1.1.1 第1课时 集合与元素-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦集合与元素的概念、关系、特性及常用数集，通过自主检测中的实例辨析（如“book”字母集合元素个数），搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知，理解集合的确定性、互异性和无序性。 其亮点在于以合作探究为核心，设置集合概念辨析、元素关系判断等探究点，结合典例与变式训练（如已知1∈A求实数a的值），培养数学抽象与逻辑推理素养。采用分层评价与规律方法总结，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

1.1.1　集　合 第1课时　集合与元素 　 第1章　1.1　集　合 学习目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，培养数学抽象的核心素养. 2.利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系，培养逻辑推理核心素养. 3.识记常见数集的表示符号. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　集合与元素 1.集合与元素的概念 在数学语言中，把一些______放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或____.这些对象的总的名称，就是这个集合的名字.这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个______. 点拨　(1)集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似，只是描述性的说明. (2)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体. (3)组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等，也可以是人或物等. 知识梳理 对象 集 元素 2.集合与元素的关系 点拨　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的归属关系，注意开口方向.   关系 概念 记法 读法 集合 与元 素的 关系 属于 如果_________________，就说a属于集合S a∈S a属于S 不属于 如果_______________，就说a不属于集合S a∉S(或a∉S，a⋷S) a不属于S a是S的一个元素 a不是S的元素 3.集合的基本属性 (1)同一集合中的元素是__________的. (2)集合中的元素是______的. (3)集合中的元素______顺序. 4.常用数集及表示符号 名称 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N Z Q R 互不相同 确定 没有 5.集合的分类 (1)有限集：元素个数______的集合. (2)无限集：元素________的集合. (3)空集：______元素的集合，记作____. 点拨　{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而⌀表示空集，其不含有任何元素，故{0}与⌀不相同. 有限 无限多 没有 ⌀ 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数. (　　) (2)高一四班的全体同学组成一个集合. (　　) (3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合. (　　) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素. (　　) (5)集合N中的最小元素为0. (　　) (6)若a∈Q，则一定有a∈R. (　　) × √ √ × √ √ 自主检测 2.设M是所有偶数组成的集合，则 A.3∈M B.1∈M C.2∈M D.0∉M √ 因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M. 3.用“book”中的字母构成的集合中元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素. 4.下列集合中_________是有限集，______是无限集.(填序号) ①由小于8的正奇数组成的集合； ②由大于5且小于20的实数组成的集合； ③由小于0的自然数组成的集合. ①③ ② ①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集. ②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集. ③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集. 返回 合作探究 返回 探究点一　集合的概念 下列所给的对象不能组成集合的是 A.某班年龄较小的同学 B.二元一次方程x＋y＝1的解 C.我国古代的四大发明 D.平面内到定点距离等于定长的点 √ 典例 1 A：某班年龄较小的同学，其中“较小”的标准不确定，即不满足集合中元素的确定性，故不能组成集合； B：二元一次方程x＋y＝1的解符合集合中元素的确定性、互异性以及无序性，故能组成集合； C：我国古代的四大发明包括造纸、火药、印刷术、指南针，符合集合中元素的确定性、互异性以及无序性，故能组成集合； D：平面内到定点距离等于定长的点符合集合中元素的确定性、互异性以及无序性，故能组成集合；故选A. 　　一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的过程为： 规律方法 对点练1．(多选)下列说法正确的是 A.中国的所有直辖市可以组成一个集合 B.高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合 C.正偶数的全体可以组成一个集合 D.大于2 017且小于2 025的所有整数不能组成集合 √ √ B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以B错误；D中大于2 017且小于2 025的所有整数能组成集合，所以D错误，AC正确. 探究点二　集合与元素的关系 (1)下列五个关系中，正确的个数为 ①∈R　②∉Q　③π∈Q　④｜－3｜∉N　⑤－∈Z A.1 B.2 C.3 D.4 √ 典例 2 由于∈R，是无理数，－∈Z，故①②⑤正确，因为π是无理数，｜－3｜＝3是自然数，所以③④错误，故选C. (2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为 A.2 B.2或4 C.4 D.0 √ 因为集合A含有三个元素2，4，6， 所以当a∈A时，a＝2或a＝4或a＝6； 当a＝2时，6－a＝4∈A，符合题意； 当a＝4时，6－a＝2∈A，符合题意； 当a＝6时，6－a＝0∉A，不符合题意. 故a＝2或4.选B. 判断集合和元素关系的两种方法 1.直接法：集合中的元素是直接给出的. 2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 规律方法 对点练2．下列表示正确的是 A.0∈N B.∈N C.－3∉Z D.π∉R √ 根据常用数集的意义逐一判断.对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，是不可约分数，即有∉N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错误；对于D，π是无理数，即有π∈R，故D错误. 对点练3．用符号“∈”或“∉”填空. (1)设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p____M，q____M. ∈ ∉ 矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M. (2)设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1______D，(－1，1)____D. ∉ ∈ 因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1∉D， (－1，1)∈D. 探究点三　集合中元素的特性及应用 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值为_____. 典例 2 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性. 所以a＝－1. －1 变式探究 1.(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值. 解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2即a＝2或a＝或a＝－. 2.(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1. 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 规律方法 对点练4．已知集合A中含有三个元素a＋1，3a，a2＋1，若1∈A，求实数a的值. 解：当a＋1＝1时，a＝0，3a＝0，a2＋1＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去. 当3a＝1时，a＝，a＋1＝，a2＋1＝，符合题意. 当a2＋1＝1时，a＝0，a＋1＝1，3a＝0，不满足集合中元素的互异性， 舍去. 综上可知，实数a的值为. 返回 随堂评价 返回 1.(多选)下列对象中能构成一个集合的是 A.某校比较出名的教师 B.方程x－2＝0的根 C.所有的自然数 D.所有锐角三角形 √ √ √ 对于A，比较出名的标准不清，故不能构成集合；对于B，x－2＝0⇒x＝2，方程根确定，可构成集合；对于C，所有的自然数可构成自然数集N；对于D，所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.故选BCD. 2.给出下列关系，其中正确的是 A.∈Q B.∈R C.｜－3｜∉N＋ D.｜－｜∈Q √ 因为∉Q，∈R，｜－3｜＝3∈N＋，｜－｜＝∉Q，所以A、C、D错误，B正确.故选B. 3.方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有____个元素. 2 由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1. 4.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，求实数a的值. 解：若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合 题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合 题意. 综上所述，实数a的值为0或－1. 返回 课时分层评价 返回 1.下列关系正确的是 A.0∈N＋ B.1∈N C.∈Q D.1.5∈Z √ 0不是正整数，A错误；1是自然数，B对；是无理数，故∉Q，C错误；1.5不是整数，故1.5∉Z，D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知集合M中的元素x满足x2＋x＝0，则 A.1∈M B.⌀∈M C.－1∉M D.－1∈M √ 因为x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1，所以－1∈M，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知集合A含有3个元素a，｜a｜，a－2，若2∈A，则实数a的值为 A.±2或4 B.2 C.－2 D.4 √ 由条件2∈A可知，a＝2或｜a｜＝2或a－2＝2，解得a＝±2或a＝4.由元素的互异性可知a≠｜a｜，故a＜0，所以满足条件的只有a＝－2，故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是 A.2∈A，且2∈B B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B C.2∈A，且(3，10)∈B D.(3，10)∈A，且2∈B √ 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 5.(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是 A.－2∈A B.0∉A C.－4∈A D.4∈A √ √ 依题意，当x，y，z都为正数，代数值等于4；当x，y，z中只有一个负数两个正数，代数值为0；当x，y，z中只有一个正数两个负数，代数值为0；当x，y，z都为负数，代数值为－4.故C，D正确，A，B错误.故选CD. 4 5 6 7 8 9 10 11 3 1 2 12 6.已知集合A含有2个元素a＋2，2a2＋a，若3∈A，则实数a的值是_____. 由题可知：集合A含有2个元素a＋2，2a2＋a，3∈A， 所以a＋2＝3或2a2＋a＝3，则a＝1或a＝－， 当a＝1时，a＋2＝2a2＋a，不符合集合中元素的互异性， 当a＝－时，a＋2＝，2a2＋a＝3，符合题意， 所以a＝－. － 4 5 6 3 7 8 9 10 11 1 2 12 7.已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1_____A，－34____A. (填“∈”或“∉”) ∈ ∈ 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A. 6 7 8 9 10 11 4 5 3 1 2 12 8.(多空题)集合A中的元素x满足x＝m＋n(m，n∈Z).x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系分别为x1____A，x2____A，x3_____A. (填“∈”或“∉”) ∈ ∉ ∈ x1＝－＝0＋(－1)×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；x2＝＝＝1＋×，因为1∈Z，∉Z，所以x2∉A；x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 1 2 12 9.(10分)设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求实数x应满足的条件； 解：根据集合中元素的互异性，可知解得x≠0且x≠3且x≠－1. (2)若－2∈A，求实数x的值. 解：因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A，所以x＝－2. 9 10 11 8 6 7 4 5 3 1 2 12 10.(10分)集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由. 解：因为9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25； B中的元素为9，0，－4；显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去. 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9； B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去. 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意. 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 1 2 12 11.已知集合A中含有3个元素0，1，2，集合B的元素x－y满足x∈A，y∈A，则集合B中元素的个数是 A.1 B.3 C.5 D.9 √ 当x＝0，y＝0时，x－y＝0； 当x＝0，y＝1时，x－y＝－1； 当x＝0，y＝2时，x－y＝－2； 当x＝1，y＝0时，x－y＝1； 当x＝1，y＝1时，x－y＝0； 10 11 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12 当x＝1，y＝2时，x－y＝－1； 当x＝2，y＝0时，x－y＝2； 当x＝2，y＝1时，x－y＝1； 当x＝2，y＝2时，x－y＝0. 根据集合中元素的互异性，知B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个. 10 11 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12 12.(多选)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断中，正确的有 A.－1∉A B.∈A C.若x，y∈A，则xy∈A D.若x，y∈A，则x－y∈A √ √ √ 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12 返回 对于A，假设－1∈A，则令x＝y＝－1，则＝1∈A，令x＝－1，y＝1，则x＋y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，所以－1∉A，故A正确；对于B，由题意，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 024∈A，2 025∈A，所以∈A，故B正确；对于C，因为1∈A，x∈A，所以∈A，因为y∈A，∈A，所以＝xy∈A，故C正确；对于D，因为1∈A，2∈A，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1∉A，故D错误.故选ABC. 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12 谢 谢 观 看 1.1　集　合 返回 $