4.4.1方程的根与函数的零点(1)教学设计-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数零点的定义、零点存在定理及其应用，通过三组方程与函数实例导入，引导学生观察图象探究方程根与函数零点的关系，搭建从一次函数与方程根的旧知到零点概念的学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过师生合作归纳零点定义与定理，分层设计求零点、判断区间、判断个数的例题，结合数形结合与逻辑推理，落实直观想象与数学思维培养，助力学生提升解决问题能力，也为教师提供结构清晰、可操作性强的教学方案。

课 题 4.4.1　方程的根与函数的零点(一) 主 备 人 审 核 备课日期 2025年11月21日 课 型 新授课 教学目标 1.了解函数零点存在定理. 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 核心素养 直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模 教学重点 函数零点存在定理及其应用. 教学难点 方程解的个数与分布 教学策略 与方法 启发引导、合作探究、归纳总结 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 创设情境 导入新课 问题1 观察下列三组方程与函数： 1、-2x-3=0与y=-2x-3； 2、-2x+1=0与y=-2x+1； 3、-2x+3=0与y=-2x+3. 利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系. 问题2 问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？ 教师提问 学生回答 复习回顾引入新课 探究新知 形成概念 函数零点的定义 (1)对于一般函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数x 叫作函数y=f(x)的零点. (2)求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点. (3)函数y=f(x)的零点，也就是函数y=f(x)图象与 x轴 交点的横坐标. 函数零点存在定理 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根． 注意点： (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分而不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 给出问题，学生讨论回答，教师引导总结. 通过问题探究，归纳函数函数零点存在定理 精讲点拨 迁移应用 一、求函数的零点 例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)=+7x+6； (2)f(x)=-1-3； (3)f(x)= 注：探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)=0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y=f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪训练1.函数y=1+的零点是（ ） A.(-1，0) B.-1 C.1 D.0 二、函数零点的存在问题 例2 (1)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是 A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 (2)函数f(x)=-的零点所在的区间是 A.(1/2，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，8) 注：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 出示例1，学生独立完成，教师点评，师生总结方法. 学生模仿练习. 出示例2，学生思考，教师启发，抽生回答，师生点评 让学生掌握利用函数零点存在定理判断零点存在问题 进一步熟练掌握利用函数零点存在定理判断零点个数的方法 精讲点拨 迁移应用 3、 函数零点的个数问题 例3 判断下列函数的零点的个数. (1)f(x)=； (2)f(x)=lnx+. 反思感悟　判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数． (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判断y＝f(x)在(a，b)内零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点个数问题． 出示例3，学生思考，教师启发引导并讲解 学生理解并学会运用图象法求解超越方程根的分布问题 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 达标检测 评价反馈 1．函数f(x)＝log2x的零点是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个． 学生独立完成，教师点评. 检测学习效果. 归纳总结 拓展升华 1．知识清单： (1)函数的零点与方程的解的关系．(2)函数零点存在定理． (3)函数零点个数的判断．(4)方程的解的个数及分布． 2．方法归纳：定理法、方程法、数形结合法． 3．常见误区： (1)零点理解成点． (2)零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题． 师生共同归纳总结本节所学知识和方法. 形成知识体系. 作业设计 题卡作业13. 普通班适量删减. 板书设计 §4.4.1　方程的根与函数的零点 1.函数零点存在定理． 2.函数零点个数的判断 例1 ... 例2 ... 例3 ... 教后反思 签 审 学科网（北京）股份有限公司 $