6.2.1-6.2.2 简单随机抽样 分层抽样-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦抽样核心知识点，系统梳理简单随机抽样（含抽签法、随机数法的步骤及异同对比）与分层抽样的定义、操作流程。通过对比表格归纳两种抽样方法的特点与适用范围，以步骤分解和要点点拨为学习支架，帮助学生构建抽样方法的知识体系。 资料以实例分析（如节假日调休调查抽样、零件质量检验）培养数据分析与数学建模素养，通过步骤化讲解（如抽签法五步、分层抽样比例计算）提升数学运算能力。课中助力教师系统授课，课后学生可借助典型例题与分层练习查漏补缺，强化知识应用。

6.2　抽样 6.2.1　简单随机抽样　6.2.2　分层抽样 学习目标 1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程；了解分层抽样的特点、适用范围及必要性. 2.掌握两种简单随机抽样. 3.结合具体实例，掌握分层抽样的各层样本量比例分配的方法，提升数学运算核心素养. 4.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题，培养数学建模、数据分析的核心素养. 知识点一　简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中无放回地抽取n(n≤N)个个体为样本，如果总体内的每个个体都有相同的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样. 我们把简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本.常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法. 抽签法步骤： ①假设一个总体有N个个体，将它们逐一编号； ②制作N个号签(号签可以用小球、纸片等制作)，将编号写在号签上； ③将号签放在一个容器中，并充分搅拌均匀； ④从容器中任意抽取n个号签，记录其编号，就得到一个容量为n的样本. [点拨]　抽签法与随机数(表)法的异同点 抽签法 随机数(表)法 不同点 ①抽签法比随机数法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况 ①随机数法要求编号的位数相同；②随机数法适用于总体中的个体数相对较多的情况 相同点 ①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限 ②都是从总体中逐个不放回地抽取 知识点二　分层抽样 1.定义 当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样. 2.分层抽样的步骤 (1)分层：根据已经掌握的信息，按某种标准将总体分成互不交叉的若干部分. (2)求比：根据总体中的个数N和样本容量n计算抽样比K＝. (3)定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni＝Ni×K(Ni是第i层所包含的个体数).使得各层抽取的样本之和等于样本容量n. (4)抽样：按照第三步中确定的应在各层抽取的个体数，分别在各层抽取样本，然后合在一起就得到所需要抽取的容量为n的样本. 学生用书⬇第159页 [点拨]　两种抽样方法的特点归纳 类别 共同点 各自特点 适应范围 简单 随机 抽样 抽签法 (1)总体中的个体是有限个 (2)每个个体被抽中的可能性都是相同的 (1)逐个抽取 (2)不放回 总体中的 个体数较少 随机数(表)法 (1)对总体中每个个体编号位数必须相同 (2)读取规则随机确定 总体中的个体数较多，但抽取的样本容量较少 分层抽样 各层抽样比相同 总体由差异明显的几部分组成 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)简单随机抽样中总体个数可以是无限个. (　　) (2)利用抽签法时，先抽的人抽中的可能性大. (　　) (3)利用随机数方法抽取样本时，选定的初始数是任意的，但读数的方向只能是从左向右读. (　　) (4)分层抽样实际上是按比例抽样. (　　) (5)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2.某年级共有4个班，每班各有40名学生(其中男生8人，女生32人).若从该年级学生中采用简单随机抽样的方法抽出20人，则下列选项中正确的是 (　　) A.每班至少会有一人被抽中 B.抽出来的女生人数一定比男生人数多 C.已知小文是男生，小美是女生，则小文被抽中的概率小于小美被抽中的概率 D.若学生甲和学生乙在同一班，学生丙在另外一班，则甲、乙两人同时被抽中的概率跟甲、丙两人同时被抽中的概率一样 答案：D 解析：在抽样过程中，每个个体被抽到的可能性都相等，从该年级学生中采用简单随机抽样的方法抽出20人，所有班的学生被抽到的可能性都一样，其中任意两个人被同时抽到的可能性都一样，故选D. 3.下列抽样试验中，最适合用分层抽样方法抽样的是(　　) A.某礼堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后，为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 C.某地区农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平原24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量 D.从50个零件中抽取5个做质量检验 答案：C 解析：A的总体容量较大，但个体之间的差异不明显，不宜采用分层抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C的总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似，宜采用简单随机抽样法. 4.某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市　　　　家. 答案：20 解析：根据题意，可得抽样比为＝，故应抽取中型超市400×＝20(家). 探究点一　对简单随机抽样概念的理解 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查； (3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作. 解：(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的. (2)不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”. (3)不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求. 学生用书⬇第160页 简单随机抽样的判断方法 　　判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征： 上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样. 对点练1.对于简单随机抽样，下列说法正确的是(　　) ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个进行抽取的，以便在抽样实践中进行操作； ③它是一种不放回抽样； ④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的公平性. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 答案：D 解析：由简单随机抽样的特点知，全部正确. 探究点二　简单随机抽样 角度一　抽签法 (1)上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是　　　　. ①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选； ②将39个白球与1个红球(球除颜色外，其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员. (2)在社区公益活动中，某单位共有50名志愿者参与了报名，现要从中随机抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽样，并写出过程. 答案：(1)① 解析：(1)①满足抽签法的特征，是抽签法；②不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而②中39个白球无法相互区分. (2)第一步，将50名志愿者编号，号码为1，2，3，…，50. 第二步，将号码分别写在大小、形状、质地都相同的纸条上，揉成团，制成号签. 第三步，将所有号签放入一个不透明的箱子中，搅拌均匀. 第四步，一次取出1个号签，连取6次(不放回抽取)，并记录其编号. 第五步，将对应编号的志愿者选出即可. 抽签法的5个步骤 角度二　随机数法 (1)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号　　　　　　　　　　.(下面抽取了随机数第1行至第8行) 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 83 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 (2)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数选取5个个体，选取方法是从随机数中第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.02 C.63 D.01 答案：(1)227，665，650，267　(2)D 解析：(1)从随机数第3行第6列的数2开始向右读，第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，符合题意. (2)根据题意，依次读出的数据为65(舍去)，72(舍去)，08，02，63(舍去)，14，07，02(舍去，重复)，43(舍去)，69(舍去)，97(舍去)，28(舍去)，01.故选D. 学生用书⬇第161页 随机数法抽样应抓住3个关键点 1.编号：这里的所谓编号，实际上是总体中的每个个体对应的一个编号，且每个编号位数相同. 2.确定读数方向和规则：为了保证选取数字的随机性，应在面对随机数之前就指出开始数字的纵横位置，然后确定读数方向.例如，若编号是两位，规则可以是每次从左往右选取两个数字，也可以是每次只选取每一组的前两个数字，等等.规则一经确定，就不能更改. 3.获取样本：读数在总体编号内的取出，而读数不在总体编号内的和已取出的舍去，依次下去，直到得到容量为n的样本. 对点练2.采用抽签法从含有3个个体的总体{1，3，8}中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本有　　　　　　　　. 答案：{1，3}，{1，8}，{3，8} 解析：从总体中任取两个个体即可组成样本，即所有可能的样本为{1，3}，{1，8}，{3，8}. 对点练3.现有一批编号为10，11，…，99，100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数法设计抽样方案？ 解：第一步，将元件的编号调整为010，011，012，…，099，100，…，600. 第二步，在随机数中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向.比如，选例2－2(1)中第6行第7个数9. 第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544，354，378，520，384，263. 第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象.(答案不唯一) 探究点三　分层抽样的应用 某网站针对“2023年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下的人数 200 400 800 35岁以上 (含35岁)的人数 100 100 400 (1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值； (2)从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？ 解：(1)由题意得 ＝， 解得n＝40. (2)35岁以下的人数为×400＝4， 35岁以上(含35岁)的人数为×100＝1. 　　解决分层抽样中的容量问题，关键是求出抽样比，即样本容量与总体中个体数的比.由分层随机抽样的特点可知：＝，这是求解分层随机抽样中有关数量问题的依据. 对点练4.山东某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 a b c 剪纸 x y z 其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对这两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取　　　　人. 答案：6 解析：方法一：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的， 所以“剪纸”社团的人数为800×＝320. 易知“剪纸”社团中高二年级人数所占比例为＝＝，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96. 由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6. 方法二：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的， 所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20. 易知“剪纸”社团中高二年级人数所占比例为＝＝，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6. 学生用书⬇第162页 1.某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是(　　) A.制签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取 D.抽取后不放回 答案：B 解析：抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性. 2.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡8 758人，西乡7 236人，南乡8 356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡各征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是(　　) A.112 B.128 C.145 D.167 答案：D 解析：由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为487×＝≈167. 3.某单位共有老、中、青年职工440人，其中有老年职工80人，青年职工人数是中年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有老年职工20人，则该样本中的中年职工人数为　　　　. 答案：30 解析：设该单位中年职工人数为x，由题意得3x＝440－80，解得x＝120.故样本中的中年职工人数为120×＝30. 4.某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组.用抽签法设计抽样方案如下： 第一步：将18名志愿者编号，号码为1，2，…，18； 第二步：将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签； 第三步：将号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀； 第四步：　　　　； 第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员. 则第四步步骤应为：　　　　　　　. 答案：从袋中依次不放回地抽出6个号签，记录上面的编号 解析：按照抽签法设计的步骤可知应为：从袋中依次不放回地抽出6个号签，记录上面的编号. 课时分层评价44　简单随机抽样　分层抽样 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　 ) A.从50个零件中逐个不放回地抽取5个做质量检验 B.从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验 C.从整数集中随机抽取10个分析奇偶性 D.运动员从8个跑道中随机选取一个跑道 答案：AD 解析：B不是，因为是有放回抽样；C不是，因为整数集是无限集. 2.已知总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　 ) 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481 A.08 B.07 C.02 D.01 答案：D 解析：从第1行第5列的数字6开始由左到右依次选出08，02，14，07，01，所以选出来的第5个个体的编号为01. 3.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于(　　 ) A.80 B.160 C.200 D.280 答案：C 解析：由题意可知，＝0.2，解得n＝200. 4.下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　 ) A.从一箱3 000个零件中抽取5个入样 B.从一箱3 000个零件中抽取600个入样 C.从一箱30个零件中抽取5个入样 D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样 答案：D 解析：D中总体有明显差异，故用分层抽样. 5.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份.因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为(　　) A.60 B.80 C.120 D.180 答案：C 解析：11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，抽样比为，因为分层抽取的样本容量为300，故回收问卷总数为＝900(份)，故x＝900－120－180－240＝360(份)，360×＝120(份). 6.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽取20人进行评教，则某男生被抽到的可能性是　　　　. 答案：0.2 解析：因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为＝0.2. 7.在用抽签法抽样时，有下列五个步骤： (1)从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次； (2)将总体中的所有个体编号； (3)制作号签； (4)将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本； (5)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀. 以上步骤的次序是　　　　　　　. 答案：(2)(3)(5)(1)(4) 8.某学校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生.现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则此学校共有高中学生　　　人. 答案：900 解析：高二年级被抽取45－20－10＝15(人)， 被抽取的比例为＝，所以x＝＝400，z＝＝200. 所以此学校共有高中学生900人. 9.(10分)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格： 产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量(件) 130 由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是多少件？ 解：设样本容量为x，则×1 300＝130， 所以x＝300. 所以A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件). 设C产品的样本容量为y， 则y＋y＋10＝170，所以y＝80. 所以C产品的数量为×80＝800(件). 10.(10分)为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)： 高校 相关人数 抽取人数 A x 1 B 36 y C 54 3 (1)求x，y； (2)若从高校B相关的人中选2人进行专题发言，应采用什么抽样方法，请写出合理的抽样过程. 解：分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：＝⇒x＝18，＝⇒y＝2，故x＝18，y＝2. (2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下： 第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36； 第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签； 第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号； 第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本. (11、12每小题5分，共10分) 11.甲、乙两套设备生产的同类产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为　　　　件. 答案：1 800 解析：由题知共有产品4 800件，抽取样本为80，则抽样比k＝＝，因为样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备生产的产品总数为30×60＝1 800件. 12.某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的机会是0.18. 现对各年级用分层随机抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取 　　　　名学生. 答案：90 解析：高三年级人数为： y＋z＝3 000－(487＋513＋0.18×3 000＋560)＝900. 所以×300＝90，故应在高三年级抽取90名学生. 学科网（北京）股份有限公司 $