4.4.1 方程的根与函数的零点-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

4.4　函数与方程 4.4.1　方程的根与函数的零点 学习目标 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点的判断，培养直观想象核心素养. 知识点一　函数的零点 1.概念：对于一般函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点. 2.方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系 [点拨]　(1)函数的零点是实数，而不是点.如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0). (2)并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点. (3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内. 知识点二　函数零点的判断 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)＜0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. [点拨]　函数零点的判断 函数零点的判断是不可逆的，因为f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点.但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)＜0. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点. (　　) (2)所有的函数都有零点. (　　) (3)若方程f(x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0). (　　) 学生用书⬇第99页 (4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　) A.－，－1 B.，1 C.，－1 D.－，1 答案：B 解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1. 3.函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　) A.(3，4) B.(2，e) C.(1，2) D.(0，1) 答案：C 解析：因为f(1)＝ln 2－＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在的区间为(1，2).故选C. 4.已知一次函数f(x)＝2mx＋4，若在[－2，0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：[1，＋∞) 解析：因为在[－2，0]上存在x0使f(x0)＝0， 即函数f(x)在[－2，0]内有一个零点， 所以f(－2)f(0)≤0， 即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1. 探究点一　求函数的零点 (1)求函数f(x)＝的零点. (2)若函数f(x)＝bx＋2的一个零点为x＝，求g(x)＝x2＋5x＋b的零点. 解：(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x＞0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. (2)因为x＝是函数f(x)的零点，所以f＝0， 即b＋2＝0，解得b＝－6， 所以g(x)＝x2＋5x－6. 令g(x)＝0，即x2＋5x－6＝0， 解得x＝1或x＝－6， 所以函数g(x)有两个零点，为x＝1，x＝－6. 函数零点的求法 　　求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：一是令f(x)＝0，通过解方程f(x)＝0求得函数的零点；二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 对点练1.已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点. 解：由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a. 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－. 所以函数g(x)的零点为0和－. 探究点二　确定函数零点所在区间 (1)设函数f(x)＝－log2x，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，＋∞) (2)根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0的一个根所在的区间是(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题意得f(1)＝1－0＝1＞0，f(2)＝－1＝－＜0，所以f(1)f(2)＜0，又因为函数是(0，＋∞)上的连续函数，由零点存在定理得函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B. (2)令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1＜0，f(0)＝1－2＜0，f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0.由于f(1)·f(2)＜0，所以方程ex－(x＋2)＝0的一个根在区间(1，2)内. 判断函数零点所在区间的三个步骤 1.代入：将区间端点代入函数求出函数的值. 2.判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断. 3.结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则在该区间内至少有一个零点. 对点练2.函数f(x)＝2ln x＋x－6的零点所在区间为(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 答案：C 解析：f(x)在(0，＋∞)上递增， f(3)＝2ln 3－3＝ln 9－ln e3＜0， f(4)＝2ln 4－2＝2(ln 4－1)＝2(ln 4－ln e)＞0， f(3)·f(4)＜0，所以f(x)的唯一零点在区间(3，4). 故选C. 探究点三　判断函数零点的个数 (1)f(x)＝的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 学生用书⬇第100页 (2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数. 答案：(1)B 解析：(1)当x≤0时，由f(x)＝x2－2x－8＝0得x1＝－2，x2＝4(舍去)； 当x＞0时，由f(x)＝－3＋ln x＝0得x＝e3. 所以函数的零点个数为2. (2)法一：图象法 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数. 在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图所示). 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根， 即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点. 法二：定理法 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， 所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是连续不断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个. 判断函数存在零点的两种方法 1.方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数. 2.图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. 对点练3.函数f(x)＝的零点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：法一：方程x＋2＝0(x＜0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x＞0)的根为x＝1，所以函数f(x)的零点为－2与1，即函数f(x)有2个零点. 法二：画出函数f(x)＝的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点. 探究点四　根据零点情况求参数范围 (1)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝有三个不同的解，则实数k的取值范围是(　　) A.(1，2] B.[1，＋∞) C.[1，2) D.[1，2] (2)已知a是实数，函数f(x)＝2｜x－1｜＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(1)B　(2)(1，＋∞) 解析：(1)当x＜2时，令(x－1)2＝，解得x1＝＋1，x2＝－＋1， 故f(x)＝在x＜2时有两个不同的解. 又方程f(x)＝有三个不同的解，则x≥2时，f(x)＝有一个解，由f(x)＝，得x＝2k≥2，所以k≥1. (2)函数f(x)＝2｜x－1｜＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2｜x－1｜＋x与y＝a的图象有且仅有两个交点. 分别作出函数y＝2｜x－1｜＋x与y＝a的图象，如图所示. 由图易知，当a＞1时，两函数的图象有且仅有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞). 已知函数有零点(方程有根)求参数的方法 1.直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围. 2.数形结合法：先对f(x)的解析式变形，将f(x)＝0转化为h(x)＝g(x)(h(x)，g(x)的图象易画出)，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)，g(x)的图象，然后利用数形结合思想求解. 对点练4.已知函数f(x)＝｜x－2｜＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C.(1，2) D.(2，＋∞) 答案：B 解析：分析知函数f(x)＝｜x－2｜＋1，g(x)＝kx的图象有两个交点，画图可知当直线y＝kx介于直线y＝x和y＝x之间时，符合题意，故选B. 1.函数f(x)＝x2－3x＋2的零点是(　　) A.(1，0) B.(2，0) C.(1，0)，(2，0) D.1，2 答案：D 解析：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以函数f(x)的零点为1，2. 2.若x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案：C 解析：设f(x)＝ln x＋x－4，则f(1)＝－3＜0， f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0， f(4)＝ln 4＞0，则x0∈(2，3). 3.若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(－12，0) 解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图. 由图可知 解得－12＜a＜0. 4.已知函数f(x)＝x2－x－2a. (1)若a＝1，求函数f(x)的零点； (2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2. 令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2， 即函数f(x)的零点为－1和2. (2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0， 解得a≥－， 所以a的取值范围是. 课时分层评价28　方程的根与函数的零点 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.方程log2x＋3x－2＝0的根所在的区间为(　　) A. B. C.(1，2) D.(2，3) 答案：B 解析：构建函数f(x)＝log2x＋3x－2，所以函数f(x)在(0，＋∞)上连续且单调递增. 因为f(1)＝3－2＞0， f＝－1＋－2＜0， 所以f(x)＝log2x＋3x－2的零点所在的区间为， 所以方程log2x＋3x－2＝0的根所在的区间为，故选B. 2.函数f(x)＝x－lox的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.无数 答案：B 解析：函数f(x)＝x－lox的零点个数，就是函数y＝x与y＝lox的图象的交点个数，如图，可知函数的图象只有一个交点.函数f(x)＝x－lox的零点个数为1.故选B. 3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2) 答案：C 解析：根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内是单调递增的，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以解得0＜a＜3. 4.设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案：B 解析：y＝x3与y＝的图象的交点的横坐标x0即方程x3＝的根，即函数f(x)＝x3－的零点.又f(1)＝1－＝－1＜0，f(2)＝23－＝7＞0，所以f(x)的零点在(1，2)内，即x0∈(1，2). 5.已知函数f(x)＝x3＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝2x＋x的零点分别为a，b，c，则(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 答案：B 解析：函数f(x)＝x3＋x的零点为函数y＝x3与y＝－x的图象交点的横坐标， 函数g(x)＝log2x＋x的零点为函数y＝log2x与y＝－x的图象交点的横坐标， 函数h(x)＝2x＋x的零点为函数y＝2x与y＝－x的图象交点的横坐标， 在同一直角坐标系内作出函数y＝x3，y＝log2x，y＝2x与y＝－x的图象如图所示： 由图可知：a＝0，b＞0，c＜0，所以b＞a＞c，故选B. 6.若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为　　　　. 答案：1，1＋ 解析：由f(x)＝x， 得解得x＝1＋或x＝1. 7.若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(1，＋∞) 解析：函数f(x)的零点个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象的交点个数，如图，a＞1时，两函数图象有两个交点；0＜a＜1时，两函数图象有一个交点.故a＞1. 8.方程｜x2－2x｜＝a2＋1(a＞0)的解的个数是　　　　. 答案：2 解析：(数形结合法)因为a＞0，所以a2＋1＞1. 而y＝｜x2－2x｜的图象如图所示， 所以y＝｜x2－2x｜的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点. 即方程｜x2－2x｜＝a2＋1(a＞0)有两个解. 9.(10分)已知函数f(x)＝x2－bx＋3. (1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点； (2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围. 解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1. 所以f(x)的零点是1和3. (2)因为f(x)的零点一个大于1， 另一个小于1，如图. 只需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4. 故b的取值范围为(4，＋∞). 10.(10分)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围. 解：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， 因为y＝f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x， 所以f(x)＝ (2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1. 所以据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解， 则a的取值范围是(－1，1). 11.(5分)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”.若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是(　　) A. B.[－1，0] C.(－∞，－2] D. 答案：A 解析：由题意可得函数y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点，函数y＝f(x)－g(x)的图象的对称轴为直线x＝，所以函数y＝f(x)－g(x)的最小值为－－ m.当x＝0时，y＝4－m，当x＝3时，y＝－2－m＜4－m，所以－－m＜0≤－2－m，解得－＜m≤－2. 12.(15分)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－a， (1)讨论函数g(x)的零点个数，并写出相应的实数a的取值范围； (2)当函数g(x)有4个零点，分别为x1，x2，x3，x4时，求x1＋x2＋x3＋x4的取值范围. 解：(1)根据题意，g(x)＝f(x)－a的零点的个数即y＝f(x)的图象与直线y＝a交点的个数，函数f(x)＝的图象如图所示. ①当a＜－3时，y＝f(x)的图象与直线y＝a没有交点，所以函数g(x)没有零点； ②当a＝－3时，y＝f(x)的图象与直线y＝a有1个交点，所以函数g(x)有1个零点； ③当－3＜a＜0时，y＝f(x)的图象与直线y＝a有2个交点，所以函数g(x)有2个零点； ④当a＝0或a＞1时，y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个交点，所以函数g(x)有3个零点； ⑤当0＜a≤1时，y＝f(x)的图象与直线y＝a有4个交点，所以函数g(x)有4个零点. (2)由(1)可知，函数g(x)有4个零点，分别为x1，x2，x3，x4时，必有0＜a≤1. 不妨设x1＜x2＜x3＜x4，则有x1＋x2＝－4，｜lg x3｜＝｜lg x4｜，且1＜x4≤10， 所以lg x3＝－lg x4，即x3x4＝1， 所以x3＋x4＝＋x4. 令h(x)＝＋x，x∈(1，10]，易知该函数在(1，10]上是增函数， 所以h(x)∈，即2＜x3＋x4≤， 所以－2＜x1＋x2＋x3＋x4≤， 即x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是. 学生用书⬇第101页 学科网（北京）股份有限公司 $