第1章 集合与逻辑 章末综合提升-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

该高中数学章末复习讲义以数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模四大核心素养为主线构建知识体系，通过题型分类框架图梳理集合概念、命题判定、交并补运算、充分必要条件等核心内容，清晰呈现各知识点的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“素养-题型-真题”三维练习设计，如数学抽象中的集合新定义问题（A☉B运算）、逻辑推理中的充分条件判定题，结合高考真题溯源教材习题，培养数学抽象与逻辑推理素养。解析含数轴法等技巧，基础生可巩固概念，优秀生能深化思维，为教师提供分层教学支持，助力学生自主复习与能力提升。

章末综合提升 学生用书⬇第25页 素养一　数学抽象 　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养.在本章中，主要表现在理解集合，全称量词命题及存在量词命题的概念. 题型一　集合的概念 (1)设集合A＝{(x，y)｜｜x｜＋｜y｜≤1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)因为x∈Z，所以当x＝0时，由｜x｜＋｜y｜≤1，y∈Z可得：y＝0，±1； 当x＝1时，由｜x｜＋｜y｜≤1，y∈Z可得：y＝0； 当x＝－1时，由｜x｜＋｜y｜≤1，y∈Z可得：y＝0； 当x∈Z，｜x｜＞1时，由｜x｜＋｜y｜≤1，y∈Z可知：不存在整数y使该不等式成立， 所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)}， 因此A中元素的个数为5. 故选C. (2)这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素. 题型二　全称量词命题与存在量词命题 (1)(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A.∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B.至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C.∃x∈R，｜x｜＜0 D.有些自然数是偶数 (2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A.m≥1 B.m＞1 C.m＜1 D.m≤1 答案：(1)ABD　(2)B 解析：(1)A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题.故选ABD. (2)命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题， 则m≠－(x2－2x)， 因为－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， 所以m＞1， 所以实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 故选B. 题型三　与集合有关的新定义问题 (1)定义集合A与B的运算：A☉B＝{x｜x∈A或x∈B，且x∉A∩B}.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7}，则(A☉B)☉B为(　　) A.{1，2，3，4，5，6，7} B.{1，2，3，4} C.{1，2} D.{3，4，5，6，7} (2)(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k｜n∈Z，k＝0，1，2，3，4}.则以下结论正确的是(　　) A.2 026∈[1] B.－3∈[3] C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D.若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]，反之也成立 答案：(1)B　(2)ACD 解析：(1)方法一　利用Venn图，知(A☉B)☉B为图中阴影部分，即{1，2，3，4}. 方法二　直接由新定义的运算分步计算. 由新定义，得A☉B＝{1，2，5，6，7}，则(A☉B)☉B＝{1，2，5，6，7}☉{3，4，5，6，7}＝{1，2，3，4}. (2)[k]表示被5除所得余数为k的所有整数. 因为2 026÷5＝405……1，所以2 026∈[1]，故A正确. 因为－3÷5＝－1……2，所以－3∈[2]，故B不正确. 因为整数集中的数被5除可以且只可以分成五类， 所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确. 因为整数a，b属于同一“类”，所以整数a，b被5除所得余数相同， 所以a－b被5除所得余数为0，所以a－b∈[0]；反之也成立，故D正确. 素养二　数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中. 题型四　集合的运算 (1)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝(　　) A.{－2，3} B.{－2，2，3} C.{－2，－1，0，3} D.{－2，－1，0，2，3} (2)已知全集U＝R，A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{y｜y＞0}，则A∩(∁UB)等于(　　) A.(－1，0) B.(－1，0] C.(0，1) D.[0，1) 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)因为A∪B＝{－1，0，1，2}， 所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A. (2)因为B＝{y｜y＞0}， 全集U＝R， 所以∁UB＝{y｜y≤0}， 则A∩(∁UB)＝{x｜－1＜x≤0}＝(－1，0]. 故选B. 素养三　逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.本章主要表现在集合的基本关系、充分条件与必要条件的判断及应用中. 学生用书⬇第26页 题型五　集合间的关系 (1)集合M＝的非空子集个数是(　　) A.3 B.7 C.15 D.31 (2)已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥1}，B＝{x｜2a＜x≤a＋1，a＜1}，B⊆A，则实数a的取值范围为__________________. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为M＝，所以y＝1，2，4，8，对应的x＝7，3，1，0，即满足条件的y有4种情况，故M＝{1，2，4，8}， 所以M的非空子集个数是24－1＝15，故选C. (2)因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠⌀. 画数轴如图所示， 由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1. 即a＜－2或a≥. 由已知a＜1，所以a＜－2或≤a＜1， 即所求a的取值范围是{a｜a＜－2或≤a＜1}. 题型六　充分条件与必要条件判定 设集合M＝{x｜x≥2}，P＝{x｜x＞1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：因为M∪P＝{x｜x＞1}，M∩P＝{x｜x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件.故选B. 题型七　充分条件与必要条件的探求及应用 已知集合A＝{x｜－1＜x＜3}，集合B＝{x｜－1＜x＜m＋1}. (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值. 解：(1)由题意可知A⫋B， 所以m＋1＞3，即m＞2. 所以实数m的取值范围为{m｜m＞2}. (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件， 所以A＝B. 所以m＋1＝3，即m＝2.即实数m的值为2. 素养四　数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.在本章主要表现在集合的实际应用问题中. 题型八　集合的实际应用 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_________人. 答案：8 解析：设参加数学、物理、化学小组的同学构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图. 由全班共36名同学可得，(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36， 解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人. (2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A.2 B.1 C. D.－1 答案：B 解析：因为A⊆B ，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意.综上所述， a＝1.故选B. 溯源：(湘教P30复习题一T18)已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A∪B＝A，求a的值. 点评：教材习题与真题都考查由集合间的关系求参数问题，都需要通过集合中元素的互异性对解出的值进行合理取舍. (2024·全国甲卷文)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A.{1，3，4} B.{2，3，4} C.{1，2，3，4} D.{0，1，2，3，4，9} 答案：C 解析：因为B＝{x｜x＋1∈A}，分别令x＋1＝1，x＋1＝2，x＋1＝3，x＋1＝4，x＋1＝5，x＋1＝9，得x＝0，1，2，3，4，8，所以B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}.故选C. 学生用书⬇第27页 (2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} 答案：A 解析：因为A＝{x｜－5＜x3＜5}＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}.故选A. 溯源：(湘教P11练习T4)已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜－4＜x＜－2}，求A∪B，A∩B. 点评：这两道高考题主要考查集合的交集运算，与教材习题的考查角度完全相同，对于此类问题一定要注意不等式中端点的取舍. (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 答案：B 解析：因为∀x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题.故选B. 溯源：(湘教P23练习)对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假： (1)∀x∈R，x2－2x＋1≥0； (2)∃x∈Q，x2＝2； (3)∃x∈R，x2－3＝0； (4)∀x≠0，(x＋)∈[2，＋∞)； 点评：该高考试题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材习题角度完全相同. (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62％ B.56％ C.46％ D.42％ 答案：C 解析：设该校学生总数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为x；则100×96％＝100×60％＋100×82％－x，解得x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46％.故选C. 溯源：(湘教P30复习题一T15)为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测绘队的成员中很多同学是多面手，已知有8人只参加测量、计算，有6人只参加测量、绘图，有4人只参加计算、绘图，另有几人三项工作都参加了.试问这支测绘队至少有多少人？ 点评：高考题与教材习题均以实际问题为背景，考查集合元素的数目运算的实际应用. (2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：B 解析：由a2＝b2可得a＝±b，所以a2＋b2＝2a2或a2＋b2＝2b2，由a2＋b2＝2ab可得(a－b)2＝0，即a＝b，所以a2＝b2，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B. 溯源：(湘教P24习题1.2T5)设a，b∈R，下面式子中哪个是哪个的充分条件，哪个是哪个的必要条件？ (1)ab＝0；(2)a2＋b2＝0； (3)a2＋b2＞0；(4)a＝0； (5)ab＜0；(6)b≠0. 点评：该高考试题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材习题角度完全一致，且难度小于教材习题，教材习题更具开放性. 单元检测卷(一)　集合与逻辑 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则(∁RA)∩B＝(　　) A.{2} B.{4，5} C.{3，4} D.{2，3} 答案：B 解析：因为A＝{x｜－2＜x＜4}，所以∁RA＝{x｜x≤－2或x≥4}.所以(∁RA)∩B＝{4，5}.故选B. 2.命题“∀x∈R，｜x｜＋x2≥1”的否定是(　　) A.∀x∈R，｜x｜＋x2＜1 B.∀x∈R，｜x｜＋x2≤1 C.∃x0∈R，｜x0｜＋＜1 D.∃x0∈R，｜x0｜＋≥1 答案：C 解析：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，再改变结论，所以命题“∀x∈R，｜x｜＋x2≥1”的否定是“∃x0∈R，｜x0｜＋＜1”.故选C. 3.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A.{2，4，5} B.{1，3，4} C.{1，2，4} D.{2，3，4，5} 答案：A 解析：由题意知∁UA＝{2，5}，所以(∁UA)∪B＝{2，4，5}.故选A. 4.已知命题p：－1＜x＜2，q：｜x｜＜1，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：B 解析：由｜x｜＜1，得－1＜x＜1，因为(－1，1)⫋(－1，2)，所以p是q成立的必要不充分条件.故选B. 5.M＝{x｜6x2－5x＋1＝0}，P＝{x｜ax＝1}，若M∩P＝P，则实数a的取值集合为(　　) A.{2} B.{3} C.{2，3} D.{0，2，3} 答案：D 解析：因为M＝{x｜6x2－5x＋1＝0}＝{，}，P＝{x｜ax＝1}，M∩P＝P，所以P⊆M，所以P＝⌀或P＝{}或P＝{}，所以a＝0或a＝2或a＝3.所以实数a的取值集合为{0，2，3}.故选D. 6.定义集合运算：A*B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}.设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为(　　) A.0 B.2 C.3 D.6 答案：D 解析：依题意，A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D. 7.若命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则m的取值范围是(　　) A.m＜2 B.m≤2 C.m＞2 D.m≥2 答案：A 解析：若命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是真命题，则m的取值范围是m≥2，因为命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则m的取值范围是m＜2.故选A. 8.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面积恒相等，根据祖暅原理可知，q是p的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：A，B在等高处的截面积恒相等，则体积相等.但是A，B体积相等，在等高处的截面积不一定相等，例如圆台A，将A倒置后得到圆台B，此时A，B体积相等，在等高处的截面积不一定相等，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件.故选A. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知集合A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，定义运算A*B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则下列描述正确的是(　　) A.0∈(A*B) B.记A*B为集合U，则(∁UB)∩A＝{3} C.若B⊆M⊆(A*B)，则符合要求的M有4个 D.A*B中所有元素之和为15 答案：BD 解析：由已知条件可得A*B＝{1，2，3，4，5}. 对于A选项，0∉(A*B)，A错； 对于B选项，U＝{1，2，3，4，5}，则∁UB＝{3，4，5}，故(∁UB)∩A＝{3}，B对； 对于C选项，B⊆M⊆(A*B)，即{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}， 则满足条件的集合M有：{1，2}、{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}、{1，2，3，4}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，2，3，4，5}，共8个，C错； 对于D选项，A*B中所有元素之和为1＋2＋3＋4＋5＝15，D对. 故选BD. 10.下列说法正确的有(　　) A.设M＝{m，2}，N＝{m＋2，2m}，且M＝N，则实数m＝0 B.若⌀是{x｜x2≤a，a∈R}的真子集，则实数a≥0 C.集合P＝{x｜x2－3x＋2＝0}，Q＝{x｜mx－1＝0}，若P⊇Q，则实数m∈ D.设集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}至多有一个元素，则a∈{0}∪ 答案：ABD 解析：对于A，因为M＝N，故(无解舍去)或故m＝0，故A正确. 对于B，因为⌀是{x｜x2≤a，a∈R}的真子集，故{x｜x2≤a，a∈R}为非空集合， 故a≥0，故B正确. 对于C，P＝{1，2}， 若m＝0，则Q＝⌀，满足Q⊆P； 若m≠0，则Q＝，又Q⊆P，故＝1或＝2，即m＝1或m＝， 综上，m＝0或m＝1或m＝，故C错误. 对于D，因为A至多有一个元素，故a＝0或 所以a∈{0}∪，故D正确. 故选ABD. 11.设非空集合S⊆R.若x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是(　　) A.有理数集Q是封闭集 B.若S是封闭集，则S一定是无限集 C.S＝{x｜x＝a＋b，a，b∈Z}一定是封闭集 D.若S1，S2是封闭集，则S1∪S2一定是封闭集 答案：AC 解析：对于A：有理数集Q，相加，相减，相乘还为有理数，故A正确； 对于B：若S＝{0}，则0±0＝0，0×0＝0，此时，S为封闭集，故B错误； 对于C：S＝{x｜x＝a＋b，a，b∈Z}，任取a1＋b1∈S，a2＋b2∈S， 所以a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈S，a1＋b1－a2－b2＝(a1－a2)＋(b1－b2)∈S， (a1＋b1)(a2＋b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋b1a2)∈S，故C正确； 对于D：若S1，S2是封闭集，设a1，b1∈S1，a2，b2∈S2， 则a1＋b1，a1－b1，a1b1∈S1，a2＋b2，a2－b2，a2b2∈S2， 但是a1＋a2，b1＋b2不一定属于S1∪S2，所以S1∪S2不一定是封闭集，故D错误.故选AC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.) 12.设命题p：x＞4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的_________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”). 答案：充分不必要 解析：命题q：x2－5x＋4≥0，解得x≤1或x≥4，因为命题p：x＞4，故p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要. 13.设α：x≤－5或x≥1，β：2m－3≤x≤2m＋1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围__________________. 答案：{m｜m≤－3或m≥2} 解析：α：x≤－5或x≥1，β：2m－3≤x≤2m＋1， 若α是β的必要条件， 则2m－3≥1或2m＋1≤－5， 故m≥2或m≤－3. 14.已知集合A＝{x｜－3＜x≤6}，B＝{x｜b－3＜x＜b＋7}，M＝{x｜－4≤x＜5}，全集U＝R. (1)A∩M＝_________； (2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为__________________. 答案：(1){x｜－3＜x＜5}　(2){b｜－2≤b＜－1} 解析：(1)因为A＝{x｜－3＜x≤6}， M＝{x｜－4≤x＜5}， 所以A∩M＝{x｜－3＜x＜5}. (2)因为M＝{x｜－4≤x＜5}， 所以∁UM＝{x｜x＜－4或x≥5}， 又B＝{x｜b－3＜x＜b＋7}，B∪(∁UM)＝R. 所以解得－2≤b＜－1. 所以实数b的取值范围是{b｜－2≤b＜－1}. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知集合A＝{x｜－3≤x＜0}， B＝{x｜x2－(a＋1)x＋a≤0}. (1)若a＝－1，求A∩B； (2)设p：x∈A；q：x∈B， 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解：(1) 当a＝－1时，B＝{x｜x2－1≤0}＝{x｜－1≤x≤1}， 因为A＝{x｜－3≤x＜0}，所以A∩B＝{x｜－1≤x＜0}. (2)p：x∈A；q：x∈B， 若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集， 由x2－(a＋1)x＋a≤0可得：(x－1)(x－a)≤0， 方程(x－1)(x－a)＝0的两根为1和a， 当a＞1时，B＝{x｜1≤x≤a}，此时不符合题意； 当a＝1时，B＝{1}，此时不符合题意； 当a＜1时，B＝{x｜a≤x≤1}，若A是B的真子集， 则解得：a≤－3. 所以实数a的取值范围为a≤－3. 16.(15分)设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x｜x∈M且x∉P}. (1)若A＝{x｜1＜x＜7，x∈N}，B＝{－3，－2，2，3，5}，求差集A－B； (2)若A＝{x｜2x2－3x－5＞0}，求出一个集合B，使其满足B－A＝{x｜－1≤x＜2}； (3)请从问题(1)或(2)中选出一组集合A，B，计算A－(A－B)，在此基础上写出集合A，B的交集、并集或补集的运算表达式，使其结果与A－(A－B)相等，并说明理由. 解：(1)由集合A＝{x｜1＜x＜7，x∈N}＝{2，3，4，5，6}，B＝{－3，－2，2，3，5}， 根据集合的新定义，可得A－B＝{x｜x∈A且x∉B}＝{4，6}. (2)由不等式2x2－3x－5＝(x＋1)(2x－5)＞0，解得x＜－1或x＞， 所以集合A＝， 又由B－A＝{x｜x∈B且x∉A}＝{x｜－1≤x＜2}， 所以集合B可以为：B＝{x｜x＜2}(答案不唯一). (3)由(1)知A＝{2，3，4，5，6}，B＝{－3，－2，2，3，5}，可得A－B＝{4，6}， 则A－(A－B)＝{2，3，4，5，6}－{4，6}＝{2，3，5}， 因为A∩B＝{2，3，5}，∁A(A－B)＝{2，3，5}， 所以A－(A－B)＝A∩B＝∁A(A－B). 17.(15分)已知p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根，q：m－1≤a≤m＋3. (1)若p是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：(1)因为p是假命题， 所以对于方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0，有Δ＝(－2a)2－4(a2＋a－2)＜0， 即4a－8＞0，解得a＞2，所以实数a的取值范围是{a｜a＞2}. (2)由命题p为真命题，根据(1)可得{a｜a≤2}， 又由p是q的必要不充分条件，可得由q能推出p，但由p不能推出q， 可得{a｜m－1≤a≤m＋3}⫋{a｜a≤2}，则m＋3≤2，解得m≤－1， 所以实数m的取值范围是{m｜m≤－1}. 18.(17分)已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}. (1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围； (2)当x∈R时，若A∩B＝⌀，求实数m的取值范围. 解：(1)因为A∪B＝A； 所以B⊆A； 所以①B＝⌀时，m＋1＞2m－1， 所以m＜2； ②B≠⌀时， 所以2≤m≤3； 所以实数m的取值范围为(－∞，3]. (2)因为A∩B＝⌀； ①B＝⌀时，m＋1＞2m－1， 所以m＜2； ②B≠⌀时， 解得m＞4； 所以实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞). 19.(17分)已知p：∀x∈，不等式a2－5a－3≥x2－x＋3恒成立；q：∃x∈R，使不等式x2＋ax＋2＜0成立.若p是真命题，q是假命题，求实数a的取值范围. 解：p真：则a2－5a－3≥(x2－x＋3)max，x∈， 因为y＝x2－x＋3的对称轴为x＝，开口向上，则当x＝1时，ymax＝3， 即a2－5a－3≥3，解得a≤－1或a≥6； q假，则¬q真，即∀x∈R，x2＋ax＋2≥0恒成立， 所以Δ＝a2－8≤0，解得－2≤a≤2， 因为p真q假，所以解得－2≤a≤－1. 所以实数a的取值范围为{a｜－2≤a≤－1}. 学生用书⬇第28页 学科网（北京）股份有限公司 $