5.2.3 第1课时 诱导公式一～四-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦诱导公式一～四核心知识点，在三角函数定义与单位圆基础上推导公式，构建从角的终边关系到函数值变换的学习支架，系统阐述公式内涵、结构特征及“函数名不变，符号看象限”的记忆方法。 资料特色在于通过单位圆推导培养直观想象（数学眼光），设计给角求值、化简等探究点提升数学运算（数学思维），口诀记忆体现数学语言简洁性。课中助力教师引导探究，课后分层评价帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

5.2.3　诱导公式 第1课时　诱导公式一～四 学习目标 1.理解借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式一～四的过程，提升数学直观想象的核心素养，理解和掌握诱导公式的内涵和结构特征. 2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简，培养数学运算核心素养. 知识点　诱导公式一～四 1.诱导公式一～四(其中k∈Z) (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α. (2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. (3)公式三：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. (4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α. 2.诱导公式一～四的记忆方法 kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的同名函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号. [点拨]　公式一～四可简记为“函数名不变，符号看象限”. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中的角α一定是锐角.(　　) (2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.(　　) (3)由公式二知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β).(　　) (4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.cos 1 110°的值为(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：B 解析：cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝. 3.已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：B 解析：因为sin(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α， 所以sin α＝－，又α是第四象限角， 所以cos(α－2π)＝cos α＝ ＝＝. 4.化简：＝　　　　. 答案：1 解析：＝ ＝＝＝1. 学生用书⬇第125页 探究点一　给角求值问题 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos. 解：(1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200° ＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－. (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos ＝cos ＝cos＝cos ＝. 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 对点练1.求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin； (4)cos(－1 920°). 解：(1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－. (2)sin ＝sin(2π＋)＝sin ＝sin ＝sin ＝. (3)sin＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ＝. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120° ＝cos(180°－60°) ＝－cos 60° ＝－. 探究点二　化简求值问题 化简：. 解：原式＝ ＝ ＝－ ＝－tan α. 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 1.利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的. 2.化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变. 3.同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 对点练2.化简下列各式： (1)； (2). 解：(1)原式＝ ＝＝1. (2)原式＝ ＝＝－ ＝. 学生用书⬇第126页 探究点三　给值(式)求值问题 已知cos＝，求 (1)cos的值； (2)sin2的值； (3)cos的值. 解：(1)因为cos＝cos[π－] ＝－cos＝－. 所以cos＝－. (2)sin2＝sin2 ＝sin2 ＝1－cos2 ＝1－ ＝. (3)cos＝cos ＝cos ＝cos＝. 解决条件求值问题的技巧 对点练3.已知tan(π＋α)＝3，求的值. 解：因为tan(π＋α)＝3， 所以tan α＝3. 故 ＝ ＝ ＝＝7. 1.sin的值等于(　　) A. B.－ C. D. 答案：C 解析：由题意结合诱导公式一可得 sin＝sin＝sin ＝. 故选C. 2.若＝，则tan θ＝(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 答案：D 解析：原式＝＝＝，解得 tan θ＝－3. 3.已知tan＝，则tan的值为　　　　. 答案：－ 解析：tan＝－tan ＝－tan＝－. 4.求下列各式的值： (1)cos ＋tan； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 解：(1)原式＝cos＋tan＝cos ＋tan ＝＋1＝. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60° ＝1＋1＋＝. 课时分层评价35　诱导公式一～四 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.tan 300°＋sin 450°的值是(　　 ) A.－1＋ B.1＋ C.－1－ D.1－ 答案：D 解析：原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－＋1. 2.已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)＝(　　 ) A.－ B. C.－ D. 答案：A　 解析：因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－. 3.sin 315°－cos 495°＋2sin 210°的值是(　　) A.1 B.－1 C. D.－ 答案：B 解析：sin 315°－cos 495°＋2sin 210°＝sin(360°－45°)－cos(360°＋180°－45°)＋2sin(180°＋30°)＝－sin 45°－cos(180°－45°)－2sin 30°＝－＋－1＝－1. 4.若sin(－110°)＝a，则tan 70°＝(　　 ) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a，所以sin 70°＝－a， 所以cos 70°＝＝，所以tan 70°＝＝ . 5.已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为(　　 ) A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：因为sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0， 即sin α－3cos α＝0， 所以tan α＝3， 所以sin αcos α＝＝＝. 6.若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为　　　　. 答案：－ 解析：由题意知sin α＝，cos α＝－，原式＝＝－＝－＝－. 7.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z).若f(2 020)＝5，则f(2 022)＝　　　　. 答案：5 解析：因为f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＝asin α＋bcos β＝5， 所以f(2 022)＝asin α＋bcos β＝5. 8.已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－，则tan α＝　　　　. 答案：－ 解析：cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α ＝－，① 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝， 所以2sin αcos α＝－＜0， 又因为α∈(0，π)，sin α＞0，所以cos α＜0， 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， 所以sin α－cos α＝，　　　　② 由①②得sin α＝，cos α＝－， 所以tan α＝－. 9.(10分)化简下列各式： (1)sincos π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°). 解：(1)sincos π ＝－sincos＝sin cos ＝. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1. 10.(10分)已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值. 解：由＝3＋2， 得(4＋2)tan θ＝2＋2， 所以tan θ＝＝， 故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]· ＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)· ＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×＝2＋. (11、12每小题5分，共10分) 11.(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值可以是(　　) A.－1 B.1 C.2 D.－2 答案：CD 解析：当k为偶数时，sin(kπ＋α)＝sin α， cos(kπ＋α)＝cos α，原式的值为2； 当k为奇数时，sin(kπ＋α)＝－sin α， cos(kπ＋α)＝－cos α，原式的值为－2. 故选CD. 12.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x.当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝(　　) A. B. C.0 D.－ 答案：A 解析：因为f(x＋π)＝f(x)＋sin x， 所以f＝f＝f＋sin ＝f＋sin＝f＋sin＋sin ＝f＋sin＋sin ＝f＋sin＋sin＋sin. 因为0≤x＜π时，f(x)＝0， 所以f＝0＋sin＋sin＋sin ＝sin＋sin＋sin ＝sin－sin＋sin＝sin＝. 学生用书⬇第127页 学科网（北京）股份有限公司 $