第5章 三角函数 章末综合提升-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

该高中数学三角函数单元复习讲义以核心素养为统领构建知识体系，通过“素养-题型-高考溯源”框架梳理三角函数定义、图象性质等内容，用例题解析和方法归纳表呈现重难点内在联系，形成系统知识网络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如任意角三角函数定义题夯实数学抽象基础，综合题如三角函数图象变换题提升逻辑推理能力，高考题溯源链接教材母题。单元检测卷覆盖不同难度，助力教师精准教学，帮助学生自主复习提升。

章末综合提升 素养一　数学抽象 　　数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征.本章中，三角函数定义体现了学科素养中的数学抽象. 题型一　任意角三角函数的定义 (1)已知角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝，则tan α＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)(多选)若α为第二象限角，则下列结论正确的是(　　) A.sin α＞cos α B.sin α＞tan α C.sin α＋cos α＞0 D.cos α＋tan α＞0 答案：(1)A　(2)AB 解析：(1)角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝＝，得y＝4，则tan α＝＝－，故选A. (2)因为α为第二象限角，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0， 所以A，B正确，D不正确； 当α∈时，sin α＋cos α＞0，当α∈时，sin α＋cos α＜0，所以C不一定正确. 故选AB. 素养二　数学运算 　　数学运算能促进学生有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展.本章中，通过三角函数求值问题进一步提升学生的数学运算核心素养. 题型二　同角三角函数基本关系式和诱导公式 (1)已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝　　　　. 学生用书⬇第150页 (2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值. 答案：(1)－ 解析：(1)因为方程2x2－x－1＝0的根为－或1，又α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0， 所以sin α＝－， 所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝， 所以原式＝·tan2α＝－tan2α＝－. (2)因为cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， 所以cos α＝.所以sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)· ＝sin α·tan ＝sin α· ＝sin α·＝cos α＝. 素养三　直观想象 　　直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.在本章中直观想象主要体现在三角函数图象的识别与应用中. 题型三　三角函数图象的识别 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝2sin B.f(x)＝cos C.f(x)＝2cos D.f(x)＝2sin 答案：C 解析：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， 由图知，＝·＝π， 所以ω＝，可排除B，D； 对于A，f(0)＝2sin＝－1，与题意f(0)＝1不符，可排除A； 对于C， f(x)＝2cos＝2sin＝ 2sin，满足f(0)＝1，当x0＝时， f(x0)＝y0＝2，满足题意； 所以C选项是正确的. 题型四　三角函数图象的应用 (多选)已知函数f(x)＝sin的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值不可能是(　　) A. B. C. D. 答案：CD 解析：作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题，易得所以n－m的值可能为区间内的任意实数.故选CD. 素养四　逻辑推理 　　借助逻辑推理，学会有逻辑地思考问题；发现和提出数学命题；探索和表述论证过程；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力.在本章中，逻辑推理体现在三角函数的图象及性质，三角函数式的化简与证明等问题中. 题型五　三角函数式的化简与证明 求证：＝. 证明：法一：由tan α－sin α≠0， 于是右边＝ ＝ ＝ ＝＝左边， 所以原等式成立. 法二：因为左边＝＝， 右边＝＝ ＝ ＝＝ 所以左边＝右边，原等式成立. 学生用书⬇第151页 题型六　三角函数图象变换 将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是(　　) A.y＝sin x B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 答案：C 解析：将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，故选C. 题型七　三角函数的性质 设f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点对称；③它的周期是π；④它在区间上是增函数. 以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明. 解：两个正确的命题如下： (1)①③⇒②④；(2)②③⇒①④. 对(1)证明如下： 由③，得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ). 由①，得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z). 又因为－＜φ＜， 所以取k＝0，得φ＝， 所以f(x)＝sin. 当x＝时， f＝sin＝sin π＝0. 所以f(x)的图象关于点对称，②成立. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z). 即f(x)的增区间为(k∈Z). 取k＝0，得f(x)的一个单调增区间为. 又因为⫋， 所以f(x)在上是增函数. 所以④成立. 所以①③⇒②④. 素养五　数学建模 　　数学建模让学生学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验，在本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的应用. 题型八　三角函数模型的应用 通常情况下，同一地区一天的气温随时间变化的曲线接近于函数f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b的图象.2024年12月下旬某地区连续几天最高气温都出现在14时，最高气温为14 ℃；最低气温出现在凌晨2时，最低气温为零下2 ℃. (1)请推理该地区该时段的气温函数f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π，t∈[0，24))的解析式； (2)23日上午9时某高中将举行阶段性考试，如果此时气温低于10 ℃(不考虑室内外的温差)，教师就要开空调，请问届时应该开空调吗？ 解：(1)A＝[14－(－2)]＝8，b＝×[14＋(－2)]＝6，由T＝24得ω＝＝. 所以f(t)＝8sin＋6. 又f(2)＝8sin＋6＝－2， 即sin＝－1，故＋φ＝－＋2kπ，k∈Z. 又｜φ｜＜π，所以φ＝－， 所以函数解析式为f(t)＝8sin＋6. (2)当t＝9时，y＝8sin ＋6＜8sin ＋6＝10，气温低于10 ℃，满足开空调的条件，所以应该开空调. 学生用书⬇第152页 (2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A.cos 2α＞0 B.cos 2α＜0 C.sin 2α＞0 D.sin 2α＜0 答案：D 解析：因为α为第四象限角，所以α∈(2kπ－，2kπ)k∈Z，所以2α∈(4kπ－π，4kπ)，k∈Z，故D正确，AB均不一定成立.C错误.故选D. 溯源：(人教A必修一P182T4)对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空： (1)角θ为第一象限角的充要条件是　　　　； (2)角θ为第二象限角的充要条件是　　　　； (3)角θ为第三象限角的充要条件是　　　　； (4)角θ为第四象限角的充要条件是　　　　. 点评：高考题和教材习题都考查了象限角的符号判断，只是高考题引伸为正弦、余弦的倍角. (2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　　　　. 答案：－ 解析：因为θ∈，则sin θ＞0，cos θ＞0，又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，所以cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. (一题多解)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A.－ B.－ C. D. 附：正弦二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α. 答案：C 解析：法一(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C. 法二(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C. 法三(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C. 溯源：(湘教P176习题5.2T13)已知tan α＝－2，计算： (1)；(2). 点评：以上两道高考题都是给出正切函数值求值问题，采用的方法一般都是把求值式利用同角基本关系进行转化为正切式再代入计算即可，高考题与教材习题考查的角度完全一致，不同的是高考试题要使用二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α. (2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin 单调递增的区间是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为⫋，所以函数f(x)单调递增的区间是.故选A. 溯源：(湘教P186习题5.3T5)求下列函数的单调区间： (1)y＝sin(2x－)；(2)y＝2cos(3x－). 点评：本题和教材习题都是求三角函数的单调区间， 解决此类问题，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式， 再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x 的相应单调区间内即可， 注意要先把ω化为正数. (2024·天津卷)已知函数f＝sin 3的最小正周期为π，则f(x)在的最小值是(　　) A.－ B.－ C.0 D. 答案：A 解析：f＝sin 3＝sin ＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝，即f＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，易知f＝－sin 2x在上单调递减，所以当x＝时，f＝－sin ＝－.故选A. 学生用书⬇第153页 溯源：(湘教P187习题5.3T14)已知函数f(x)＝sin，x∈. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)的值域. 点评：高考题与教材习题题型相同，考查知识技能相同，只是设问方式不同. (1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 (2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：(1)C　(2)BC 解析：(1)因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点.故选C. (2)对于A，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)＝sin＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，故A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，故B正确；对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，故C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，故D错误.故选BC. 溯源：(湘教P192例5)画出函数y＝2sin的简图，并求出这个函数的周期和值域. 点评：以上高考题与教材例题均考查三角函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的画法，而高考题在画出图象的基础上考查了三角函数的相关性质. (2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案：B 解析：依题意，将y＝sin 的图象向左平移 个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象.故选B. 溯源：(湘教P196习题5.4T2(1))为了得到函数y＝2sin的图象，只需把函数y＝2sin的图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 点评：本题和教材习题考查角度相同，都属于三角函数图象的变换，解决此类问题的关键是熟练掌握其变换规则. (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若｜AB｜＝，则f(π)＝　　　　. 答案：－ 解析：设A，B，由｜AB｜＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f()＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin＝sin(4x－＋kπ)，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin.又因为f(0)＜0，所以f(x)＝sin，所以f(π)＝sin＝－. 溯源：(湘教P199例1)图5.5-1为小球在做单摆运动(可近似看作简谐振动)时，离开平衡位置时的位移y(cm)随时间x(s)变化的函数图象，已知该图象 学生用书⬇第154页 满足y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，ω＞0，0＜φ＜)的形式.试根据函数图象求出这个单摆运动的函数解析式. 点评：本题和教材例题高度相似，已知f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ. (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 答案：D 解析：由题意知f(x)＝g(x)，则a－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a－1.令h＝cos x－a＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2.故选D. 溯源：1.(人教A必修一P156T13)有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答： 由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)＜0，解得－＜a＜. 所以，实数a的取值范围是. 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 2.(人教A必修一P160T4) 已知函数f(x)＝求使方程f(x)＝k的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围. 点评：本题是教材习题的拓展，都考查了已知函数零点求参数(范围)，需适当变形后利用零点存在定理解决问题，是高考试题源于教材的典例. 单元检测卷(五)　三角函数 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是(　　 ) A.2kπ与kπ B.2kπ＋π与4kπ±π C.kπ＋与2kπ± D.与kπ± 答案：B 解析：2kπ(k∈Z)表示终边在x轴非负半轴上的角的集合，kπ(k∈Z)表示终边在x轴上的角的集合，两组角终边不同； 2kπ＋π与4kπ±π(k∈Z)都表示终边在x轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同； kπ＋(k∈Z)表示终边与终边相同的角的集合，2kπ±(k∈Z)表示终边与和－终边相同的角的集合，两组角终边不同； (k∈Z)表示终边在坐标轴上的角的集合，kπ±(k∈Z)表示终边在y轴上的角的集合，两组角终边不同；故选B. 2.已知点 P(3，4) 在角α的终边上，则cos的值为(　　 ) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：因为点 P(3，4) 在角α的终边上，所以｜OP｜＝＝5，cos＝－sin α＝－，故选D. 3.要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　 ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案：A 解析：因为y＝cos＝sin＝sin＝sin 2，所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝cos的图象. 4.已知tan＝，则tan＝(　　 ) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：tan＝tan ＝－tan＝－. 5.函数y＝2sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　 ) A.2－ B.0 C.－1 D.－1－ 答案：A 解析：因为0≤x≤9，所以0≤x≤， －≤x－≤－， 即－≤x－≤， 所以当x－＝－时，y＝2sin(0≤x≤9)有最小值2sin＝－， 当x－＝时， y＝2sin(0≤x≤9)有最大值2sin ＝2， 所以最大值与最小值之和为2－. 6.设A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，则这个三角形是(　　 ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案：B 解析：将sin A＋cos A＝两边平方， 得sin2A＋2sin Acos A＋cos2A＝， 故sin Acos A＝－.因为0＜A＜π，所以sin A＞0，cos A＜0，即A是钝角，所以这个三角形是钝角三角形. 7.函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为(　　 ) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 答案：A 解析：由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点，则A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将代入得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，此时y＝2sin(2x＋)，故选A. 8.函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是(　　 ) A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线对称 C.f(x＋π)的一个零点为 D.f(x)在上单调递减 答案：D 解析：A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确； B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确； C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为，C项正确； D项，因为f(x)＝cos(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)，所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误.故选D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知函数f(x)＝tan，则下列关于f(x)的判断正确的是(　　 ) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π　　 C.图象关于直线x＝成轴对称 D.图象关于点成中心对称 答案：ABD 解析：A项，x∈⇒x＋∈， f(x)＝tan单调递增；故A正确； B项，函数f(x)的最小正周期是π，故B正确； C项，正切函数没有对称轴，故C错误； D项，令x＋＝⇒x＝－，k∈Z； 则f(x)图象关于点成中心对称，故D正确. 10.将函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质(　　) A.在上单调递增，为偶函数 B.最大值为1，图象关于直线x＝对称 C.在上单调递增，为奇函数 D.周期为π，图象关于点对称 答案：ABD 解析：因为将函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位后得到函数g(x)＝sin 2＝sin＝－cos 2x， 由于g(－x)＝－cos 2(－x)＝－cos 2x＝g(x)，所以g(x)为偶函数，且在上单调递增，所以A正确，排除C， g(x)max＝1，g＝－cos(3π)＝1，所以B正确，g＝－cos＝0，周期为π，故D正确. 11.要得到y＝sin的图象，可以将函数y＝sin x的图象上所有的点(　　 ) A.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 B.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 C.横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度 D.横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度 答案：AD 解析：将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin. 也可以将函数y＝sin x的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin 2x，再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin 2＝sin.故选AD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.设a＝sin 20°，b＝cos 65°，c＝tan 25°，则a，b，c的大小关系为　　　　.(按由小到大顺序排列) 答案：a＜b＜c 解析：因为b＝cos 65°＝sin(90°－65°)＝sin 25°，且25°＞20°，根据y＝sin x在(0，)上单调递增，可得b＞a；因为0＜cos 25°＜1，所以tan 25°＝＞sin 25°，所以a＜b＜c. 13.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝　　　　，f＝　　　　.(本题第一空2分，第二空3分) 答案：3　0 解析：由图象知T＝π，所以T＝， 又因为T＝，所以ω＝3，将点代入y＝2sin(3x＋φ)得：sin＝0，取φ＝－π， 所以f(x)＝2sin， 所以f＝2sin＝2sin π＝0. 14.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a，b，α，β为非零常数.若f(2 020)＝1，则f(2 021)＝　　　　. 答案：3 解析：由f(2 020)＝1， 有f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＋2 ＝asin α＋bcos β＋2＝1. 即asin α＋bcos β＝－1. 又f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)＋2 ＝－asin α－bcos β＋2 ＝3. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)当a＜0时，函数f(x)在[0，π]上的值域为[2，3]，求a，b的值. 解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝sin＋1＋b. 因为函数y＝sin x的单调递减区间为 (k∈Z)， 所以当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数. 所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z). (2)f(x)＝asin＋a＋b， 因为x∈[0，π]，所以－≤x－≤， 所以－≤sin≤1. 又因为a＜0，所以a≤asin≤－a， 所以a＋a＋b≤f(x)≤b. 因为函数f(x)的值域是[2，3]， 所以a＋a＋b＝2且b＝3， 解得a＝1－，b＝3. 16.(15分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈时，求f(x)的值域. 解：(1)依题意，由最低点为M，得A＝2，又周期T＝π，所以ω＝2. 由点M在图象上，得2sin＝－2， 所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z. 因为φ∈，所以φ＝，所以f(x)＝2sin. (2)因为x∈，所以2x＋∈. 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1， 故f(x)的值域为[－1，2]. 17.(15分)已知函数f(x)＝2sin x. (1)请用“五点法”画出函数f(x)在[0，2π]上的图象(先列表，再画图)； (2)求g(x)＝f(x)＋1在上的值域； (3)求使y＝f取得最值时x的取值集合，并求出最值. 解：(1)列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2sin x 0 2 0 －2 0 在直角坐标系中描点连线，如图所示： (2)g(x)＝f(x)＋1＝2sin x＋1， 当x∈时，sin x∈，所以2sin x∈，所以g(x)∈. 所以g(x)＝f(x)＋1在上的值域为[1－，3]. (3)y＝f＝2sin， 当sin＝1时，y＝f取最大值2， 令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z， 当sin＝－1时，y＝f取最小值－2， 令2x＋＝－＋2kπ，则x＝－＋kπ，k∈Z， 所以使y＝f取得最大值x时的取值集合为，且最大值为2， 取得最小值时x的取值集合为，且最小值为－2. 18.(17分)设a为正实数.如图，一个水轮的半径为a m，水轮圆心 O 距离水面 m，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈.当水轮上的点 P 从水中浮现时(即图中点P0)开始计算时间. (1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点P第一次达到最高点需要多少时间. 解：如图，以水轮圆心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 当t＝0时，点P的坐标为，角度为－；根据水轮每分钟逆时针转动5圈，可知水轮转动的角速度为 rad/s，所以t时刻，角度为t－.根据三角函数定义，可得h＝asin＋，t≥0. (2)当h＝时，sin＝1，所以t－＝＋2kπ，解得t＝4＋12k， 所以当k＝0时，t＝4，即第一次达到最高点时需要4 s. 19.(17分)已知函数f(x)＝2sin. (1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合； (2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到； (3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围. 解：(1)f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z， 即此时自变量x的集合是. (2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图象，最后再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象. (3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥. 又函数y＝f(x)在上是减函数， 故m的最大值为内使函数值为－的值， 令2sin＝－，得x＝， 所以m的取值范围是. 学生用书⬇第155页 学科网（北京）股份有限公司 $