4.3.1 对数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦“对数的概念”核心知识点，系统阐述对数的定义、基本性质及指数式与对数式的互化关系。通过定义解析、性质归纳、互化方法总结及例题变式练习，搭建从指数知识自然过渡到对数学习的完整支架，帮助学生逐步理解对数概念的本质。 该资料以数学抽象和数学运算核心素养为导向，设计“探究点+对点练”模块，如通过指数式与对数式互化探究结合例题与即时练习，引导学生在转化中培养抽象思维。课时分层评价题组覆盖基础与提升，课中助力教师引导学生深度探究，课后便于学生自主回顾与强化练习，有效查漏补缺，提升运算能力与逻辑推理意识。

4.3　对数函数 4.3.1　对数的概念 学习目标 1.理解对数的概念，培养数学抽象核心素养. 2.会进行对数式与指数式的互化. 3.会求简单的对数值，培养数学运算核心素养. 知识点　对数的概念 1.定义 一般地，如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.其中a叫作对数的底数，N叫作对数的真数. 2.对数的基本性质 (1)＝N(N＞0，a＞0且a≠1)； (2)b＝logaab(b∈R，a＞0且a≠1)； (3)logaa＝logaa1＝1； (4)loga1＝logaa0＝0. [点拨]　对数与指数的关系 指数式与对数式的互化(其中a＞0，且a≠1)： (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积. (　　) (2)因为(－2)2＝4，所以2＝log(－2)4. (　　) (3)对数log39和log93的意义一样. (　　) (4)对数运算的实质是求幂指数. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.下列指数式与对数式互化错误的是(　　) A.23＝8与log28＝3 B.log39＝2与＝3 C.与log8＝－ D.log77＝1与71＝7 答案：B 解析：对于A：23＝8可化为：log28＝3，所以A正确；对于B：log39＝2可化为：32＝9，所以B不正确；对于C：可化为与log8＝－，所以C正确；对于D：log77＝1可化为71＝7，所以D正确.故选B. 3.在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A.a＞5或a＜2 B.2＜a＜5 C.2＜a＜3或3＜a＜5 D.3＜a＜4 答案：C 解析：由题意得解得2＜a＜3或3＜a＜5. 4.设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为　　　　. 答案：12 解析：法一：因为loga2＝m，所以am＝2，则a2m＝4. 又loga3＝n，所以an＝3.所以a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12. 法二：因为loga2＝m，loga3＝n，所以a2m＋n＝··＝22×3＝12. 探究点一　指数式与对数式的互化 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式： (1)lox＝3；(2)logx64＝－6； (3)3－2＝；(4)＝16. 解：(1)因为lox＝3，所以()3＝x. (2)因为logx64＝－6，所以x－6＝64. (3)因为3－2＝，所以log3＝－2. (4)因为＝16，所以lo16＝x. 学生用书⬇第88页 指数式与对数式互化的方法 1.指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. 2.对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 对点练1.(1)将下列指数式改写成对数式： 24＝16；2－5＝. (2)将下列对数式改写成指数式： log5125＝3；lo16＝－4. 解：(1)log216＝4，log2＝－5. (2)53＝125，＝16. 探究点二　对数的计算 求下列各式的值： (1)；(2)；(3). 解：(1)设＝x，则log54＝log5x，所以x＝4. (2)因为＝4，所以×3－2＝4×. (3)因为＝5，所以＝24×＝16×5＝80. 　　通过指数式ax＝N与对数式x＝logaN(a＞0，且a≠1)表示的同一种关系，因而已知其中两个时，可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个. 对点练2.求下列各式中的x的值： (1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3. 解：(1)因为log2x＝，所以x＝，所以x＝. (2)因为log216＝x，所以2x＝16，所以2x＝24， 所以x＝4. (3)因为logx27＝3，所以x3＝27，即x3＝33， 所以x＝3. 探究点三　对数的性质 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3[log4(log5x)]＝0. 解：(1)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝20＝1， 所以x＝51＝5. (2)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. 利用对数性质求解的两类问题的解法 1.求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值. 2.已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 对点练3.求下列各式中的x的值： (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1. 解：(1)由log8[log7(log2x)]＝0， 得log7(log2x)＝1， 即log2x＝7，所以x＝27. (2)由log2[log3(log2x)]＝1， 所以log3(log2x)＝2， 所以log2x＝9，所以x＝29. 学生用书⬇第89页 1.log3等于(　　) A.4 B.－4 C. D.－ 答案：B 解析：因为3－4＝，所以log3＝log33－4＝－4.选B. 2.若x＝lo16，则x等于(　　) A.－4 B.－3 C.3 D.4 答案：A 解析：由＝16知x＝－4.故选A. 3.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A.a＞且a≠1 B.0＜a＜ C.a＞0且a≠1 D.a＜ 答案：B 解析：由题意知解得0＜a＜. 4.已知log7[log3(log2x)]＝0，则＝　　　　. 答案： 解析：因为log7[log3(log2x)]＝0， 所以log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以23＝x， 所以＝(23. 课时分层评价24　对数的概念 (时间：80分钟　满分：90分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.已知loga＝m，loga4＝n，则am＋2n等于(　　) A.3 B.8 C.9 D.11 答案：B 解析：由已知得am＝，an＝4. 所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×42＝8.故选B. 2.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.[－2，0] B.(－2，0) C.(－2，0] D.(－2，＋∞) 答案：C 解析：由题意可得： 即0＜x＋2≤2， 解得：－2＜x≤0， 所以原函数的定义域为(－2，0]， 故选C. 3.方程的解是(　　) A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝9 答案：A 解析：因为＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝. 4.若a＞0，，则loa等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：B 解析：因为，a＞0， 所以a＝， 设loa＝x，所以＝a. 所以x＝3. 5.已知lo(log2x)＝lo(log3y)＝1，则x，y的大小关系是(　　) A.x＜y B.x＝y C.x＞y D.不确定 答案：A 解析：因为lo(log2x)＝1， 所以log2x＝.所以x＝. 又因为lo(log3y)＝1，所以log3y＝. 所以y＝. 因为 ＜， 所以x＜y.故选A. 6.设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝　　　　. 答案： 解析：因为a＝log310，b＝log37， 所以3a＝10，3b＝7， 所以3a－b＝. 7.已知logx＋3(x2＋3x)＝1，则x的值为　　　　. 答案：1 解析：由对数的性质知 解得x＝1.故实数x的值为1. 8.loga2＝m，loga3＝n(a＞0，且a≠1)，则am＋n＝　　　　，am－n＝　　　　. 答案：6　 解析：因为loga2＝m，loga3＝n， 所以am＝2，an＝3. 所以am＋n＝am·an＝6，am－n＝. 9.(10分)将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32；(2)＝4； (3)log381＝4；(4)lo4＝m. 解：(1)log232＝5.(2)lo4＝－2. (3)34＝81.(4)＝4. 10.(10分)已知log2[log3(log4x)]＝0，且log4(log2y)＝1.求·的值. 解：因为log2[log3(log4x)]＝0， 所以log3(log4x)＝1， 所以log4x＝3，所以x＝43＝64. 由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，所以y＝24＝16. 因此·×1＝8×8＝64. 11.(15分)求下列各式中x的值： (1)log2x＝－；(2)logx(3＋2)＝－2； (3)log5(log2x)＝1；(4)x＝log27. 解：(1)由log2x＝－，得＝x， 故x＝. (2)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2， 故x＝(3＋2－1. (3)由log5(log2x)＝1，得log2x＝5，故x＝25＝32. (4)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2， 故x＝－. 12.(15分)解答下列各题. (1)计算：log10 0.000 1；log2；log3.12(log1515). (2)已知log4x＝－，log3(log2y)＝1，求xy的值. 解：(1)因为10－4＝0.000 1， 所以log10 0.000 1＝－4. 因为2－6＝，所以log2＝－6. log3.12(log1515)＝log3.121＝0. (2)因为log4x＝－，所以x＝＝2－3＝. 因为log3(log2y)＝1，所以log2y＝3. 所以y＝23＝8.所以xy＝×8＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $