1.1.1 第2课时 表示集合的方法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，系统讲解列举法、描述法及区间的定义与格式，通过新知梳理、自主检测衔接前后知识，以问题链搭建学习支架，引导学生逐步掌握集合表示的逻辑规范与应用场景。 其亮点在于以典例驱动探究，如用列举法表示方程解、描述法表示函数图像点集，结合新定义问题（如A*B集合运算）培养数学抽象与创新意识。分层评价设计（随堂检测、课时分层）帮助教师精准掌握学情，学生通过实践提升运算能力，教师教学更具针对性。

1.1.1　集　合 第2课时　表示集合的方法 　 第1章　1.1　集　合 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合，提升数学抽象与数学运算的核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　列举法 定义：把集合中的元素__________出来，叫作列举法. 格式：在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用______分隔. 点拨　用列举法表示集合时，应注意： (1)元素与元素之间需用“，”隔开. (2)集合中的元素必须是确定的. (3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复. 知识梳理 一一列举 逗号 知识点二　描述法 定义：把集合中元素________，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法. 格式：在一个大括号里写出集合中元素的共有属性.或在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件. 点拨　描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等. (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等. (3)不能出现未被说明的字母. 共有的 知识点三　区间及相关概念 1.区间的概念及记法 设a，b是两个实数，且a＜b，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 __________   {x｜a＜x＜b} 开区间 ________   {x｜a≤x＜b} 左闭右开区间 _________   {x｜a＜x≤b} 左开右闭区间 _________   2.无穷大 实数集R可以用区间表示为______________，符号“∞”读作“无穷大”或“无穷”，“－∞”读作“负无穷大”(或“负无穷”)，“＋∞”读作“正无穷大”(或“正无穷”). [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (－∞，＋∞) 3.特殊区间的表示 点拨　(1)区间左端点的值小于右端点的值. (2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开. (3)“∞”是一个符号，而不是一个数. (4)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号. 定义 区间 数轴表示 {x｜x≥a} ____________   {x｜x＞a} ___________   {x｜x≤b} ____________   {x｜x＜b} ___________   [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}. (　　) (2)集合{(1，2)}中的元素是1和2. (　　) (3)集合{x｜x＞3}与集合{t｜t＞3}表示同一个集合. (　　) × × √ 自主检测 2.用列举法表示集合{x｜x2－2x＋1＝0}为 A.{1，1} B.{1} C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0} √ 由集合中元素的互异性知集合中只有1个元素1. 3.用描述法表示函数y＝x＋1图象上的点的集合是 A.{x｜y＝x＋1} B.{y｜y＝x＋1} C.{(x，y)｜y＝x＋1} D.{y＝x＋1} √ 因为集合是点集，所以代表元素是(x，y). 4.用区间表示下列数集： (1){x｜x≥1}＝_________； (2){x｜2＜x≤3}＝_________. [1，＋∞) (2，3] 返回 合作探究 返回 探究点一　用列举法表示集合 用列举法表示下列集合： (1)方程x2－1＝0的解组成的集合； 解：方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}. (2)单词“see”中的字母组成的集合； 解：单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}. 典例 1 (3)所有正整数组成的集合； 解：正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}. (4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合. 解：方程组所求集合用列举法表示为{(1，1)}. 用列举法表示集合的3个步骤 1.求出集合的元素； 2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3.用大括号括起来. 规律方法 对点练1．用列举法表示集合{x｜x－2＜3，x∈N＋}为 A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5} √ 因为x－2＜3，所以x＜5.又x∈N＋，所以x＝1，2，3，4.故选B. 探究点二　用描述法表示集合 用描述法表示下列集合： (1){2，4，6，8，10，12}； 解：可表示为{x｜x＝2n，n∈N＋且n≤6}. (2)； 解：可表示为{x｜x＝，n∈N＋且n≤5}. (3)正偶数集； 解：可表示为{x｜x＝2n，n∈N＋}. 偶数用式子可表示为x＝2n，n∈Z，但此题要求x为正偶数，故x＝2n，n∈N＋. 典例 2 (4)被3除余2的正整数组成的集合； 解：可表示为{x｜x＝3n＋2，n∈N}. 设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但此题要求x为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，也可以写成x＝3n－1，n∈N＋，注意此时n从1开始. (5)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； 解：可表示为{(x，y)｜xy＝0}. 此集合是点集，坐标轴上的点(x，y)的特征是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0. (6){1，22，32，42，…}. 解：可表示为{x｜x＝n2，n∈N＋}. 集合中各元素为正整数的平方，故各元素可表示为x＝n2，n∈N＋，也可以写成x＝(n＋1)2，n∈N. 描述法表示集合的2个步骤 规律方法 对点练2．选择适当的方法表示下列集合： (1)大于1且小于8的有理数； 解：大于1且小于8的有理数有无数个， 用描述法表示为{x∈Q｜1＜x＜8}. (2)由(a，b∈R)所确定的实数集合； 解：关键是根据绝对值的意义化简，设x＝，当a＞0，b＞0 时，x＝2；当a＜0，b＜0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2，0，2}. (3)不等式2x－3＜5的解组成的集合. 解：不等式2x－3＜5的解x＜4组成的集合可用描述法表示为{x｜x＜4}. 探究点三　用区间表示集合 用区间表示下列数集： (1){x｜x≥－1}； 解：{x｜x≥－1}＝[－1，＋∞). (2){x｜x＜0}； 解：{x｜x＜0}＝(－∞，0). (3){x｜－1＜x＜1}； 解：{x｜－1＜x＜1}＝(－1，1). (4)R； 解：R＝(－∞，＋∞). (5){x｜2≤x≤4}. 解：{x｜2≤x≤4}＝[2，4]. 典例 3 用区间表示数集的方法 1.区间左端点值小于右端点值； 2.区间两端点之间用“，”隔开； 3.含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； 4.以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 规律方法 对点练3．已知区间(4p－1，2p＋1)，则p的取值范围为_________. (－∞，1) 由题意，得4p－1＜2p＋1，所以p＜1. 对点练4．我们一般称b－a(b＞a)为{x｜a≤x≤b}所表示的区间长度，则{x｜－2≤x≤4}所表示的区间长度为____. 6 由题意得，所求区间长度为4－(－2)＝6. 探究点四　集合表示法的综合应用 若集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解：若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}. 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}. 典例 4 集合与方程的综合问题的解题步骤 1.弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根. 2.当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论. 3.求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. 规律方法 变式探究 1.(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围. 解：由题意得 解得k＜1，且k≠0. 综上，实数k的取值范围为{k｜k＜1且k≠0}. 2.(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围. 解：①当集合A中含有1个元素时，由典例4知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k＞1. 综上，实数k的取值范围为{k｜k＝0或k≥1}. 探究点五　集合的新定义问题(创新型) 定义集合运算：A*B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}.设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中元素的个数为 A.0 B.2 C.3 D.6 典例 5 √ 因为z＝xy，x∈A，y∈B，所以z的取值有1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，所以A*B＝{0，2，4}，故集合A*B中元素的个数为3. 　　对于新定义集合计数问题，首先要准确理解新定义，其次通过列举(具体化)或图形(形象化)弄清集合中有哪些元素，最后数出集合中元素的个数. 规律方法 对点练5．已知集合A＝{(x，y)｜x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)｜｜x｜≤2，｜y｜≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)｜x1，y1∈A，x2，y2∈B}，则A⊕B中元素的个数为 A.77 B.49 C.45 D.30 √ 当x1＝0时，y1∈{－1，0，1}，而x2，y2∈{－2，－1，0，1，2}， 此时x1＋x2∈{－2，－1，0，1，2}，y1＋y2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}. 则A⊕B中元素的个数为5×7＝35. 当x1＝±1时，y1＝0，而x2，y2∈{－2，－1，0，1，2}，此时x1＋x2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，y1＋y2∈{－2，－1，0，1，2}. 由于x1＋x2∈{－2，－1，0，1，2}，y1＋y2∈{－2，－1，0，1，2}时，存在A⊕B中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素的个数为2×5＝10，所以A⊕B中元素的个数为35＋10＝45. 返回 随堂评价 返回 1.方程组的解集是 A.(－5，4) B.(5，－4) C.{(－5，4)} D.{(5，－4)} √ 解方程组故解集为{(5，－4)}，选D. 2.集合的另一种表示形式是 A. B. C. D. √ 因为x∈N＋，又x－2＜3，得x＜5，故x的可能取值为1，2，3，4.故选B. 3.已知集合A＝{a∈Z｜∈N}，则A可用列举法表示为______________. {－1，2，3，4} 由∈N，可知0＜5－a≤6，即－1≤a＜5，又a∈Z，所以当a＝－1时，＝1∈N；当a＝0时，＝∉N；当a＝1时，＝∉N；当a＝2时，＝2∈N；当a＝3时，＝3∈N；当a＝4时，＝6∈N.综上可得A＝{－1，2，3，4}. 4.(易错题)已知集合A＝{x｜(a－1)x2＋3x－2＝0}是单元素集，则实数a的取值集合为_________. 由集合A＝{x｜(a－1)x2＋3x－2＝0}是单元素集，可得方程(a－1)x2＋3x－2＝0只有一个解，当a－1＝0，即a＝1时，方程为3x－2＝0，解得x＝，此时A＝，符合题意；当a－1≠0，即a≠1时，则满足Δ＝9－4(a－1)×(－2)＝0，解得a＝－，此时A＝，符合题意.综上可得，实数a的取值集合为. 返回 课时分层评价 返回 1.集合用描述法可表示为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 通过观察发现3，，，，…中的第n个数的分母为n，分子为2n＋1，所以集合{3，，，，…}用描述法可表示为.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(多选)M＝{(x，y)｜x＋y≤1，x∈N，y∈N}中的元素有 A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(2，－1) √ 因为M＝{(x，y)｜x＋y≤1，x∈N，y∈N}， 所以 所以M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知集合A＝{x∈R｜ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，则集合A＝ A.{－3} B.{1} C. D. √ 因为1∈A，所以a＋2＋1＝0，所以a＝－3，所以集合A中的方程为－3x2＋2x＋1＝0，解得x＝－或x＝1，所以A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)给出下列说法，其中正确的是 A.集合{x∈N｜x3＝x}用列举法表示为{0，1} B.实数集可以表示为{x｜x为所有实数}或{R} C.方程组的解组成的集合为{x＝1，y＝2} D.方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)} √ √ 对于A，由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1∉N，所以集合{x∈N｜x3＝x}用列举法表示应为{0，1}. 对于B，集合表示中的符号“{　　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”也表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为{x｜x为实数}或R. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 对于C，方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表 示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1， 2)}或. 对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，故集合为{(2，－3)}. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算ⓧ：当m，n都为偶数或奇数时，mⓧn＝m＋n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，mⓧn＝mn.在上述定义下，集合M＝{(x，y)｜xⓧy＝36，x∈N＋，y∈N＋}中元素的个数为 A.48 B.41 C.40 D.39 √ 若x和y一个为奇数，一个为偶数，则xy＝36，满足此条件的有1×36，3×12，4×9，故点(x，y)有6个；若x和y都为偶数或奇数，则x＋y＝36，满足此条件的有1＋35，2＋34，3＋33，4＋32，…，35＋1，对应的点(x，y)有35个.综上可知，集合M中元素的个数为6＋35＝41. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.已知集合A＝，用列举法表示集合A，则A＝___________ ______. {－1，1， 3，5} 因为A＝， 所以A＝{－1，1，3，5}. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)｜x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为____. 1 因为A＝{1，2}，B＝{(x，y)｜x∈A，y∈A，x＋y∈A}，且只有当x＝y＝1时，x＋y∈A， 所以B＝{(1，1)}，只有一个元素. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.设－5∈{x｜x2－ax－5＝0}，则集合{x｜x2＋ax＋3＝0}＝_______. {1，3} 由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4， 则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3， 所以{x｜x2－4x＋3＝0}＝{1，3}. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； 解：解方程组，也可用列举法表示为{(4，－2)}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； 解：小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，可用列举法表示为{3，5，7，11}. (3)方程x2＋2x＋1＝0的实数根组成的集合； 解：方程x2＋2x＋1＝0的实数根为－1，因此可用列举法表示为{－1}，也可用描述法表示为{x∈R｜x2＋2x＋1＝0}. (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合. 解：二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)｜y＝x2＋2x－10}. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知集合A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}. (1)若A中只有一个元素，求a的值； 解：当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，此时x＝－，与题意相符； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，由Δ＝4－4a＝0得a＝1，原方程的解为x＝－1，与题意相符. 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围； 解：A中至多有一个元素，则A中只有一个元素或没有元素.当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，原方程无实数解. 结合(1)知，当a＝0或a≥1时，A中至多有一个元素. (3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围. 解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，由Δ＞0得a＜1. 结合(1)可知，当a≤1时，A中至少有一个元素. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.(新定义)定义集合运算：A☉B＝{z｜z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}.设集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，则集合A☉B的所有元素的平均数为 A.14 B.15 C.16 D.17 √ 根据题意，A☉B＝{z｜z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，且集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，当x＝0，y＝1或2时，都有z＝0；当x＝3，y＝1时，有z＝3×1×(3＋1)＝12；当x＝3，y＝2时，有z＝3×2×(3＋2)＝30，则A☉B＝{0，12，30}，其平均数为＝14.故选A. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选)(新定义)设集合S中的元素均为实数，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集.下列命题正确的是 A.自然数集N为封闭集 B.整数集Z为封闭集 C.集合S＝{a＋b｜a，b为整数}为封闭集 D.若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集 √ √ √ 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，取1，2∈N，则1＋2∈N，1－2＝－1∉N，故自然数集N不是封闭集；对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集；对于C，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2，a1，b1，a2，b2都是整数，则a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，故x＋y＝a1＋a2＋(b1＋b2)∈S，同理x－y＝a1－a2＋(b1－b2)∈S，xy＝(a1＋b1)(a2＋b2)＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，故集合S＝{a＋b｜a，b为整数}为封闭集，故C正确；对于D，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，则0－1＝－1∈S，1＋2＝3∈S，依此类推可得所有整数都属于S，则S一定为无限集，故D正确.故选BCD. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 1.1　集　合 返回 $