤0， 等价于(x－1)(x＋1)≤0，且x＋1≠0， 解得－1＜x≤1，因此原不等式的解集为{x｜－1＜x≤1}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 (4)≤0. 解：当a＞－1时，不等式等价于 此时不等式的解集为{x｜－1≤x＜a}； 当a＜－1时，不等式等价于 此时不等式解集为{x｜a＜x≤－1}； 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 当a＝－1时，不等式变为1≤0，其解集为⌀. 综上，当a＜－1时，解集为{x｜a＜x≤－1}； 当a＝－1时，解集为⌀； 当a＞－1时，解集为{x｜－1≤x＜a}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知关于x的不等式x2－mx＋3＜0的解集为{x｜n＜x＜3}. (1)求m，n的值； 解：由题意，知n，3是关于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的两个实根， 所以即m＝4，n＝1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)当a＜1时，解关于x的不等式ax2－2(a＋n)x＋m＞0的解集. 解：由(1)知不等式ax2－2(a＋n)x＋m＞0可化为ax2－2(a＋1)x＋4＞0，即(ax－2)(x－2)＞0. ①当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＜2}； ②当a＜0时，不等式可化为(x－2)＜0，因为＜2，所以不等式的解集为； 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 ③当0＜a＜1时，不等式可化为(x－2)＞0，因为＞2，所以不等式的解集为. 综上，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＜2}； 当a＜0时，不等式的解集为； 当0＜a＜1时，不等式的解集为. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8＞0，下列说法正确的是 A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4} B.当a＞0时，不等式的解集为 C.当a＝－时，不等式的解集为R D.当a＝－1时，不等式的解集为{x｜2＜x＜4} √ √ √ 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 不等式ax2＋(2－4a)x－8＞0可化为(ax＋2)(x－4)＞0， 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}，故A正确. 当a＞0时，不等式的解集为，故B正确； 当a＝－时，不等式化为x2－4x＋8＜0， Δ＝(－4)2－4××8＝0，不等式的解集为空集，故C错误. 当a＝－1时，不等式化为x2－6x＋8＜0， 不等式的解集为{x｜2＜x＜4}，故D正确. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.若∃x∈R，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≥0的解集为⌀，则实数a的取值范围是________________. ∃x∈R，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≥0的解集为⌀，等价于∀x∈R，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R. ①当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1. 若a＝1，则不等式为－1＜0，恒成立，满足题意； 若a＝－1，则不等式为2x－1＜0，即x＜，不合题意，舍去. 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 ②当a2－1≠0，即a≠±1时，不等式的解集为R的条件是解得－＜a＜1.综上所述，a的取值范围是. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 2.3　一元二次不等式 返回 $