精品解析：广东省梅州市五华县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省梅州市五华县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加4（一次项系数一半的平方）得 ， 即 ， 故选A． 2. 如图，矩形的对角线，交于点．若，，则长为（    ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得，，然后证明是等边三角形，进而可以解决问题． 本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】解：矩形的对角线，交于点， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 3. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ） A. 每两次必有1次正面向上 B. 可能有5次正面向上 C. 必有5次正面向上 D. 不可能有10次正面向上 【答案】B 【解析】 【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可． 【详解】解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5， 那么掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，解题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 4. 如图，菱形的对角线、相交于点E是的中点，且，则的长是（    ） A. 10 B. C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ， 是直角三角形， 点E是的中点， ， 故选：C． 5. 如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格可得，当或时，，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，． 故选：B． 6. 光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能．据统计，从年到年，某省光伏发电并网容量累计达万千瓦，其中年光伏发电并网容量为万千瓦．若设从年到年该省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与增长率的应用，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵年容量为万千瓦，年增长率为， ∴年容量为，年容量为， 累计容量为， 列出方程为：． 故选：D． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判断即可得答案． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该选项说法正确，不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法说法错误，符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，该选项说法正确，不符合题意； D、四个角都相等的四边形，每个角都是直角，那么它一定是矩形，该选项说法正确，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点处，则点D的对应点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，，再由勾股定理求出即可求解，利用平移即可解答． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，坐标与图形，会用勾股定理求出线段长度是解题的关键． 【详解】解：边长为4的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O， ，， ， 由题意可知：四边形为菱形， 轴，， 点的坐标为， 故选： 9. 如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可． 【详解】连接CM， ∵MEAC，MFBC， ∴MEC=MFC=90°, ∵C=90°， ∴四边形ECFM是矩形， ∴EF=CM， 当CMAB时，CM最短，如下图： 当CMAB， ， ∴， ∵在RtABC中， =， ∴， ∴CM=2.4， ∴CM的最小值是2.4， ∴EF=CM=2.4， ∴EF的最小值是2.4． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况． 10. 如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】利用根的判别式解答． 本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ． 故答案为：． 12. 在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，关键是由三角形中位线定理判定四边形是矩形． 根据三角形中位线定理得到，，，，，，根据矩形的判定和性质计算即可． 【详解】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形， ，G分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 13. 李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，共有20种等可能的结果，其中满足题意的结果有2种， ∴； 故答案为：． 14. 如图，菱形中，，点E为对角线上一点，作于点F，作于点G，若，菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由面积法可求，由等腰直角三角形的性质可求AB的长，即可求解． 本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于H， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 菱形的面积， 故答案为： 15. 数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程求出m的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，理解图解法的含义是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示： 则，， ， ， 即m就是的一个正根， ， 解得：，不符合题意，舍去， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：点E是的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由点是的中点，得到，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进一步得到，证明，由一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论； （2）根据（1）可得，得到，再证明是直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形内角和定理、勾股定理等知识，推导出，进而证明四边形是平行四边形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 根据（1）可得， ， ，， ， ， ， 17. 先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式 18. 某工厂生产一款文具，每件盈利30元时．平均每天可售出30件，为了尽量提高销量，增加盈利，工厂决定采取适当的降价措施．如果每件文具每降价1元，工厂平均每天可多售出2件．若工厂每天要盈利1000元，每件文具应降价多少元？ 【答案】10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件文具应降价x元，则每件文具的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润=每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量提高销量，即可确定结论． 【详解】解：设每件文具应降价x元，则每件文具的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量提高销量， 答：每件文具应降价10元． 19. 已知关于的方程，为常数． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：假设，则 ， ， 方程没有实数根， 小明的观点正确 ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）假设，代入得 ，再利用判别式进行判定方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问2详解】 略 20. 生命在于运动，运动使人健康．某中学为了解学生每周末在家运动的时长（单位：小时），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（组：；组：；组：；组：，其中每周末运动时长不少于小时为达标），并绘制了统计图，如图．根据以上信息，解答下列问题： （1）若该校有学生人，试估计该校学生每周末在家运动时长不足小时的人数． （2）学校准备从每周末运动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生分享运动体会，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． （3）根据统计图中的数据，请对该学校学生每周末在家运动时长达标情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）估计该校学生一周在家运动时长不足小时的有人； （2）选中的两人刚好是一男一女的概率为； （3）建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（合理即可）． 【解析】 【分析】本题考查了直方图，样本估计总体，画树状图法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用乘以学生每周末在家运动时长不足小时的人数所占比即可； （）根据题意画树状图法求概率即可； （）建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（合理即可）． 【小问1详解】 解：（人）， 答：估计该校学生一周在家运动时长不足小时的有人； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示， 共有种等可能结果，其中一男一女的情形有种， ∴选中的两人刚好是一男一女的概率为； 【小问3详解】 解：达标率：， ∴该学校学生每周在家运动时间达标率仅为，达标率较低，建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（合理即可）． 21. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 【答案】（1） 如图，点E即为所求；      （2） 【解析】 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分，交CD于点E即可； （2）由折叠可得，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是根据折叠可得，，从而求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形ABCD是矩形， ，，， 由折叠可得，， ， ，  设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 22. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则______，______； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n且，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：，； 【小问2详解】 根据根与系数的关系得，，  ； 【小问3详解】 ∵实数s、t满足，， 、t可以看作方程的两个根， ，， ， 或， 当时，； 当时，，  综上所述，的值为或． 23. 如图1，正方形的边长为．、F分别为边、上的动点，的周长为，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点A作，垂足为．求的最小值． 【答案】（1） 证明：正方形， ，， ， ， 在和中， ∴， ， ， ， ； （2）的大小是定值，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）证可得，由此即可得出结论； （2）由题易得，可推，进而可得，则可证，即可得解； （3）先证明，求出，根据两点之间线段最短可得，由最小值求出最小值． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、两点之间线段最短等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的周长为8， ， 正方形ABCD的边长为4， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，， ， 在和中， ， ， ， 的大小是定值，定值为； 【小问3详解】 解：连接AM， 正方形ABCD的边长为4， ，， 是的高， ， 是的高， 由（2）得，， ， ， 由（2）得，， ， 为边BC的中点， ， ， ， ， 解得， 的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省梅州市五华县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，矩形的对角线，交于点．若，，则长为（    ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 3. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ） A. 每两次必有1次正面向上 B. 可能有5次正面向上 C. 必有5次正面向上 D. 不可能有10次正面向上 4. 如图，菱形的对角线、相交于点E是的中点，且，则的长是（    ） A. 10 B. C. 8 D. 6 5. 如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能．据统计，从年到年，某省光伏发电并网容量累计达万千瓦，其中年光伏发电并网容量为万千瓦．若设从年到年该省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 8. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点处，则点D的对应点的坐标为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 10. 如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 12. 在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 13. 李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是________． 14. 如图，菱形中，，点E为对角线上一点，作于点F，作于点G，若，菱形的面积为______． 15. 数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则m的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求线段的长． 17. 先化简，再求值：，其中m满足． 18. 某工厂生产一款文具，每件盈利30元时．平均每天可售出30件，为了尽量提高销量，增加盈利，工厂决定采取适当的降价措施．如果每件文具每降价1元，工厂平均每天可多售出2件．若工厂每天要盈利1000元，每件文具应降价多少元？ 19. 已知关于的方程，为常数． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由． 20. 生命在于运动，运动使人健康．某中学为了解学生每周末在家运动的时长（单位：小时），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（组：；组：；组：；组：，其中每周末运动时长不少于小时为达标），并绘制了统计图，如图．根据以上信息，解答下列问题： （1）若该校有学生人，试估计该校学生每周末在家运动时长不足小时的人数． （2）学校准备从每周末运动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生分享运动体会，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． （3）根据统计图中的数据，请对该学校学生每周末在家运动时长达标情况作出评价，并提出一条合理化建议． 21. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 22. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则______，______； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n且，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 23. 如图1，正方形的边长为．、F分别为边、上的动点，的周长为，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点A作，垂足为．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $