5.2.3 第2课时 诱导公式五、六-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

第2课时　诱导公式五、六 学习目标 1.理解诱导公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征，培养逻辑推理的核心素养. 2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简，培养数学运算的核心素养. 知识点　诱导公式五、六 1.诱导公式五 sin＝cos α；cos ＝sin α； sin ＝cos α；cos ＝－sin α. 2.诱导公式六 tan＝＝＝； tan＝＝＝－. [点拨]　公式五的语言概括 (1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值. (2)符号：函数值前面加上一个把角α看成锐角时原函数值的符号. (3)作用：利用诱导公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.(　　) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.(　　) (3)cos＝－sin α.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.已知sin＝，那么cos α等于(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：C 解析：sin ＝sin＝sin＝cos α＝. 3.已知sin(π＋α)＝，则cos＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：B 解析：由sin(π＋α)＝－sin α＝， 得sin α＝－， 则cos ＝－sin α＝，故选B. 4.sin 95°＋cos 175°的值为　　　　. 答案：0 解析：sin 95°＋cos 175° ＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 学生用书⬇第128页 探究点一　化简求值 已知tan α＝3，求的值. 解： ＝＝ ＝＝2. 用诱导公式化简求值的方法 1.对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少. 2.解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，要善于利用角的变换来解决问题. 对点练1.化简的结果是(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案：B 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝1. 故选B. 探究点二　利用诱导公式化简或证明 (1)化简： －. (2)设tan＝m，求证： ＝. 解：(1)因为sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α， cos＝cos＝cos＝－sin α， sin＝sin＝－sin ＝－cos α， tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α， 所以原式＝－ ＝－＋＝＝＝1. (2)证明：左边＝ ＝ ＝＝ ＝右边，所以原等式成立. 学生用书⬇第129页 1.用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少. (2)函数的种类尽可能的少. (3)能求值的一定要求值. (4)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 2.三角恒等式的证明策略 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 对点练2.化简：(1)； (2). 解：(1)原式＝ ＝＝－cos θ. (2)原式＝ ＝＝－sin θ. 探究点三　诱导公式的综合应用 已知cos＝，且α是第一象限角. (1)求cos的值； (2)求tan(α＋π)＋的值. 解：(1)由cos＝，得sin α＝. 因为α是第一象限角，所以cos α＞0. 因为sin α＝，所以cos(3π－α)＝－cos α＝－＝－. (2)因为cos α＝＝，所以tan α＝＝，所以tan (α＋π)＋＝tan α＋＝tan α＋1＝. 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 对点练3.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值. 解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 由α是第三象限角，得sin α＝－， 则cos α＝－， 所以·tan2(π－α) ＝·tan2 α ＝·tan2 α＝－tan2 α ＝－＝－. 学生用书⬇第130页 1.已知cos(α＋60°)＝，则sin(210°－α)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：D 解析：sin(210°－α)＝sin[270°－(60°＋α)]＝－cos(60°＋α)＝－.故选D. 2.＝(　　) A.1 B.－1 C.tan α D.－tan α 答案：C 解析：原式＝＝tan α，故选C. 3.化简：＝　　　　. 答案：－1 解析：原式＝ ＝＝－1. 4.已知f(θ) ＝. (1)化简f(θ)； (2)若sin θ＝，且θ∈，求f(θ)的值. 解：(1)f(θ)＝ ＝ ＝＝－cos θ. (2)由sin θ＝，且θ∈，知cos θ＜0， 所以cos θ＝－ ＝－＝－. 所以f(θ)＝－cos θ＝. 课时分层评价36　诱导公式五、六 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—6每小题5分，共30分) 1.sin(－2 385°)的值为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：D 解析：结合题意得到sin(－2 385°)＝sin(－7×360°＋135°)＝sin 135°＝.故选D. 2.计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　　 ) A.89 B.90　 C. D.45 答案：C 解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.故选C. 3.当θ∈，若cos＝－，则sin的值为(　　) A.　　　 B.　　　 C.－　　　 D.－ 答案：B 解析：因为cos＝－cos ＝－cos＝－， 所以cos＝， 因为θ∈， 所以＋θ∈， 所以sin＝＝，故选B. 4.在△ABC中，若sin(－A)＝3sin(π－A)，cos A＝－cos(π－B)，则△ABC为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案：B 解析：由sin(－A)＝3sin(π－A)， 得cos A＝3sin A， 即cos A－3sin A＝0， 所以tan A＝， 又0＜A＜π，所以A＝， 再由cos A＝－cos(π－B)，得cos A＝cos B， 所以cos B＝， 又0＜B＜π，所以B＝， 所以C＝， 所以△ABC为直角三角形. 故选B. 5.已知cos α＝，则sin＝　　　　. 答案： 解析：因为cos α＝，所以sin＝cos α＝. 6.sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 45°＋sin2 91°＋sin2 92°＝　　　　. 答案： 解析：原式＝sin21°＋sin2(90°＋1°)＋sin22°＋sin2(90°＋2°)＋sin2 45°＝(sin2 1°＋cos2 1°)＋(sin2 2°＋cos2 2°)＋＝1＋1＋＝. 7.(10分)化简： (1)＋； (2)＋. 解：(1)因为sin＝cos α，cos＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， 所以原式＝＋ ＝－sin α＋sin α＝0. (2)因为tan(3π－α)＝－tan α， sin(π－α)＝sin α， sin＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos＝cos ＝cos＝cos＝－sin α， sin＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α， 所以原式＝＋ ＝－＝ ＝＝1. 8.(10分)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角. 解：由已知得 ①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±. (1)当cos A＝时，cos B＝， 又A，B是三角形的内角，所以A＝，B＝， 所以C＝π－(A＋B)＝. (2)当cos A＝－时，cos B＝－， 又A，B是三角形的内角， 所以A＝，B＝，此时A＋B＞π，故舍去. 综上，A＝，B＝，C＝. 9.(5分)在△ABC中，C＞，若函数y＝f(x)在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是　　　.(填序号) ①f(cos A)＞f(cos B)； ②f(sin A)＞f(sin B)； ③f(sin A)＞f(cos B)； ④f(sin A)＜f(cos B). 答案：③ 解析：根据0＜A＋B＜，得0＜A＜－B＜， 所以sin A＜sin＝cos B. 又y＝f(x)在[0，1]上为单调递减函数， 所以f(sin A)＞f(cos B). 10.(15分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证： (1)cos(2A＋B＋C)＝cos(B＋C)； (2)sin＝cos. 证明：(1)因为左式＝cos(2A＋B＋C)＝cos[A＋(A＋B＋C)]＝cos (π＋A)＝－cos A， 右式＝cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A， 所以左式＝右式， 所以cos(2A＋B＋C)＝cos(B＋C). (2)右式＝cos ＝cos ＝cos ＝sin ＝左式， 所以sin＝cos. 学科网（北京）股份有限公司 $