2.3.1 一元二次不等式及其解法（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P205] 1．不等式(x－1)≥0的解集是(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1} C　[当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1. ∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．] 2．已知a>1，则不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(　　) A．{x|x＞a} B．{x|x＜1} C．{x|1＜x＜a} D．{x|x＜1或x＞a} C　[x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－a)(x－1)<0， ∵a>1，∴不等式的解为1<x<a.] 3．(多选题)在下列不等式中，解集不是∅的是(　　) A．2x2－3x＋2>0 B．x2＋4x＋4≤0 C．4－4x－x2<0 D．－2＋3x－2x2>0 ABC　[不等式－2＋3x－2x2>0可化为2x2－3x＋2<0，因为Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7<0，所以不等式－2＋3x－2x2>0的解集为∅.] 4．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　) A．{x|x＜－1或x＞3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|－1＜x＜3} D．{x|x＜1或x＞3} C　[因为关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，所以不等式ax<b的解集是(1，＋∞).所以a＝b<0.所以不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3.所以该不等式的解集是(－1，3).] 5．(多选题)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　) A．a<0 B．b<0且c>0 C．a＋b＋c>0 D．不等式ax2－cx＋b<0的解集是R AB　[由题意，不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)， 可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以，且a<0， 所以A正确； 又由b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以B正确； 当x＝－1时，此时a＋b＋c＝0，所以C不正确； 把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b<0，可得ax2＋2ax＋a<0， 因为a<0，所以x2＋2x＋1>0，即(x＋1)2>0，此时不等式的解集为{x|x≠－1}， 所以D不正确．] 6．设a＜－1，则关于x的不等式a(x－a)＜0的解集为________． 　[因为a＜－1，所以a(x－a)＜0⇔(x－a)＞0.又a＜－1，所以＞a.所以x＞或x＜a.] 7．若关于x的不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1<x<m}，则m＝________，t＝________． 2　2　[∵不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1<x<m}，∴1，m是方程x2－3x＋t＝0的两根． ∴解得] 8．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为________． [－1，1]　[已知不等式等价于(1)或(2) 由(1)，得解得－1≤x≤0； 由(2)，得解得0<x≤1. 因此原不等式的解集为[－1，1].] 9．解下列不等式： (1)≥0；(2)<0. 解　(1)≥0等价于∴x≤－5或x>2. ∴原不等式的解集为(－∞，－5]∪(2，＋∞). (2)原不等式可化为>0， 即(x－1)(x－5)(x＋2)(x－6)>0. 由于方程(x－1)(x－5)(x＋2)(x－6)＝0的根为－2，1，5，6，用穿根法(如图)得解集为{x|x<－2或1<x<5或x>6}． 10．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0). 解　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)(x－)≤0. 当－2<a<0时，≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1；当a<－2时，－1≤x≤. 综上，当－2<a<0时，解集为； 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 当a<－2时，解集为. 11．不等式≥的解集为(　　) A．∪[1，3] B．(－∞，0)∪ C．∪[1，3] D．(－∞，0)∪∪[1，3] D　[原不等式等价于－≥0， 即≤0， 由穿根法(如图所示)得解集为(－∞，0)∪∪[1，3].] 12．已知集合A＝{x|x2＋3x－18>0}，B＝{x|(x－k)(x－k－1)≤0}，若A∩B≠∅，则实数k的取值范围是________． (－∞，－6)∪(2，＋∞)　[由x2＋3x－18>0，得 (x＋6)(x－3)>0， ∴x>3或x<－6，∴A＝{x|x<－6或x>3}． 由(x－k)(x－k－1)≤0，得k≤x≤k＋1， ∴B＝{x|k≤x≤k＋1}． ∵A∩B≠∅，作出图形(如图)，∴k＋1>3或k<－6， 解得k>2或k<－6，∴k的取值范围是(－∞，－6)∪(2，＋∞).] 13．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________，原不等式的解集为____________． 　{x|－5＜x＜10}　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝.此时原不等式可化为x2－5x－50＜0，解得－5＜x＜10.] 14．关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围． 解　原不等式等价于(ax－1)(x－1)<0，分类讨论： (1)当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)，整数不止3个； (2)当a≠0时，方程(ax－1)(x－1)＝0的两根为和1. ①当0<a<1时，不等式的解集为，当4<≤5时满足条件，得≤a<； ②当a＝1时，不等式的解集为∅； ③当a>1时，不等式的解集为，显然不满足题意； ④当a<0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)，整数不止3个． 综上所述，a的取值范围是. 15．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2＋bn<(an＋b)x. 解　(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根且a>0，b≥1.由一元二次方程根与系数的关系式得解得a＝1，b＝2. (2)由(1)知a＝1，b＝2，故原不等式可化为x2－(2＋n)x＋2n<0，即(x－2)(x－n)<0. ①当n>2时，原不等式的解集为{x|2<x<n}． ②当n＝2时，原不等式的解集为∅. ③当n<2时，原不等式的解集为{x|n<x<2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$