2.1.2基本不等式、2.1.3基本不等式的应用 课件——2022－2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式 2.1.2+2.1.3基本不等式 温故知新 图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将图中的“风车”抽象成图.在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为.由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式： 温故知新 借水行舟 激流勇进 乘风破浪 回头望月 温故知新 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有： 于是就有 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 事实上，利用完全平方公式，得： 因为，， 当且仅当时，等号成立，所以. 因此，由两个实数大小关系的基本事实， 得，当且仅当时，等号成立. 温故知新 借水行舟 激流勇进 乘风破浪 回头望月 基本不等式 有当且仅当时，等号成立. 特别地，如果，，我们用分别代替上式中的，可得 (1) 当且仅当时，等号成立. 通常称不等式(1)为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 温故知新 借水行舟 激流勇进 乘风破浪 回头望月 基本不等式 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 温故知新 借水行舟 激流勇进 乘风破浪 回头望月 基本不等式 在图中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 如图，可证 因而 由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为 . 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 温故知新 借水行舟 激流勇进 乘风破浪 回头望月 例题 例1.已知求的最小值. 解：∵∴ 当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2. 在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，