5.1.2 弧度制-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

5.1.2　弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.理解弧度制下弧长与面积公式，培养数学运算和直观想象核心素养. 知识点一　度量角的两种度制 角度制 定义 用“度”作单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1° 弧度制 定义 以“弧度”为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.“弧度”用符号rad表示(rad可省略不写) [点拨]　(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可. (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值. 知识点二　弧度数 1.弧度数的计算 2.弧度与角度的互化 知识点三　扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 rad的角和1 °的角大小相等. (　　) (2)用弧度来表示的角都是正角. (　　) (3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关. (　　) (4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝｜α｜r＝30 cm.(　　) (5)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2.与角－的终边相同的角是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：与角－的终边相同的角的集合为{α｜α＝－＋2kπ，k∈Z}，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C. 3.将315°化为弧度为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：315°＝π＝，选D. 4.弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为　　　　，面积为　　　　. 答案：4　6π 解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4， 面积为×3π×4＝6π. 学生用书⬇第115页 探究点一　角度制与弧度制的互化 把下列各角从角度化成弧度或从弧度化成角度.(不必求近似值) (1)20°；(2)－10°30'；(3)1.2；(4)－. 解：(1)20°＝20×＝. (2)－10°30'＝－10.5°＝－× ＝－. (3)1.2＝×°＝°. (4)－＝－×180°＝－157°30'. 角度制与弧度制的互化原则和方法 1.原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算. 2.方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n， 则α rad＝α·°；n°＝n· rad. [提醒]　(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写. (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数. 对点练1.将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝×180°＝15 330°. (2)－＝－×180°＝－75°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 探究点二　用弧度制表示终边相同的角 已知角α＝－1 725°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角. (3)用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： 解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°， 所以－1 725°＝－10π＋， 又0＜＜，所以α与终边相同，是第一象限角. (2)与α终边相同的角可以写为 r＝＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤r＜0， 所以当k＝－2时，r＝－；当k＝－1时，r＝－. (3)①终边在阴影部分的角的集合为. ②终边在阴影部分的角的集合为∪＝. 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形. (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围内的角. 学生用书⬇第116页 对点练2.把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π. 解：因为－1 480°＝－＝－10π＋，0≤＜2π，所以－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π. 对点练3.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合. 解：因为30°＝ rad，210°＝ rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为{θ｜kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z}. 探究点三　扇形的弧长公式及面积公式 扇形AOB的周长为10 cm. (1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长. 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2. (1)依题意有 ①代入②得r2－5r＋4＝0， 解得r1＝1，r2＝4. 当r＝1时，l＝8， 此时θ＝8＞2π，舍去； 当r＝4时，l＝2， 此时θ＝＝. 故扇形圆心角的弧度数为. (2)由l＋2r＝10，得l＝10－2r， S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2＝－＋(0＜r＜5)， 当r＝时，S取得最大值， 此时l＝10－2×＝5， θ＝＝＝2. 关于弧度制下扇形问题的解决方法 1.三个公式：｜α｜＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值. 2.弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识 求最值，一般利用二次函数的最值求解. 对点练4.已知扇形的半径为1，面积为2，则这个扇形的圆心角的弧度数为(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案：D 解析：设扇形的圆心角为α，则α·12＝2，解得：α＝4，即圆心角弧度数为4.故选D. 1.－300°化为弧度是(　　) A.－π B.－π C.－π D.－π 答案：B 解析：－300°＝－300×＝－π.故选B. 2.在区域(0°，360°)内，与角－的终边相同的角是(　　) A.36° B.72° C.144° D.216° 答案：D 解析：因为－＝－8π＋，所以角－的终边相同，且＝×180°＝216°. 3.圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是　　　　. 答案：2 解析：设圆的半径为r，其外切正三角形的边长为a，则r＝××a＝a，又弧长为a，所以圆心角为α＝＝＝＝2. 4.已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R. (1)若α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积. 解：(1)l＝｜α｜R＝×6＝2π(cm)， 即扇形的弧长为2π cm. (2)依题意，得2R＋l＝12，则l＝12－2R， 扇形的面积S＝lR＝(12－2R)R＝－R2＋6R＝－(R－3)2＋9(0＜R＜6)， 所以当R＝3 cm时，S有最大值， 此时弧长l＝6 cm，α＝＝2， 即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2. 课时分层评价32　弧度制 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.把－765°化成2kπ＋α(0≤α＜2π)，k∈Z的形式是(　　 ) A.－4π－ B.－4π＋ C.－6π－ D.－6π＋ 答案：D 解析：－765°＝－720°－45° ＝－1 080°＋315°＝－6π＋ . 2.下列各角中，终边相同的角是(　　) A.和240° B.－和314° C.－和 D.3和3° 答案：C 解析：对于A选项，240°＝，不合题意；对于B选项，－＝－36°，314°－360°＝－46°，不合题意；对于C选项，－＝4π，即＝－＋4π，符合题意；对于D选项，3＝3×°≈171.9°，171.9°－3°＝168.9°，不合题意.故选C. 3.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是(　　) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 答案：C 解析：设扇形所在圆的半径为r，扇形弧长为l， 由扇形的周长是6，面积是2，可得 又由弧长公式，可得l＝αr，即α＝， 当r＝1，l＝4时，可得α＝4； 当r＝2，l＝2时，可得α＝1.故选C. 4.八点二十分这个时刻同学们一定不陌生，因为那是我们学校第一节课上课的时刻.请你联想或观察黑板上方的钟表，对下面的问题做出选择：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：如图所示：记从表盘中心(圆心)O到12点方向的半径为OA，8∶20时分针方向为OB，时针方向为OC. 则∠AOB＝×2π＝，∠AOC＝×2π＝， 所以∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝－＝， 即八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为.故选C. 5.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案：C 解析：当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界). 6.已知圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为　　　　. 答案：4 解析：扇形的面积S＝｜α｜r2＝，即·r2＝，解得：r＝4. 7.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车以30 km/h的速度通过，10 s间转过　　　　弧度. 答案： 解析：10 s间列车转过的弧长为l＝ ×30 ＝ (km)，转过的角α＝＝ ＝ (弧度). 8.如图所示，一圆形钟的时针长5 cm，2024年11月9日上午7∶00至11∶00，时针的针头自点A处转动到点B处，则线段AB的长为　　　　 　. 答案：5 cm 解析：2024年11月9日上午7∶00至11∶00，时针的针头自点A处转动到点B处， 则时针转过的弧度数为×2π＝， 故AB＝10sin＝5(cm). 9.(10分)把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)2；(3)－. 解：(1)72°＝72×＝. (2)2＝2×°＝°. (3)－＝－×°＝－40°. 10.(10分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10米，OB＝x米(0＜x＜10)，线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 解：(1)根据题意，可算得弧BC＝x·θ(m)，弧AD＝10θ(m)， 所以2(10－x)＋x·θ＋10θ＝30，所以θ＝(0＜x＜10)； (2)依据题意，可知y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2＝θ·(102－x2) ＝·(102－x2)＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－＋， 所以当x＝时，ymax＝(m2). 所以当x＝米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米. (11、12每小题5分，共10分) 11.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　) A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2 答案：B 解析：根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答. 依题意，弦＝2×4sin＝4(m)，矢＝4－4cos＝2(m)，则弧田面积＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)， 所以弧田面积约是9 m2.故选B. 12.如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.则点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积分别为　　　　，　　　　. 答案： dm　 dm2 解析：因为所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为； dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝(dm).三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2). 学生用书⬇第117页 学科网（北京）股份有限公司 $