广东省广州市真光中学汾水校区2025-2026学年高二上学期12月阶段测试数学试卷

广州市真光中学 （高中部汾水校区）2025学年 高二12月阶段测试 数学 命题人：林菊 审题人：莫祺 2025.12 本试卷共4页，满分 150分，考试时间120分钟 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 2．在中，已知，，，则边上的中线长为（    ） A． B．6 C． D．7 3．如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（   ） A． B． C． D． 4．已知在等差数列中，，，则（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 5．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（   ） A．椭圆的焦距为 B． C．椭圆的离心率 D．的面积的最大值是 7．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 8．双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分 9．已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 10．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D． 11．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（    ）.    A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正切值的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12．若向量，且，则 . 13．已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 14．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是 ． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 16．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 17．已知动圆经过点，且与直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）已知是（1）中的轨迹上的两个动点，为坐标原点，且直线与的斜率之积为，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 18．如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点. (1)证明：E，F，G，H四点共面； (2)若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角的余弦值； (3)若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 19．已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C C B A CD CD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】对圆，圆心，半径. 圆：，圆心，半径. 圆心距：. 因为，所以两圆相交. 故选：B 2．B 【详解】已知，，根据中点坐标公式， 中点的坐标为. 已知，，根据空间两点间距离公式，. 故选：B. 3．D 【详解】因为：. 故选：D 4．C 【详解】在等差数列中，，得，公差， 所以. 故选：C 5．C 【详解】因为，且 所以 故选:C. 6．C 【详解】如图： 根据椭圆的标准方程：，得，，所以. 所以：椭圆的焦距为：，故A错； 根据椭圆的定义：，故B错； 椭圆的离心率：，故C正确； 当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为：，故D错. 故选：C 7．B 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 8．A 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 9．CD 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 10．CD 【详解】双曲线：焦点在轴上，，， 对于A选项，，而点在哪支上并不确定，故A错误 对于B选项，焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，故B错误 对于C选项，，故C正确 对于D选项， 设，则（时取等号） 因为为的中点，所以，故D正确 故选：CD 11．ACD 【详解】    对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面，平面， 平面， 故平面的法向量为， 对于B，不平行，所以平面不成立，B错误； 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值， 因，则，， 若或时，取得为，同法可得， 所以，则得，故D正确. 故选：ACD 12． 【详解】由，则，解得， 则，所以. 故答案为：. 13． 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 14． 【详解】设点，， ，整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的标准方程为， 圆是以为圆心，半径是， 圆心与之间的距离， ， 点到圆的距离的最大值为． 故答案为：． 15．(1) (2)，的最小值为 【详解】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 16．(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . （3）设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得 17．（1）；（2）证明见解析，定点. 【详解】（1）设点与直线的切点为， 则，即动点到定点和定直线的距离相等， 点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线. ，故动圆圆心的轨迹方程是； （2）设，直线的方程为， 由题意可知，把直线的方程代入（1）中的轨迹方程可得 所以， ， 又因为直线与的斜率之积为， 所以，即， 所以，解得:（舍）或 所以直线的方程为，所以直线恒过定点. 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）    如图，连接. ∵E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴，∴， ∴E，F，G，H四点共面. （2）∵四边形为菱形，， ∴，为等边三角形，. 设菱形的边长为2，则. ∵二面角为直二面角，∴平面平面， ∵平面平面，，平面，∴平面.    以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ∴，故， ∴异面直线，所成角的余弦值为. （3）设菱形的边长为2，则.    如图，连接. ∵为等边三角形，∴， ∵异面直线，的所成角为，∴， ∵平面，，∴平面， ∵平面，∴，∴. ∵，平面，平面，平面平面， ∴为二面角的平面角. ∵， ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意，设左焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：，， 左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题知， 因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 则， 方程的判别式， 由已知为方程的两个根， 所以， （i）证明：因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得 ， 则，即在直线上； （ii）证明：由（i）知，（其中） 则 即，故射线平分. 2 学科网（北京）股份有限公司 $