5.3.2 诱导公式（一）教学设计、课件和预习清单-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

5.2.2 第1课时 诱导公式预习清单 【学习目标】 学习目标 学科素养 1. 借助圆的对称性推导诱导公式一、二、三、四 2. 记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简 1、数学运算 2、逻辑推理 【温故知新】 任意角三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：正弦 sinα＝_____，余弦_______，正切_______。 【问题引入】 问题1：已知，如何求的值？ 诱导公式一: 终边相同的角的同一三角函数值相等 = ， = ， = 。 用途：把任意角的三角函数值转化为0~上角的三角函数值 (“大”角化“小”角) 问题2：已知，如何求的值？ 如图，设角的终边与单位圆的交点为，作关于轴的对称点。 问题3： （1）角与角的终边关系如何？ （2）角与角的终边与单位圆交于点，，则与的位置关系如何？ （3）设点的坐标为，则点的坐标为？ （4）与,与, 与,的关系如何？ 诱导公式二： = = = 问题4：公式中的角仅是锐角吗？当是任意角时，能否得到诱导公式二？ 【自主探究——诱导公式三】 问题5：已知，如何求的值？ 类比问题3，自主提出问题6，回答提出的问题6，总结出诱导公式三。 问题6： （1） （2） （3） （4） 诱导公式三： = = = 【自主探究——诱导公式四】 问题7：已知，如何求的值？ 类比问题3，自主提出问题8，回答提出的问题8，总结出诱导公式四。 问题8： （1） （2） （3） （4） 诱导公式四： = = = 【课后探究问题】能否用公式二和公式三推导出公式四？ 【总结归纳】 学科网（北京）股份有限公司 $$第5章 三角函数 5.2.3 诱导公式（一） 温故知新 任意角三角函数的定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 , 那么： 正弦 , 余弦 , 正切 . 问题1：已知 ，如何求值？ 终边相同的角的同一三角函数值相等 用途：把任意角的三角函数值转化为0~2上角的三角函数值 (“大”角化“小”角) 【公式一】 ， ， 其中 问题2：已知 ， 如何求值？ 探究一：锐角 与 三角函数值的关系 β 【公式二】 ， . 问题3： 问题4：公式中的角仅是锐角吗？当角是任意角时， 可以得到诱导公式二吗？ 探究一：任意角 与 三角函数值的关系 β 角关系 对称关系 坐标关系 三角函数值的关系（诱导公式） 数形结合 问题5：已知 ，如何求值？可以得到什么公式？ 问题7：已知 ，如何求值？可以得到什么公式？ 问题6： 探究二：任意角 与三角函数值的关系 【公式三】 ， 问题8： 探究三：任意角 与三角函数值的关系 【公式四】 ， 例1　求下列各三角函数值. 例2 (1) 化简： 例2 (2) 化简： 公式二 sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα 公式一 sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα tan(α+2kπ)=tanα 公式三 sin(- α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα 公式四 sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα 小结： 基础题： 1、作业本作业：课本169页，练习1,2 2、题卡，导学案122,123页例1-例3，随堂演练 课后作业 提高题： 导学案122,123页例题对应跟踪训练 $$ 教 学 设 计 5.2.3 诱导公式（一） 授课教师： 授课班级： 授课时间： 课 题 5.2.3 诱导公式（一） 主讲教师 课标要求 借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（ 正弦、余弦、正切） 教材分析 本节是湘教版高中数学必修第一册中第5章“三角函数”中第二节任意角三角函数内容。本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，以及前面建立的函数一般概念，幂函数、指数函数、对数函数的研究经验。单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念与性质，从而发展学生的直观想象素养。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理、地理）有紧密联系，因此，本章的学习对发展学生的数学建模素养很有作用。 学情分析 本节课面向的是高一年级学生。从学生的知识储备看，学生在初中已学习了对称图形以及对称概念，本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，以及前面建立的函数一般概念，幂函数、指数函数、对数函数的研究经验。单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念与性质，从而发展学生的直观想象素养。 通过前几节对三角函数概念的理解和学习，对本节学习诱导公式起到了很好的铺垫作用,但是学生的分析归纳能力和用数学规范语言表达的能力还比较弱，我们必须引导学生由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，从而产生了“”、“”、“”等诱导公式。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。但分析、归纳、抽象的思维能力还是比较薄弱，通过恰当的培养和引导能够使得学生的分析归纳能力得到提高。 高一学生运算能力较差，学生的动手、动脑能力，以及观察、归纳能力还有待完善。在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，需要在老师一定的指导下进行。 针对以上情况，在本节课的教学过程中，应从学生已有的经验出发，通过问题引导学生主动思考，利用知识的发生发展过程来自然地提出问题，引导学生层层深入地进行思考，促使学生得到思维方法上的发展。 教学内容分析 诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系。在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用。 由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“”、“”、“”等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称；，角的终边与角的终边关于轴对称，所以、、、各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了。 诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中应用广泛。 讲清每一组诱导公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键。 核心素养 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。(数学抽象) 2.理解诱导公式的推导过程。(逻辑推理) 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。(数学运算、逻辑推理) 学习目标 1.通过本节内容的教学，使学生掌握，，，角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探究思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦或正切值的求解，简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明； 2.通过公式的应用，培养学生的转化与化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力； 3.通过公式一、二、三、四的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质。 教学重点 1.掌握诱导公式一至四的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题； 2.对诱导公式一至四，作综合归纳，体会四组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力。 教学难点 对诱导公式一至四，作综合归纳，体会四组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力。 教学准备 导学案、PPT、预习清单 教学方法 任务驱动法、演示法、讲授法 教 学 过 程 环节一：复习引入，预习检测，目标导学 教师活动 学生活动 评价活动 检查预习任务，导学案部分知识梳理是否填完，是否按照预习清单上的思路推导诱导公式，并完成诱导公式一导学案题目。 小组派学生代表展示诱导公式一的推导之后，提出问题：诱导公式一的用途是什么？ 学生思考，口头回答 学生通过预习清单，得出诱导公式一（终边相同的角的三角函数值相等） （其中） 学生回答：诱导公式一把任意角的三角函数值转化为0到上的三角函数值。 过程性评价，学生口头表述即可 设计意图 通过复习三角函数的定义与学习诱导公式一，为提出新问题做好铺垫。 环节二：任务驱动，研读深思；点播追问，补充质疑（在学生回答完相应地问题之后） 教师活动 学生活动 评价活动 “角的终边相同”是一种非常特殊的位置关系，由此导出了诱导公式一，一个自然的想法是：角的终边不同时，有什么特殊的关系值得研究？比如当角的终边关于原点、坐标轴对称时，它们的三角函数值有什么关系？ 问题4：公式中的仅是锐角吗？ 追问：如何理解是任意角？当是第二、第三、第四象限角时，我们能否推出相应的诱导公式？是否和刚推出来的保持一致？ 学生发现角与角终边关于轴对称。也就是说，需要讨论角与角的三角函数值之间的关系。 学生按照预习清单完成问题3： （1）角与角的终边关系如何？ （2）角与角的终边与单位圆交于点，，则与的位置关系如何？ （3）设点的坐标为，则点的坐标为？ （4）与,与, 与,的关系如何？ 小组派代表给出答案： （1）角与角的终边关于轴对称； （2）角与角的终边与单位圆交于点，，则与的位置关于轴对称； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 ，，； ，，。 可得公式二： ， ， 。 同学们小组讨论与交流得出：无论角的终边在什么位置，点、关于轴对称的位置关系不变，因此坐标间的关系也不变，与的三角函数值的关系就不会改变。 过程性评价，学生画图讨论找出关系。 设计意图 从已有知识出发，自然而然地发现和提出问题，即单位圆的对称性（图）——三角函数的关系（数）。 环节三：知识转化，迁移应用，自主探究 教师活动 学生活动 评价活动 通过预习清单，小组讨论预习清单内容之后，派代表小组提出并解决问题6，总结归纳出诱导公式三。 追问：如何理解是任意角？ 小组派代表提出问题6： （1）角与角的终边关系如何？ （2）角与角的终边与单位圆交于点，，则与的位置关系如何？ （3）设点的坐标为，则点的坐标为？ （4）与,与, 与,的关系如何？ 给出问题6的答案： （1）角与角的终边在同一条直线上，即关于原点轴对称； （2）角与角的终边与单位圆交于点，，则与的位置关于原点对称； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 ，，； ，，。 可得诱导公式三： ， ， 。 过程性评价，学生画图讨论找出关系。 设计意图 有了公式二的经验，大多数同学可以独立完成公式三的推导。 环节三：知识转化，迁移应用，自主探究 教师活动 学生活动 评价活动 问题3 对应地，通过预习清单，小组讨论预习清单内容之后，派代表小组提出并解决问题8，总结归纳出诱导公式四。 类比诱导公式三的过程，可设点的坐标为，则点的坐标为，由正弦函数、余弦函数的定义可以得到由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 ，，； ，，。 进而得到诱导公式四： ， ， 。 过程性评价，学生画图讨论找出关 系。 设计意图 通过问题引导、师生互动交流，在明确探究的问题和方法的基础上，放手让学生自 主探究，在推导出公式四的过程中，发展直观想象、逻辑推理等素养。 环节四：训练测评，反馈矫正 教师活动 学生活动 评价活动 例1　求下列各三角函数值. 例2　化简： (2) 学生尝试独立 解答部分习题 过程性评 价，学生 运用四个 诱导公式 找出三角 函数值之 间的关系 设计意图 教师强调解题格式，板演部分解题过程，带领学生归纳解题步骤。通过例题和练习 加深学生对三角函数诱导公式概念的理解，及时巩固所学的新知，使学生体验到学习数 学过程中的成就感。 环节五：点评精讲,总结升华 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化； (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值。 环节六：巩固迁移，学以致用 完成导学案例1，例2对应的跟踪训练。 板书设计 终边关系 图示 公式 公式一 角α+2kπ与角α的终边相同 sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos α，tan(α+2kπ)=tan α，其中k∈Z 公式二 角-α与角α的终边关于x轴对称 sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α， tan(-α)=-tan α 公式三 角π+α与角α的终边关于原点对称 sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α 公式四 角π-α与角α的终边关于y轴对称 sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α， tan(π-α)=-tan α 作业与拓展学习设计 必做题： 1、作业本作业：课本168页，练习1,2 2、导学案122,123页例1-例3，随堂演练 选做题： 导学案122,123页例题对应跟踪训练 通过纸笔测试反馈学生学习情况 特色学习资源分析、技术手段应用说明 关注数学本质，体现数学的逻辑性、整体性和严密性，关注对学生数学抽象核心素养的培养，较好完成了课堂教学目标。利用好课室多媒体平台服务于教与学。 教学反思与改进 学习评价设计 本课学习基于学生经验，注重引导式教学，通过课中的过程性评价和课后的诊断性评价反馈学生的学习情况。 学科网（北京）股份有限公司 $$