第2章 二次函数单元培优检测题 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

《二次函数》单元培优检测题 考试范围：二次函数；考试时间：120分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题4分，共40分） 1．开口向上，顶点坐标为（﹣2，3）的抛物线为（　　） A．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣2（x+2）2+3 2．已知二次函数，y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2 3．已知是二次函数，且函数图象有最低点，则k的值为（　　） A．k＝±2 B．k＝﹣2 C．k＝0 D．k＝2 4．将抛物线y＝﹣x2平移后得到抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2，则下列说法中正确的是（　　） A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 5．抛物线y＝2（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（3，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 6．根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应值，可以判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） x 0.5 1 1.1 1.2 1.3 y＝ax2+bx+c ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．1.2＜x＜1.3 B．1.1＜x＜1.2 C．1＜x＜1.1 D．0.5＜x＜1 7．如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为y（米）＝a（x﹣2）2+3，已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能a值是（　　） A．a＝﹣0.01 B．a＝﹣0.1 C．a＝﹣0.12 D．a 8．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（　　） A．﹣2＜c B．﹣4＜c C．﹣4＜c D．﹣10＜c 9．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣kx+|b|与二次函数y＝x2+k的图象可能是（　　） A．B． C． D． 10．已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，下列说法正确的序号是（　　） ①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1； ②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根； ③若，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数； ④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立． A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（每题4分，共24分） 11．二次函数y＝（x+2）（1﹣x）化简后，其一次项系数是　 　 ． 12．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0⩽x⩽4时，y的取值范围是　 　 ． 13．请写出一个开口向上，且对称轴为x＝3的抛物线的解析式　 　 ． 14．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是 　 　 ． 15．如图，函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象是由函数y＝x2﹣2x﹣3的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成．直线y＝4与该图象有　 　 个交点；若图象与直线y＝m有四个交点，则m的取值范围是　 　 ． 16．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有　 　 ． 三．解答题（共6小题，共56分） 17．已知抛物线y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2经过（0，﹣3），请你解答下列问题： （1）求m的值和抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当﹣2≤x≤2时，y的取值范围是 　 　 ． 18．二次函数y＝（x﹣h）2+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示． x ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 5 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m 5 （1）二次函数图象的顶点坐标为 　 　 ；m的值为 　 　 ； （2）在图中画出二次函数图象； （3）结合图象，写出y＜0时，x的取值范围． 19．甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是 　 　 m； ②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球 　 　 （填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）； （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣4.5）2+5.2．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75m时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d1，第二次接球的起跳点的水平距离为d2，则d2﹣d1　 　 0（填“＞”“＜”或“＝”）． 20．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 假设该厂所取得的月销售利润为W元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润时多少？ 21.根据以下素材，探索完成任务． 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 素材1 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线型建造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m． 素材2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂0.4m高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨1.8m达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于1m． 素材3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为2m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1：确定桥拱形状 在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 任务2：探究悬挂范围 在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3：拟定设计方案 符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的方案． 22．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．例如都是“二倍点”． （1）请任写一个“二倍点”：　 　 ；（与上例不同） （2）下列函数图象上只有一个“二倍点”的是　 　 ；（填序号） ①y＝2x+1；②y＝3﹣x；③y＝﹣x2+4x+1． （3）已知抛物线y＝x2+ax+b（a，b均为常数）与直线y＝x+1只有一个交点，且该交点是“二倍点”，求抛物线的函数表达式； （4）若抛物线y＝mx2+nx+1（m，n是常数，m＞0）的图象上有且只有一个“二倍点”，令w＝n2﹣4n+4m+3，是否存在一个常数t，使得当t﹣1≤n≤t时，w的最小值恰好等于t，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c和与x轴的交点分别为A，C和C，B，抛物线L1，L2的顶点分别用P，Q表示，其中点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（m，0）（﹣1＜m＜5）． （1）如图1，当m＝2时， ①求抛物线L1和L2的解析式； ②求P，Q两点间的距离． （2）如图2，当m≠2时，直线l1，l2分别是抛物线L1和L2的对称轴． ①直线l1，l2之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ②N是直线l1上一点，若△PQN为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点N的坐标． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A D B D B D B 二．填空题 11．﹣1． 12．﹣4≤y≤5． 13．y＝（x﹣3）2（答案不唯一）． 14．4m． 15．3，0＜m＜4． 16．②③④． 三．解答题 17．解：（1）把（0，﹣3）代入y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2得m﹣2＝﹣3， 解得m＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝1时，y有最小值﹣4， 当x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝5， 当x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴当﹣2≤x≤2时，y的取值范围为﹣4≤y＜5． 故答案为：﹣4≤y＜5． 18．解：（1）∵点（﹣2，﹣3），（0，﹣3）为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣4，把（0，﹣3）代入得﹣3＝a×（0+1）2﹣4， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4； 当x＝1时，y＝（1+1）2﹣4＝0， 即m＝0； 故答案为：（﹣1，﹣4），0； （2）当y＝0时，（x+1）2﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0）， 如图， （3）y＜0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1． 19．解：（1）①由表格中数据知，当x＝3和x＝5时，y＝4.75， ∴对称轴为x＝4，顶点坐标为（4，5）， ∴当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是4m， 故答案为：4； ②∵当x＝5时，y＝4.75＞1.55， ∴羽毛球是可以过网， 故答案为：是； ③∵h＝4，k＝5， ∴y＝a（x﹣4）2+5， 把x＝0，y＝1代入解析式得，a（0﹣4）2+5＝1， 解得a＝﹣0.25， ∴y＝﹣0.25（x﹣4）2+5； （2）在第一次接球中，当y＝2.75时， 则﹣0.25（x﹣4）2+5＝2.75， 解得x1＝7，x2＝1， ∵接球时球越过球网， ∴d1＝7， 在第二次接球中，当y＝2.75时， 则﹣0.2（x﹣4.5）2+5.2＝2.75， 解得x1＝1，x2＝8， ∵接球时球越过球网， ∴d2＝8， ∴d2﹣d1＝8﹣7＝1＞0． 故答案为：＞． 20．解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝114， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000， 整理得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝50，y2＝80， 又∵要尽可能让车企得到实惠， ∴y＝50． 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）结合（2）该零件的实际售价定为y元， ∴月销售利润为W＝（y﹣30）（1000﹣10y）＝﹣10y2+1300y﹣30000 ＝﹣10（y﹣65）2+12250． ∵﹣10＜0， ∴当y＝65时，月利润W最大，最大值为12250． 答：当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 21.解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2， 把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5， ∴a， ∴抛物线的函数表达式为：yx2； 任务2： ∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m， ∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8， 即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m， 当y＝﹣1.8时，x2＝﹣1.8， ∴x＝±6， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6； 任务3： 方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为2m， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：如图3， 由图形可知，顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂6盏灯笼． 22．解：（1）如（，）一个“二倍点”， 故答案为：（，）； （2）①∵y＝2x+1≠2x 故在直线y＝2x+1上没有“二倍点”； ②联立y＝3﹣x和y＝2x得：3﹣x＝2x， 解得：x＝1，y＝2， 则在直线 y＝3﹣x上只有一个“二倍点”（1，2）； ③由，解得或， ∴二次函数的图象上有2个“二倍点”：（1，2+2），（1，2﹣2）； 故答案为：②； （3）∵抛物线与直线 y＝x+1只有一个交点， ∴方程x2+（a﹣1）x+b﹣1＝0有两个相等的实数根， 即Δ＝（a﹣1）2﹣4（b﹣1）＝0①； ∵抛物线与直线 y＝x+1交点是“二倍点”， ∴x＝1，y＝2， ∴b＝1﹣a②， 联立①②得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2； （4）存在，理由： ∵抛物线y＝mx2+nx+1（m，n是常数，m＞0）的图象上有且只有一个“二倍点”， ∴mx2+nx+1＝2x，即mx2+（n﹣2）x+1＝0， ∴Δ＝（n﹣2）2﹣4m＝0， ∴m（n﹣2）2， ∴w＝n2﹣4n+4m+3＝n2﹣4n+（n﹣2）2+3＝2（n﹣2）2﹣1， 根据题意，当t﹣1≤n≤t时，w的最小值恰好等于t， ①当t≤2时，当n＝t时，w有最小值， ∴t＝2（t﹣2）2﹣1， 即2t2﹣9t+7＝0， 解得t（舍去）或1， ∴此时存在常数t＝1，使得当t﹣1≤n≤t时，w的最小值恰好等于t； ②当t﹣1≤2≤t，即2≤t≤3时，当n＝2时的最小值为﹣1，不符合题意； ③当t﹣1＞2，即t＞3时，t＝2（t﹣1﹣2）2﹣1， 即2t2﹣13t+17＝0， 解得：t（负数舍去）， ∴存在常数t，使得当t﹣1≤n≤t时，w的最小值恰好等于t， 综上所述，t的值为1或． 22．解：（1）①∵A（﹣1，0），C（2，0），B（5，0）， ∴抛物线L1：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2， 抛物线L2：y＝（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10； ②∵， ， ∴； （2）①直线I1，l2之间的距离是定值，理由如下： ∵，， ∴， ∴直线l1，l2之间的距离是定值； ②∵抛物线L1：y＝（x+1）（x﹣m），抛物线L2：y＝（x﹣m）（x﹣5）， ∴，． ∴|yP﹣yQ|＝|﹣3m+6|＝3， 当∠PNQ＝90°，且点P在点Q的下方时， ∴﹣3m+6＝﹣3， ∴m＝3， 当m＝3时，，， ∴N（1，﹣1）； 当∠NQP＝90°且点P在点Q的下方时， ∴yN﹣yP＝6， ∴N（1，2）， 当∠PNQ＝90°，且点P在点Q的上方时， ∴﹣3m+6＝3， ∴m＝1， 当m＝1时，，， ∴N（0，﹣4）； 当∠NQP＝90°，且点P在点Q的上方时， ∴yP﹣yN＝6， ∴N（0，﹣7）； 综上所述：N（1，﹣1）或（1，2）或（0，﹣4）或（0，﹣7）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 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